Динамика автоматических систем

 

Исследование движения (переходных процессов) автоматических систем под действием задающих и возмущающих воздействий может быть выполнено по уравнениям динамических режимов. Переходные процессы в большинстве элементов системы характеризуются инерционностью (наличие массы, индуктивности, емкости) и аналитически могут быть описаны дифференциальными уравнениями, которые определяют изменение управляемой величины во времени при заданном характере входных и возмущающих воздействий.

Дифференциальные уравнения отдельных элементов и всей системы составляются по законам физики. Совокупность всех уравнений, отражающих характер протекания переходного процесса, носит название уравнений процессов управления.

 

1.8. Фомы записи уравнений элементов автоматической системы.

 

Запишем дифференциальное уравнение движения системы в классическом виде:

a₀dⁿx_вых/dtⁿ + a₁d^n-1x_вых/dt^n-1 +…+ a_n-1dx_вых/dt + a_nx_вых = F(x_вх, x^!_вх, x^!!_вх,…) ± f(t).

Здесь F(x_вх, x^!_вх, x^!!_вх,…) – функция входного воздействия; f(t) – возмущающее воздействие.

Общий интеграл (решение) этого уравнения определяется суммой

Х_вых = х_вын + х_св, где х_вых – общий интеграл, определяющий изменение выходной величины во времени; х_вын – частное решение уравнения, определяющее вынужденное установившееся движение; х_св – решение однородного дифференциального уравнения, определяющее свободное движение.

Составляющие интеграла от свободного и вынужденного движения определяются отдельно. Для однородного дифференциального уравнения в общем виде, полагая правую часть равной нулю, получим:

а₀dⁿx_св/dtⁿ + a₁d^n-1x_св/dt^n-1 +… +a_n-1dx_св/dt + a_nx_св = 0.

Интеграл однородного дифференциального линейного уравнения с постоянными коэффициентами (для случая различных вещественных корней), определяется суммой:

x_св = С₁е^a1t + C₂e^a2t +…C_ne^ant, C_i – произвольные постоянные числа, a_I – корни характеристического уравнения, которое имеет вид:

a₀aⁿ + a₁a^n-1 +…+ a_n-1a + a_n = 0.

На практике встречаются случаи наличия кратных вещественных и комплексных корней; тогда интеграл для свободного движения будет иметь гармонические составляющие.

После определения корней с учетом начальных условий вычисляют постоянные числа, входящие в интеграл свободного движения.

После решения дифференциального уравнения оценивают ошибку регулирования системы в динамике.

Dх_вых = х_н – х_вых = х_н – х_вын – х_св, где Dх_вых – ошибка регулирования; х_н – заданное значение управляемой величины; х_вых – действительное значение управляемой величины.

Для алгебраизации дифференциального уравнения применяется операционная форма записи. Если к переменной x(t) применить преобразование Лапласа, то получим так называемое изображение функции x(t):

x(p) = ò x(t) e^-pt dt,

где p = s +jw новая функция комплексного переменного.

При этом первая производная от х будет иметь изображение px(p), вторая—p²x(p), третья --p³x(p) и т.д. Интеграл от х будет иметь изображение х(р)/p. Если применить преобразование Лапласа к ранее записанному дифференциальному уравнению, то при нулевых начальных условиях оно примет вид

(a₀рⁿ + a₁p^n-1 +…+ a_n-1p + a_n)x_св(р) = 0.

Решив операционное уравнение, мы найдем не оригинал x(t), а только его изображение x(p). Определить оригинал по изображению можно или с помощью таблицы оригиналов и их изображений, или непосредственно, применив обратное преобразование Лапласа.

В качестве примера произведем расчет переходных процессов при включении электрической цепи постоянного тока, содержащую индуктивность и активное сопротивление:

Рис. 1.8. Включение электрической цепи, содержащей индуктивность.

 

Дифференциальное уравнение цепи

соответствующее однородное уравнение:

Корень этого уравнения α = -R/L. Величину обратную α обозначим τ. Эта величина называется постоянной времени цепи, содержащей индуктивность.

Свободная составляющая тока в цепи определится

Установившееся (вынужденное) значение тока .

Полное значение тока в переходной период

Определим постоянную интегрирования С.

Для этого учтем начальные условия. В момент включения (t = 0) ток равен нулю I = 0, 0 = C₁ + U/R; C₁ = - (U/R);

При отключении (при t = 0, I₀ = U/R I_y = 0)