Устойчивость автоматических систем.

Любая автоматическая система, подвергаемая действию возмущающих сил, отклоняется от равновесного состояния. При этом регулятор стремится обеспечить заданное значение регулируемой величины и в результате чего возникает переходный процесс.

При этом возможны три основных случая поведения системы:

1) система не может восстановить равновесного состояния, значение

управляемой величины все больше отклоняется от заданного; такой процесс называется расходящимся, а система — неустойчивой;

2) система с течением времени возвращается к равновесному состоянию, значение управляемой величины отличается от заданного на величину статической погрешности системы; такой переходный процесс будет сходящимся, а система— устойчивой;

3)система характеризуется установившимся периодическим

движением; такой называется незатухающим колебательным, а система— находящейся на границе асимптотической устойчивости.

 

Теорема устойчивости А. М. Ляпунова. Для того чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были с отрицательными вещественными частями.

Следствие.

Необходимым условием устойчивости линейной системы любого порядка является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения данной системы.

Для систем первого и второго порядка данное условие является и достаточным.

Для проверки систем на устойчивость разработано несколько алгебраических методов и на основе частотного анализа, а также на базе вычислительных методов.

Критерий Гурвица (1895г швейцарский математик)

Алгебраический критерий устойчивости в форме определителей. Используя коэффициенты характеристического уравнения, составляют главный определитель Гурвица. Для этого все коэффициенты, начиная с коэффициента при n—1-ой производной, выписывают последовательно, до свободного члена по главной диагонали. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами с возрастающими индексами, а столбцы вниз—коэффициентами с убывающими индексами. Места, которые должны быть заняты коэффициента ми с индексом выше а_n и ниже а₀, заполняют нулями.

Для того чтобы характеристическое уравнение имело все корни с отрицательной вещественной частью, главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры Ñ₂, Ñ₃ и т. д. должны иметь один знак с а₀, т. е. быть больше нуля. Номер диагонального минора определяет номер коэффициента по диагонали, для которого составляется данный минор.

Пример:

Характеристическое уравнение:

A₀p⁵ + A₁p⁴ + A₂p³ + A₃p² + A₄p + A₅ = 0

 

A₁ A₃ A₅ 0 0

A₀ A₂ A₄ 0 0 Ñ₂ = A₁ A₃

Ñ = 0 A₁ A₃ A₅ 0 A₀ A₂

0 A₀ A₂ A₄ 0

0 0 A₁ A₃ A₅

 

 

A₁ A₃ A₅ A₁ A₃ A₅ 0

Ñ₃ = A₀ A₂ A₄ Ñ₄ = A₀ A₂ A₄ 0

0 A₁ A₃ 0 A₁ A₃ A₅

0 A₀ A₂ A₄ Ñ₅ = Ñ

Вторая половина двадцатого века отмечена бурным развитием вычислительной техники и численных методов. Накоплены обширные библиотеки научных программ, в первую очередь на языке FORTRAN, предназначенных для решения типовых задач (задачи линейной алгебры, интегрирование, решение дифференциальных уравнений и т.д.). Кроме того, в последние годы появился целый ряд различных пакетов, реализующих разнообразные численные методы, а также способных производить аналитические математические преобразования, наиболее известными из которых на сегодня являются пакеты: Mathematica (фирма Wolfram Research), Maple (фирма Waterloo Maple Inc), MATLAB (фирма The MathWorks Inc.), Mathcad (фирма MathSoft Inc.).

Отмеченные обстоятельства существенно облегчают исследования автоматических систем на устойчивость и качество регулирования. По структурной схеме составляется система дифференциальных и алгебраических уравнений (см. раздел 1.10) и с привлечением указанных пакетов определяется изменение всех параметров системы во времени.

Особенно следует отметить вычислительную систему MATLAB (матричная лаборатория), которая была создана как язык программирования высокого уровня для технических вычислений. Она вобрала в себя не только передовой опыт развития современной компьютерной реализации численных методов за последние три-четыре десятилетия, но и опыт становления математики. Особенно тщательно здесь проработаны алгоритмы матричных операций, лежащие в основе средств моделирования сложных систем. Версия MATLAB 6.0 поставляется вместе с пакетом расширения Simulink 4.0, предназначенным для моделирования динамических систем, модели которых составляются из отдельных блоков (компонентов). Этот пакет является самым ярким представителем программ, созданных на основе системы MATLAB. В нем реализованы принципы визуально-ориентированного программирования, что позволяет легко набирать нужные блоки и соединять их с целью составления модели или устройства. При этом сложнейшие уравнения состояния, описывающие работу моделей систем или устройств, формируются автоматически.

Таким образом, в настоящее время вычислительные методы становятся наиболее мощным средством для анализа и синтеза систем автоматического регулирования.