Кинематические и передаточные функции механизмов

Как известно, в любом механизме имеется входное звено, в технологических машинах совпадающее с ведущим звеном, и выходное звено, связанное с исполнительным органом машины. На рис. 3.1 в блочном представлении изображён произвольный механизм. Стрелками на рисунке показаны входное и выходное звенья.

Под стрелками указаны параметры входа: – угол поворота ведущего звена и – его угловая скорость, и выхода, для наиболее часто встречающегося случая поступательного движения выходного звена: S – перемещение, V – скорость и
a – ускорение.

 

Зависимости параметров выхода от времени являются законом движения выходного звена и называются также кинематическими функциями. Они представляются в форме , , называемой скоростью, и , называемой ускорением.

Зависимость параметров выхода механизма от параметров входа характеризует внутреннее свойство механизма преобразовать движение независимо от времени. Первой зависимостью такого рода является функция положения механизма, устанавливающая связь между перемещением выходного звена и углом поворота (то есть перемещением) входного звена, то есть . Первая производная функции положения по называется аналогом скорости (или передаточной функцией скорости)

.

Вторая производная функции положения по параметру называется аналогом ускорения (или передаточной функцией ускорения)

.

Нетрудно установить связь между кинематическими функциями и их аналогами. Для этого необходимо иметь в виду, что . Тогда последние два выражения можно переписать так:

,

откуда следует, что аналог скорости является отношением скорости выходного звена к угловой скорости входного, и

.

Из этого выражения видно, что аналог ускорения представляет собой отношение ускорения выходного звена к квадрату угловой скорости входного звена.

Поэтому можно утверждать, что аналоги скоростей и ускорений являются внутренними характеристиками механизма, отражающими закон преобразования движения и не зависящими от времени.

Аналитический метод

Метод заключается в определении математических выражений, описы-вающих функциональную связь между входными и выходными параметрами механизма. Для этого служат различные приёмы и методы, такие как метод векторных контуров, который образуется заменой кинематических размеров звеньев векторами, с последующим проецированием этого контура на оси системы координат и получением на этой основе соответствующих уравнений, описывающих кинематику данного механизма. Этой же цели служит метод разбиения схемы механизма на прямо- или косоугольные треугольники, решая которые, получают необходимые математические выражения. Для составления некоторого первоначального представления о методе рассмотрим кинематику двух несложныхмеханизмов.

С и н у с н ы й м е х а н и з м (рис. 3.2) состоит из кривошипа, вращающегося вокруг неподвижной точки О, конец А которого образует вращательную кинематическую пару с ползуном 2. Ползун движется по вертикальному элементу ведомого звена 3, которое движется вдоль неподвижных горизонтальных направляющих. На первом этапе определяется зависимость перемещения S ведомого звена от угла α поворота ведущего кривошипа 1. Из рис. 3.2 видно, что

.

Дифференцируя по в первый раз, получаем аналог скорости ведомого звена

,

дифференцируя во второй раз, получаем аналог ускорения ведомого звена

.

Для расчёта скорости и ускорения ведомого звена необходимо воспользоваться выражениями

 

К р и в о ш и п н о-п о л з у н н ы й м е х а н и з м (рис. 3.3) широко известен тем, что применяется во многих областях техники, например в качестве основного механизма двигателей внутреннего сгорания, поршневых насосов, компрессоров, в полиграфической технике – в станках для обработки стереотипов и др.

Схему механизма возьмём в наиболее общем виде, когда направляющая точки B не проходит через центр вращения кривошипа O ₁, а располагается от неё на расстоянии e, называемом эксцентриситетом. В данной схеме эксцентриситет принимается отрицательным, так как отложен вниз от точки O ₁. Если он отложен вверх, то считается положительным. В связи с наличием e механизм называется эксцентричным или нецентральным. Он состоит из кривошипа 1, вращающегося относительно стойки 0 вокруг точки O ₁ с угловой скоростью ω ₁, так что точка A описывает окружность радиусом r. От кривошипа движение передаётся с помощью шатуна 2 длиной l на ползун 3, который движется возвратно-поступательно вдоль горизонтальных направляющих. В крайнем правом положении точка B ползуна занимает положение B ₀. При этом кривошип 1 и шатун 2 выстраиваются в одну прямую O ₁ B ₀, образующую угол ν (ню) с горизонталью, синус которого определяется формулой , и точка A занимает положение A ₀ на линии O ₁ B ₀. В текущем положении кривошип 1 повернут относительно его крайнего положения на угол α в сторону вращения. При этом точка B переместилась от её крайнего положения на величину S.

Задача исследования кинематики механизма состоит в определении функции положения и её первой и второй производных, то есть аналогов скоростей и ускорений.

Как видно из рис. 3.3, перемещение точки B от крайнего положения B ₀ можно выразить как S=DB ₀ – DB, причём, DB ₀, согласно теореме Пифагора, определяется как , а .

Для определения угла выразим длину вертикального отрезка двумя путями, получая двойное равенство: имеем , от-куда , или , где , является одной из геометрических характеристик механизма и находится обычно в пределах , а . Имея в виду соотношение между синусом и косинусом, получаем . Подставляя в S все най-

денные выражения, получаем

 

.

 

 

Или

.

 

Для перехода к аналогам скорости и ускорения необходимо это выражение продифференцировать дважды по , то есть получить выражения вида

 

и .

 

С привлечением для вычислительного процесса такого математического пакета, как MathCAD, нет необходимости выводить расчётные зависимости и , так как сама программа по соответствующей команде выведет необходимые выражения и выполнит по ним расчёт.

 

Пример. Рассмотрим составление программы и решение по ней задачи исследования кинематики кривошипно-ползунного механизма в математическом пакете MathCAD 2001i Professional (Листинг 3.1)

 

 

 

 

 

Так как угол удобнее брать в градусах, а программа MathCAD требует применения угла в радианной мере, то на графиках ось абсцисс обозначена формулой перевода угла α из радианной меры в градусную.

Для получения численных результатов анализа необходимо ввести ранжированную переменную , которой нужно задать пределы изменения от 0 до и шаг. Необходимо также ввести эту переменную как аргумент для изменения , то есть представить как функцию в виде .

 

Для расчёта скоростей и ускорений точки B ползуна достаточно воспользоваться следующими формулами перехода

и .

При этом те же графики, но с другими масштабами по осям ординат будут графиками изменения указанных кинематических функций. Численные значения кинематических функций можно получить также с помощью введения ранжированной переменной.

 

3.4. Метод планов положений, скоростей и ускорений

 

О п р е д е л е н и е ф у н к ц и и п о л о ж е н и я. При использовании графоаналитического метода определение функции положения механизма производится с помощью разметки механизма. Разметка механизма – это ряд последовательных его положений, построенных в зависимости от положений входного звена, охватывающих весь цикл его движения (как правило, один оборот). Каждый механизм в соответствии с его кинематической схемой имеет свои особенности в построении разметки.

Для примера на рис. 3.4 приведена разметка кривошипно-ползунного механизма. Она строится в некотором масштабе µ_l, начиная от одного из крайних положений, отмечаемого нулевым номером. Затем окружность, описываемая концом A входного звена (кривошипа), делится на двенадцать равных частей, которые обозначаются номерами в направлении угловой скорости A ₀, A ₁, A ₂, …, A ₁₂. После этого строятся положения остальных звеньев механизма, и траектории заданных точек. В частности, положения точки B строятся раствором циркуля, игла которого ставится в точках A, а карандашом делаются засечки на направляющей точки B радиусом, равным длине шатуна l в масштабе построения. В результате этих действий получаются точки B ₀, B ₁, B ₂, …, B ₁₂.

 

 

Рисунок 3.4

 

 

Для построения траектории точки S ₂ шатуна необходимо взять в масштабе расстояние от точки A до точки S ₂ и отложить это расстояние во всех положениях шатуна в направлении к точке B. Затем соединить последовательно полученные на шатуне точки.

С помощью разметки легко определить путём измерений перемещения точки В ведомого звена, соответствующие углам поворота кривошипа, и представить их в виде графика или таблицы. Это и будет функция положения механизма.

Необходимые действия можно представить в такой форме

, м ,

где n – количество положений механизма в цикле, в большинстве случаев . S_i обозначает натуральное значение перемещения точки B, – перемещение в том же положении, но в масштабе разметки.

О с н о в ы т е о р и и м е т о д а п л а н о в с к о р о с т е й и у с к о -
р е н и й. Планом скоростей (ускорений) механизма называется пучок векторов, выходящих из одной точки (полюса плана), каждый из которых в некотором масштабе изображает вектор абсолютной скорости (абсолютного ускорения) какой-либо точки механизма, а отрезки, соединяющие их концы, изображают векторы относительных скоростей (относительных ускорений). Построение планов скоростей и ускорений всегда начинается от ведущего звена механизма и выполняется в порядке присоединения групп Ассура к исходному механизму, то есть следует порядку записи формулы строения механизма. В последнюю очередь определяются кинематические характеристики ведомого звена (исполнительного органа машины).

Построение плана скоростей сводится к реализации известного положения теоретической механики, согласно которому при плоско-параллельном (или сложном) движении твёрдого тела (звена) абсолютная скорость любой его точки равна векторной сумме скорости в переносном движении вместе с другой точкой, принятой в качестве полюса, и скорости её в относительном движении относительно этого полюса, то есть , где – вектор абсолютной скорости точки, то есть её скорости относительно стойки;
– вектор скорости точки в переносном движении вместе с полюсом; – вектор её скорости относительно полюса. Рассуждая формально, можно заключить, что согласно приведённому векторному равенству, план скоростей представляет собой некий треугольник, который необходимо построить. Построение треугольника возможно в следующих случаях: если известны все три его стороны, если известны две стороны и угол между ними и, наконец, если известна одна сторона и направления двух других сторон. Последний случай чаще всего и встречается в практике построения планов скоростей. Причём известной стороной искомого треугольника (плана скоростей) является вектор , который определяется предварительно или по исходным данным, или в результате расчёта предыдущей группы Ассура в составе механизма. Так как каждый вектор характеризуется двумя параметрами – модулем (величиной) и направлением, то приведённое выше векторное равенство содержит шесть параметров. Для построения плана скоростей четыре из них должны быть известны, а два оставшихся определяются в результате построения плана. Если количество известных параметров меньше четырёх, то должна быть возможность составления второго уравнения с таким же количеством известных и неизвестных, которое вместе с первым составит систему двух уравнений с четырьмя неизвестными. Решением такой системы станет план скоростей в виде векторного многоугольника.

С ускорениями задача более сложна. Здесь приходится учитывать, какое по характеру движение относится к переносному и какое – к относительному.
В механизмах со стержневыми звеньями (с низшими кинематическими парами) наиболее часто встречаются три случая.

 

В первом случае и переносным, и относительным движениями является поступательное (рис. 3.5, а). При этом составляется векторное уравнение на основе упомянутого выше положения вида , в котором – вектор абсолютного ускорения данной точки; – вектор переносного ускорения;
– вектор относительного ускорения. Вектор определяется предварительно и к построению плана ускорений известен по величине и направлению. Абсолютное и относительное ускорения должны иметь известные направления, поэтому задача сводится к построению треугольника ускорений, как и при построении плана скоростей.

Во втором случае переносным движением является поступательное, а относительным – вращательное (рис. 3.5, б). Первое векторное уравнение требуется в виде , где вектор переносного ускорения определяется предварительно и по величине, и по направлению. Вектор относительного ускорения представляется как векторная сумма , в которой есть
вектор нормальной составляющей полного относительного ускорения и по величине определяется через скорость точки в её относительном вращательном движении на радиусе вращения , или через угловую скорость этого вращения по формулам . Этот вектор направлен к центру относительного вращения точки по радиусу . Вектор тангенциальной составляющей полного относительного ускорения направляется перпендикулярно радиусу относительно вращения . Таким образом, уравнение ускорений может быть переписано в таком виде , где двумя чертами подчёркнуты векторы, известные по величине и по направлению, одной – только по направлению. Вектор левой части уравнения может быть известен по направлению, и тогда план ускорений строится без затруднений. Если его направление неизвестно, то должна быть возможность составления второго аналогичного уравнения, которое совместно с первым составит систему двух уравнений с четырьмя неизвестными, которая решается путём построения плана ускорений.

В третьем случае переносным движением является вращательное, а относительным – поступательное (рис. 3.5, в). Векторное уравнение для построения плана ускорений записывается в таком виде . В этом уравнении второе слагаемое правой части представляет собой Корио′лисово ускорение. Его величина находится по формуле , в которой – угловая скорость переносного движения, – скорость относительного движения. Направление этого ускорения назначается по следующему правилу: вектор Кориолисова ускорения повернут на 90º относительно вектора относительной скорости в сторону переносной угловой скорости . Третий вектор правой части имеет неизвестную величину, а направлен параллельно вектору относительной скорости . Как видим, векторное уравнение содержит три неизвестных, поэтому не может быть решено. Необходимо добавить ещё одно уравнение, которое имеет вид . В правой части этого уравнения вектор определяется как и все нормальные составляющие ускорений и, таким образом, известен и по величине, и по направлению (подчёркнут двумя чертами), а вектор известен по направлению линии действия (подчёркнут одной чертой). Эти уравнения и составляют систему, которая позволяет определить с помощью построения плана ускорений.

Рассмотрим построение планов скоростей и ускорений механизмов с группами Ассура второго класса в порядке их усложнения.

 

М е х а н и з м с г р у п п о й А с с у р а 2-го к л а с с а 5-г о в и д а.

Примером механизма, содержащим группу Ассура 2-го класса 5-го вида в простейшем её виде, является ранее рассмотренный синусный механизм (рис. 3.6). Изобразим его снова в некотором масштабе в произвольном положении (рис. 3.6, а). На рисунке буквой O ₁ отмечен центр вращения кривошипа 1, вращающегося с угловой скоростью ω ₁ в направлении, указанном стрелкой. В данный момент его положение определяется произвольным углом α. Геометрический центр вращательной кинематической пары A обозначен в скобках A₁ и A ₂, так как эта точка принадлежит одновременно и звену 1, и звену 2. Кулисный камень 2 движется относительно вертикального участка звена 3 (кулисы), которое движется относительно неподвижных направляющих в горизонтальном направлении. Буквой A ₃ обозначена точка кулисы 3, совпадающая в данный момент с точкой A. Задача исследования кинематики механизма заключается в определении скорости и ускорения кулисы 3, т. е. её точки A ₃. Что касается положения кулисы, то оно полностью определяется углом поворота кривошипа α.

 

 

Точка A движется вместе с кулисой в переносном поступательном движении и относительно кулисы в относительном движении. Свяжем движение точки A с движением точки A ₃ и запишем уравнение . В результате сложения этих двух прямолинейных движений получается абсолютная скорость точки A. Так как требуется определить , то это уравнение удобнее представить в виде . Но , поэтому .

В последнем уравнении – вектор абсолютной скорости точки A ₃ (следовательно, и самой кулисы), направленный по горизонтали и подчёркнутый одной чертой, как известный по направлению; – вектор абсолютной скорости точки A, определяемой формулой . Направлена она перпендикулярно кривошипу в данном его положении, как скорость точки, вращающейся относительно другой, неподвижной точки (O ₁). Так как об этом векторе известно всё, то он подчёркнут в уравнении двумя чертами. Второе слагаемое правой части является, по существу, вектором относительной скорости точки A ₃ относительно точки A. Он направлен вдоль вертикального элемента кулисы 3 и подчёркнут одной чертой, так как известен один его параметр (направление).

Построение плана скоростей начинается с выбора масштаба μ_V и произвольной точки П (прописная греческая буква «пи»), принимаемой в качестве полюса плана (рис. 3.6 б). Из этой точки строится отрезок , выражающий скорость точки A конца кривошипа и направленный перпендикулярно кривошипу. Из его конца, согласно правилу сложения векторов, проводится линия действия вектора относительной скорости в соответствующем направлении. Затем из полюса П проводится линия действия вектора до пересечения с предыдущей вертикальной прямой. Точка пересечения a ₃даёт величины и направления скоростей и в масштабе .

Переходим к построению плана ускорений. Векторное уравнение ускорений записывается аналогично соответствующему уравнению скоростей , в котором является вектором абсолютного ускорения точки A ₃ кулисы, а следовательно, и самой кулисы. Это ускорение направлено вдоль горизонтальной направляющей, т. е. известно по направлению линии действия, поэтому подчёркнуто одной чертой. Первое слагаемое правой части есть ускорение точки A конца кривошипа, по величине равное (оно представляет собой нормальную составляющую ускорения точки A, в то время как тангенциальная составляющая ускорения этой точки равна нулю в силу постоянства угловой скорости кривошипа). Это ускорение направлено от точки A к центру O ₁ вращения кривошипа. Таким образом, это слагаемое полностью известно и подчёркнуто в уравнении двумя чертами. Второе слагаемое правой части представляет собой вектор относительного ускорения точки A ₃ относительно точки A. Он пока неизвестен по величине, а что касается направления, то о нём можно сказать, что оно известно по положению линии действия, направленной параллельно вертикальному элементу кулисы 3. Поэтому данный вектор в уравнении ускорений подчёркнут одной чертой.

Выбираем произвольную точку π (рис. 3.6 в) в качестве полюса и масштаб . Из полюса параллельно кривошипу, в направлении от его точки A к центру вращения кривошипа O ₁ направляем вектор в виде отрезка . Из его конца a проводим вертикальную прямую, имея в виду, что на ней должен лежать вектор . Затем снова из полюса π проводим горизонтальную прямую до пересечения с только что проведённой вертикальной прямой. Точка пересечения определяет величины и направления искомых векторов и .

В заключение в соответствии с масштабами планов вычисляем величины искомых скоростей и ускорений:

 

– абсолютная скорость кулисы ;

– скорость кулисы относительно камня ( – отрезок плана скоростей);

– абсолютное ускорение кулисы ;

– ускорение кулисы относительно камня ( – отрезок плана ускорений).

М е х а н и з м с г р у п п о й А с с у р а 2-г о к л а с с а 2-г о в и д а.

Рассмотрим построение планов скоростей и ускорений на примере криво-шипно-ползунного механизма, в составе которого имеется одна группа Ассура, а именно, группа Ассура 2-го класа 2-го вида (рис. 3.7, а). Схема механизма должна быть изображена в масштабе в исследуемом положении. Прежде необходимо определить параметры движения точки А.

Её скорость по величине равна произведению угловой скорости кривошипа 1 на его радиус , т. е. и направлена перпендикулярно кривошипу в сторону движения точки А. Ускорение точки А по величине равно произведению квадрата угловой скорости кривошипа также на его радиус, то есть и направлено от точки А к точке О ₁, так как совпадает с нормальной составляющей полного ускорения точки А из-за равенства нулю тангенциальной составляющей ускорения (угловое ускорение кривошипа принимается равным нулю). Точка А принадлежит не только кривошипу, но и шатуну 2 и принимается в качестве полюса относительного вращения точки В. Так что в данном механизме переносным движением точки B является её поступательное движение вместе с точкой A, а относительным движением – её вращательное движение относительно этой точки.

Скорость точки В определяется векторным равенством , то есть скорость точки В равна скорости точки А плюс скорость точки В относительно точки А. В этом равенстве первое слагаемое правой части известно по величине и направлению (подчёркнуто двумя чертами), второе слагаемое направлено перпендикулярно шатуну 2 в данном положении, то есть известно только по направлению (подчёркнуто одной чертой), и, наконец, вектор левой части направлен параллельно направляющим ползуна (также подчёркнут одной чертой). При этих условиях треугольник скоростей легко строится в предварительно выбранном масштабе (рис. 3.7, б) по правилу сложения векторов.

Построение вектора скорости центра масс шатуна выполняется следующим образом. Согласно теореме подобия, фигура, образованная векторами относительных скоростей звена на плане скоростей, подобна фигуре звена на плане механизма. Исходя из этого, можно записать пропорцию

,

в которой все члены записаны в виде отрезков. Из этой пропорции следует, что отрезок . Построив этот отрезок на плане скоростей, получим точку , соединив которую с полюсом плана, находим вектор скорости точки S ₂.

Построение плана ускорений производится в той же последовательности, что и плана скоростей. При этом используется векторное равенство , в котором первый вектор правой части известен полностью, второй неизвестен ни по величине, ни по направлению. Вектор левой части известен по направлению – он направлен параллельно направляющим ползуна.
В этих условиях треугольник ускорений не строится. Разложим вектор относительного ускорения на две составляющих, согласно равенству . Первое слагаемое представляет собой относительное нормальное ускорение, направленное от точки В к точке А и равное по величине частному от деления квадрата относительной скорости на длину шатуна, то есть . Второе слагаемое, относительное тангенциальное ускорение направлено перпендикулярно шатуну 2 и неизвестно по величине. Теперь план ускорений строится без затруднений с применением заранее выбранного масштаба . План ускорений данного механизма представлен на рис. 3.7, в.

Определение ускорения центра масс S ₂производится точно так же, как это делалось для определения его скорости согласно теореме подобия.

Используя планы, легко найти физические величины скоростей и ускорений, для чего необходимо измерить отрезки в миллиметрах, выражающие скорости и ускорения, и умножить их на соответствующий масштаб:

– абсолютная скорость ползуна 3 (точки В): , ;

– относительная скорость точки В: , ;

– абсолютная скорость центра масс S ₂ шатуна 2: , ;

– угловая скорость шатуна 2: , ;

– абсолютное ускорение ползуна 3 (точки B): , ;

– тангенциальное ускорение точки В относительно точки А:

, ;

– полное относительное ускорение точки B: , ;

– абсолютное ускорение центра масс S ₂ шатуна 2: , ;

– угловое ускорение шатуна 2: , .

М е х а н и з м с г р у п п о й А с с у р а 2-г о к л а с с а 1-г о в и д а.

Как было отмечено в разделе структуры механизмов, группа Ассура 1-го вида состоит из двух звеньев и трёх вращательных кинематических пар. Механизм с такой группой является четырёхшарнирным механизмом (рис. 3.8, а).

Векторное уравнение для построения плана скоростей составляется так же, как и в предыдущем механизме, и записывается . Треугольник скоростей строится так же, как и ранее для группы второго вида, но вектор скорости точки B направляется перпендикулярно звену 3 (рис. 3.8, б). Векторы скоростей центров масс S ₂ шатуна 2 и S ₃ коромысла 3 находятся по теореме подобия, как описано выше.

План ускорений строится согласно векторному уравнению

,

к которому необходимо добавить ещё одно в силу недостаточности количества известных величин . В результате получается система двух уравнений с четырьмя неизвестными, которая легко решается графическим путём. Величины, подчёркнутые двумя чертами, вычисляются следующим образом:

, , .

Их направления отображены на плане ускорений. Тангенциальные составляющие направлены: перпендикулярно AB, перпендикулярно BC. План ускорений представлен на рис. 3.8, в. Для нахождения векторов ускорений центров масс S ₂ шатуна 2 и S ₃ коромысла 3 необходимо найти векторы полных относительного ускорения и абсолютного . После этого задача решается так же, как описанное выше нахождение векторов скоростей этих точек.

На последнем этапе расчёта измеряются векторы скоростей и ускорений всех интересующих расчётчика точек механизма и с учётом масштабов вычисляются их физические величины:

– абсолютная скорость точки B: , мс ^-1;

– скорость точки B относительно точки A: , мс ^-1;

– абсолютная скорость центра масс S ₂ шатуна 2: