Расчет степени подвижности механизма

Степенью подвижности механизма (или числом степеней свободы механи- зма) называется количество обобщённых (независимых) координат, которое должен иметь механизм для того, чтобы все его звенья имели вполне определённые движения.

Представим себе, что нам необходимо спроектировать механизм из звеньев.

Так как каждое звено, будучи свободным в пространстве, обладает шестью степенями свободы, то получим:

– общее количество степеней свободы всех звеньев.

При образовании кинематической цепи звенья теряют свои степени свободы.

Если в кинематической цепи

– количество кинематических пар 5-го класса, а каждая такая пара накладывает пять условий связей на относительное движение звеньев, поэтому

– общее количество условий связей, наложенных всеми парами 5-го класса.

Пусть также в кинематической цепи

– количество кинематических пар 4-го класса. Так как каждая пара 4-го класса накладывает четыре условия связей, то

– общее количество условий связей, наложенных на относительное движение звеньев всеми парами 4-го класса.

И далее по аналогии:

– количество кинематических пар третьего класса, − общее количество условий связей, наложенных всеми парами 3-го класса.

– количество кинематических пар второго класса, − общее количество условий связей, наложенных всеми парами 2-го класса.

– количество кинематических пар первого класса, − общее количество условий связей, наложенных всеми парами первого класса.

Если обозначить как общее количество условий связей в кинематической цепи, наложенное парами всех классов, то

.

Количество степеней свободы кинематической цепи определится разностью между числами и :

.

Механизм – это кинематическая цепь с одним неподвижным звеном, совершающая целесообразные однозначно определенные движения. Поэтому при образовании механизма одно из его звеньев должно быть сделано неподвижным (стойкой), при этом теряется ещё шесть степеней свободы. Тогда число степеней свободы механизма будет: , или

.

Обозначив ( –количество подвижных звеньев механизма относительно стойки), имеем

.

Эта формула была дана П. И. Сомовым в 1887 году и развита до современного вида А. П. Малышевым в 1923 году, поэтому она называется формулой Сомова – Малышева.

Фактически означает количество независимых движений, которые должен иметь данный механизм для получения полной определенности в движениях всех его звеньев. По существу означает чаще всего количество ведущих звеньев механизма.

В случае плоского механизма все звенья в его составе обладают не шестью степенями свободы, а только тремя. Поэтому для получения формулы степени подвижности необходимо из всех коэффициентов формулы Сомова – Малышева вычесть число 3:

Проведя соответствующие действия в скобках, находим окончательно

.

Эта формула была получена в 1869 году академиком Петербургской Академии наук П. Л. Чебышёвым и носит название формулы Чебышёва.

Пример. Механизм поперечно-строгального станка (рис. 1.7).

Обозначим номера подвижных звеньев данной схемы арабскими цифрами, их количество составит n = 5, римскими цифрами обозначим номера кинематических пар 5-го класса, получив их количество p ₅ = 7, пары 4-го класса в этом механизме отсутствуют, т. е. p ₄ = 0. Расчёт по формуле Чебышёва даёт

W = 3·5 – (2·7 + 1∙0) = 1.

Следовательно, в этом механизме одна степень свободы, что означает необходимость выбрать одно ведущее звено для его нормального функционирования.