При внешних силах – функциях перемещений

 

Т о ч н о е р е ш е н и е. Эта задача, как было указано выше, является обратной задачей динамики, а именно – задачей динамического синтеза. Исходными данными для решения являются приведённые моменты сил
и и переменная часть приведённого момента инерции механизмов машины . Кроме этого, задаются кинематические параметры – средняя угловая скорость звена приведения и коэффициент неравномерности его движения .

Задача заключается в определении момента инерции маховика, который должен обеспечить заданную величину .

Любым из известных способов определяем избыточную работу и представляем её в виде графика (рис. 6.8). В правом нижнем углу графика помещаем диаграмму приведённого момента инерции , повернув её на 90º по направлению хода часовой стрелки.

Графическим исключением параметра из графиков и строим диаграмму энергомасс. Для определения момента инерции маховика необходимо найти положение фактического начала координат O диаграммы энергомасс как точку пересечения касательных к кривой графика, проведённых под углами и . Чтобы найти эти углы, необходимо сначала определить и , решив систему уравнений

 

Решение этой системы даёт

и .

Из приведённых выше формул определяем углы через их тангенсы

Под углом проводим касательную к линии графика в верхней его части, а под углом – в нижней части. Касательные пересекаются друг с другом в точке O, расстояние от которой до оси в масштабе выражает момент инерции маховика. Так что .

Из-за малой величины значения и и, соответственно, и мало отличаются друг от друга, а потому касательные почти параллельны. В связи с этим точка O пересечения касательных находится далеко за пределами диаграммы энергомасс, и определение отрезка затруднительно. Поэтому расчёт момента инерции маховика производится через отрезок , который получается на оси (рис. 6.8) между точками пересечения касательных с этой осью.

Для вывода расчётной формулы выразим, согласно рис. 6.8, длину этого отрезка и затем выполним соответствующие преобразования:

Разложив разность квадратов в скобках на множители и заменив последние их выражениями, полученными из приведенных выше формул для вычисления и , запишем

.

 

Подставив результат разложения в предыдущее выражение, находим

.

Решив это выражение относительно , получаем искомую формулу

П р и б л и ж ё н н о е р е ш е н и е. В тяжелонагруженных тихоходных машинах, имеющих большие значения избыточных работ, углы наклона касательных к диаграмме энергомасс часто бывают невелики, или даже близкими к нулю. Для расчёта момента инерции маховика такой машины в некоторых случаях целесообразно принять допущение, что разность между максимальным и минимальным значениями кинетической энергии машины, численно равная максимальному перепаду избыточной работы, полностью поглощается маховиком. Для иллюстрации этого служит рис. 6.9. Допущение здесь заключается в том, что мы пренебрегаем той частью кинетической энергии, которая поглощается звеньями механизма.

Обозначим перепад избыточной работы , который вычисляется с учётом знаков слагаемых. Согласно принятому допущению, эта величина составляет разность между максимальным и минимальным значениями кинетической энергии маховика , то есть .

Максимальная величина кинетической энергии маховика вычисляется по формуле

,

минимальная величина вычисляется по формуле

.

Поэтому разность этих величин даёт выражение

.

Объединяя результаты выкладок, имеем , а значит, и , откуда окончательно получаем

.

Как видно из формул расчёта момента инерции маховика, достичь полного постоянства угловой скорости невозможно, так как для этого необходимо иметь бесконечно большой маховик (в знаменателе требуется ). Ясно также, что увеличение скорости вращения маховика ведёт к уменьшению его массы и размеров, поэтому целесообразно маховик устанавливать на более быстроходный вал.