Векторов. Базис и ранг системы векторов.

Теоретические вопросы;

1. Определение линейно зависимой, линейно независи-

мой системы векторов.

2. Что означает линейная зависимость в случае, когда сис-

тема состоит из одного вектора? Из двух векторов?

3. Какая система векторов называется ступенчатой? Из не-

скольких векторов может состоять ступенчатая система?

Почему? Ступенчатая система векторов линейна независима?

4. Определение базиса конечной системы векторов.

5. Ранг конечной системы векторов (определение).

6. Из скольких векторов может состоять базис системы

векторов в.

7. На сколько единиц ранг основной матрицы может отли-

чаться от ранга расширенной матрицы?

Упр № 1. а) Докажите, что если подсистема системы век-

торов линейно зависима, то система линейно зависима.

б) Сформулируйте обратную противоположной

теореме для г).

в) Если упороченная система векторов линейно

независима, то удлиненная линейно независима.

г) Докажите, что если строки основной матрицы

линейно независимы, то система уравнений совместна

при любом столбце свободных членов.

Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Домашнее задание: Докажите, что система содержа -

шая а) нулевой вектор линейно зависима.

б) два коллинеарных вектора линейно зависимы

в) два равных вектора линейно зависима.

Почему условия а, б, в только достаточны для линей-

но независимости?

 

Упр № 2. Выясните, являются ли следующие системы векторов

линейно зависимыми или линейно независимыми.

а) ₁ = (1, 2, -1), ₂ =(0, 1, 1), ₃ =(1, 3, 1), ₄=(1,4,1)

б) ₁=(2, 1, -1, 1), ₂=(-1, 0, 1, 1), ₃=(-3, 0, -1, 5),

₄ = (-1, 4, -3,3)

в) ₁ = (2, 2, -1, 1), ₂ = (1, -1, 1, 1), ₃ = (-1, 2, 3, 1)

= (1, 0, 5, 3)

Упр № 3. Выясните, при каких значениях параметра а век-

торы ₁, ₂, ₃, ₄ будут линейно зависимы, а при

каких значениях оин будут линейно независимы, если

₁ = (1,1, 1,1), ₂=(а, 1,а, 1), ₃ =(а,а, 2, 2), ₄=(1,2,1-а,3)

Упр № 4. Найдите все значения , при которых вектор

линейно выражается через векторы ₁, ₂,... ₃; т.е

Î L( ₁, ₂, ₃)

а) ₁ = (2, 3, 5), ₂ = (3, 7, 8), ₃ = (1, -6, 1), = (7, -2,l)

б) ₁ = (3, 2, 5), ₂ = (2, 4, 7), ₃ = (5, 6, l), = (1, 3, 5)

 

Упр № 5. Пусть система вектор , , линейно незави-

сима. Докажите, что системы .

а) +, + , +

б) + , + + , линейно независимы.

Упр № 6. Найдите базис и ранг системы векторов и осталь-

ные векторы выразите через этот базис:

а) ₁ = (5, 8, 7), ₂ = (2, 3, 4), ₃ = (1, 2, -1), ₄ = (4, 7,2)

б) ₁ = (5, 2, -3, 1), ₂ = (4, 1, -2,3), ₃ = (1,1,-1,-2),

₄= (3, 4,-1,2)

Упр № 7. Найдите все базисы системы векторов:

а) ₁ = (1, 2, 0, 0), ₂ = (1, 2, 3, 4), ₃ = (3, 6, 0, 0)

б) ₁ = (1, 2, 3, 4), ₂ = (2, 3, 4, 5), ₃ = (3, 4, 5, 6),

₄ = (4, 5, 6, 7)

Домашнее задание:

1. Исследуйте на линейную зависимость систему векторов:

 

₁ = (2, 1,11,2), ₂ = (1, 0,4, -1), ₃ = (1, 4, 56, 5)

₄ = (2,-1, 5, -6), ₅ = (-1, 0, -4, -7). Выражается ли вектор ₅ через вектора ₁, ₂, ₄ .

 

2.. Найдите какой нибудь базис ситемы векторов и выра-

зите остальные векторы через этот базис.

₁ = (2, 1,-3,1), ₂ = (4, 2,-6,2), ₃ = (6, 3,-6, 3)

₄ = (1,1,1, 1),

 

3. Найдите все базисы системы векторов:

₁ = (1, 2, 3), ₂ = (2, 3, 4), ₃ = (3, 2, 3)

₄ = (4, 3, 4), ₅ = (1, 1, 1)

4. Выражается ли вектор = (2, 1, 2) через векторы

₁ = (1, 2, 1), ₂ = (1, -2, -3), ₃ = (-1, 2, 3)

5. Докажите, что векторы ₁, ₂ , _{3, 4} образуют

базис R⁴, Найдите координаты вектора в этом

базисе:

₁ = (1, 2,-1, 0), ₂ = (1,-1 1,1), ₃ = (-1, 2, 1, 1)

₄ = (1,-1, 0, 1), = (0, 7, -1, 0)

 

 

З А Н Я Т И Е № 15.

 

Критерий совместности системы линейных

Уравнений.

Теоретические вопросы;

1. Определение ранга матрицы.

2. Критерий совместности системы линейных уравнений

3. Критерий определенности системы линейных уравне-

ний, критерий неопределенности.

4. Почему однородная система линейных уравнений

всегда совместна.

15.1. Чему равен ранг матрицы при различных значениях l?

 

а) А = б) А =

15.2. Исследовать совместность и найти общее решение и

одно частное решение ситемы уравнений.

1. 2х₁ + 2х₂ + 4х₃ - х₄ + 3х₅ = 2

х₁ +х₂ +3х₃ - 2х₄ +3х₅ = 1

3х₁ +3х₂ + 5х₃ - 2х₄ +3х₅ = 1

2х₁ + 2х₂ +8х₃ - 3х₄ +9х₅ = 2

 

2. 2х₁ - х₂ + х₃ + 2х₄ + 3х₅ = 2

6х₁ - 3х₂ +2х₃ + 4х₄ +5х₅ = 3

6х₁ - 3х₂ + 4х₃ + 8х₄ +13х₅ = 9

4х₁ - 2х₂ +х₃ + х₄ +2х₅ = 1

 

3. 2х₁ + 5х₂ - 8х₃ = 8

4х₁ + 3х₂ - 9х₃ = 9

2х₁ + 3х₂ - 5х₃ = 7

х₁ + 8х₂ - 7х₃ = 12

 

4. х₁ + 2х₂ + 3х₃ - 2х₄ + х₅ = 4

3х₁ + 6х₂ +5х₃ - 4х₄ +3х₅ = 3

х₁ + 2х₂ + 7х₃ - 4х₄ +х₅ = 11

2х₁ + 4х₂ +2х₃ - 3х₄ +3х₅ = 6

 

15.3. Найдите общее решение для систем уравнений.

1. х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ = 0

 

2.. х₁ + 2х₂ + 4х₃ - 3х₄ = 0

3х₁ + 5х₂ +6х₃ - 4х₄ = 0

4х₁ + 5х₂ - 2х₃ + 3х₄ = 0

3х₁ + 8х₂ +24х₃ - 19х₄ = 0

 

3. 3х₁ + 5х₂ + 2х₃ = 0

4х₁ + 7х₂ + 5х₃ = 0

х₁ + х₂ - 4х₃ = 0

2х₁ + 9х₂ + 6х₃ = 0

 

4. 5х₁ + 6х₂ - 2х₃ + 7х₄ + 4х₅ = 0

2х₁ + 3х₂ -х₃ + 4х₄ +2х₅ = 0

7х₁ + 9х₂ - 3х₃ + 5х₄ +6х₅ = 0

5х₁ + 9х₂ - 3х₃ + х₄ +6х₅ = 0

 

15.5. Исследуйте систему и найдите общее решение в

зависимости от значения параметра l.

 

а) 5х₁ - 3х₂ + 2х₃ + 4х₄ = 3

4х₁ - 2х₂ +3х₃ + 7х₄ = 1

8х₁ - 6х₂ - х₃ - 5х₄ = 9

7х₁ - 3х₂ +7х₃ + 17х₄ = l

 

б) 2х₁ + 3х₂ + х₃ + 2х₄ = 3

4х₁ + 6х₂ +3х₃ + 4х₄ = 5

6х₁ + 9х₂ + 5х₃ + 6х₄ = 7

8х₁ + 12х₂ +7х₃ + lх₄ =9

 

Домашнее задание

1. Даны системы линейных уравнений:

 

а) 2х₁ + х₂ - х₃ + 3х₄ = 0

3х₁ - х₂ - х₃ + х₄ = 0

х₁ + 3х₂ - х₃ + 5х₄ = 0

 

б) х₁ + 21х₂ + (1 - i) х₃ = 0

-х₁ + 2х₂ + (-1 - i) х₃ = 0

3х₁ + 61х₂ + (3 - 3i)х₃ = 0

Докажите, что системы имеют ненулевые решения.

Найдите общее решение и одно четное.

 

2. Даны системы линейных уравнений:

а) 2х₁ - х₂ + 3х₃ + 4х₄ = 5

4х₁ - 2х₂ + 5х₃ + 6х₄ =7

 

б) х₁ + х₂ + 3х₄ = 5

4х₁ + х₂ + 2х₃ - х₄ = 6

3х_{1 -} 4х₃ - х₄ = -2

2х₁ - х₂ +3х₃ +6х₄ =10

 

в) 3х₁ - 5х₂ + 2х₃ + 4х₄ = 2

7х₁ - 4х₂ + х₃ + 3х₄ = 5

5х₁ + 7х₂ - 4х₃ - 6х₄ = 3

 

Исследуйте совместность и найдите общее решение

и одно частное решение систем уравнений.

 

3. Вычислите ранг матрицы в зависимости от параметра а.

 

Дополнительные задания:

1. lх₁ + х₂ + х₃ = 1

х₁ + lх₂ + х₃ = 1

х₁ + х₂ +lх₃ = 1

 

2. (1 + l) х₁ + х₂ + х₃ = 1

х₁ + (1 + l)х₂ + х₃ = l

х₁ + х₂ + (1 + l)х₃ = l²

 

З А Н Я Т И Е № 16.

 

Определители

 

Теоретические вопросы:

 

1. Определитель квадратной матрицы порядка n (определение)

2. Запишите формулу для вычисления определителя 2-ого и 3-го порядка.

3. Основные свойства определителя.

4. Достаточные условия равенства нулю определителя

5. Миноры и их алгебраические дополнения.

6. Способы вычисления определителей.

П р и м е р.

16.1. Вычислите определители:

1. 2. 3.

4. 5.

16.2. Выясните, какие из приведенных ниже произведений

входят в определители соответствующих порядков

и с какими знаками:

а) а₄₃ а₂₁ а₃₅ а₁₂ а₅₄

б) а₆₁ а₂₃ а₃₆ а₁₂ а₅₄

в) а₂₇ а₃₆ а₅₁ а₇₄ а₂₅ а₄₃ а₆₂

16.3. Выберите значения i и k так, чтобы произведение

а₆₂ а_i5 а₃₃ а_к4 а₄₆ а₂₁ входило в определитель 6 - го порядка со знаком минус.

16.4. а) Выпишите все слагаемые входящие в определитель 5 - го порядка и имеющие вид а₁₄ а₂₃ а_{3 L3} а_4L4 а₅₅

б) Выпишите все слагаемые входящие в определитель 4 - го порядка со знаком минус и содержащие множитель а₂₃.

 

16.5. Вычислите определители 3 - го порядка.

1. 2. 3.

 

4. 5.

16.6. Разложите определитель по элементам 3 - го столбца.

 

 

 

Упр 7. Вычислите определители методом приведения к

треугольному виду:

а) б)

Упр 8. Вычислите определители:

 

1. 2.

 

 

3. 4.

 

5. 6.

 

Упр 9. Дан определитель Д =

 

а) Запишите разложение определителя по второй строке.

б) Составьте определитель Д₁, заменив 3 - й столбец

определителя Д линейной комбинацией 1 - го и 2 - го

столбца с коэффициентами l₁ = -1, l₂ = 3

в) Вычислите определитель Д, получив предварительно

нули в какой-либо строке или столбце. Верно ли, что

Д₁ = Д?

г) Поменяйте местами 1-й и 2-й столбца определителя Д.

Вычислите полученный определитель.

 

Дополнительные задания:

1. Докажите, что делится на 275.

2. Решите уравнения:

а) = 0 б) = abc

 

Домашнее задание

1. Вычислите определители:

1). 2).

3). 4).

2. Вычислите определители 3 - го порядка:

1. 2.

3. С какими знаками входят данные произведения в определители соответствующих порядков:

1. а₁₃ а₂₂ а₃₁

2. а₁₂ а₂₃ а₃₄ а₄₅ а₅₆ а₆₇ а₇₈ а₈₁?

4. Входят ли в определитель 5-го порядка произведения:

1. а₁₃ а₂₄ а₂₃ а₄₁ а₅₅

2. а₂₁ а₁₃ а₃₄ а₅₅ а₄₂?

 

Дополнительные задания:

1. Используя утверждения |А × В| = |А| × |В|, докажите:

1) Если матрица А - невырожденная, то |А^-1| = |А|^-1

2) Пусть матрица В - обратима. Докажите, что

|В^-1× А× В| = |А|

 

2. Решите относительно l уравнение

| А - l Е| = 0, где

1). А = 2). А =

 

 

З А Н Я Т И Е № 17.