Доказательство от противного

Метод доказательства от противного основан на замене доказательства теоремы А ® В доказательством равносильной ей:

а) А ® В «А Ù В ® С Ù С;

б) А ® В «А Ù В ® А;

в) А ® В «А Ù В ® В.

В каждом из трех случаев рассуждение идет по следующей схеме: предполагается истинность условия и отрицания заключения теоремы, а затем доказывается, в первом случае, два противоречащих друг другу предложения С и С; во втором случае получаем противоречие с условием А; в третьем случае - противоречие с заключением теоремы.

П р и м е р 3. Во всяком треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Эта терема является обратной по отношению к теореме: во всяком треугольнике против равных сторон лежат равные углы.

Пусть в треугольнике АВС ÐА = ÐС, докажем, что

ВА = ВС.

Предположим противное, т.е. что ВА ¹ ВС. Тогда одна из сторон должна быть больше другой, и, следовательно, согласно прямой теореме, один из углов А или С должен быть больше другого. Это противоречит условию, что ÐА = ÐС; значит, нельзя допустить, что стороны АВ и ВС не равны, поэтому АВ = ВС. (Второй случай).

 

Теоретические вопросы:

Отношение следования и равносильности. Определение математических понятий. Теоремы. Взаимно обратные и противоположные теоремы. Необходимые и достаточные условия. Доказательство от противного.

 

6.1. Даны два предиката на R. Установите между ними отношение логического следования:

1. x > 1 и х > 2; 2. x ³ 3 и x ³ 5;

3. x < 4 и x < - 1; 4. x £ 3 и x £ 0;

5. (x - 1) (x + 2)=0 и (x - 1 = 0) Ù (x + 2 = 0);

6. x + 6 + = 5x + и х - 5х + 6 = 0;

7. x - 1 = 0 и ;

8. х - 8х + 15 = 0 и (х - 3 = 0) Ú (х - 5 = 0)

9. | x | < 2 и x < 2; 10. | x | > 3 и x > 3;

11. | x - 1 | £ 2 и x £ 3; 12. | x + 2 | ³ 1 и x £ -3;

13. x > 2 и ; 14. x < 2 и ;

15. > 0 и 3 < x < 5; 16. 2 < x < 3 и >1.

6.2. Даны два предиката на некотором универсальном множестве U. Установите между ними отношение логического следования.

1. x Î А и x Î А \ В; 2. x Î А и x Î А Ç В;

3. x Î А и x Î А È В; 4. x Î А Ç В и x ÎА \ В.

6.3. Равносильны ли на множестве R следующие предикаты?

1. x = 0 и x (x +1)=0; 2. х = х и = ;

3. x + 1 =0 и (x + 1) =0; 4. 2x = 10 и (2х-10)(х+1)=0;

5. 7(x - 3) = 49 и х - 3 = 7; 6. x+5=x-1 и x(x-3)=x +8-3x;

7. и х - 3 >3(x - 1); 8. 2x>1 и 2х + х +3 >4+x ;

9. х + 3 > 2 и х + + 3 > 2 + ;

10. 2x - 1 < 5 и 2x - x < 5x ;

11. sin x + cos x = 1 и (sin x + cos x) = 1;

12. = 1 и x - 1= 1;

13. = и x = 2x + 1;

14. = и 1- x = 2x;

15. log (x+2) = log (3 - x) и x + 2 = 3 - x;

16. lg (x + 1) = lg (2x + 3) и x + 1 = 2x + 3;

17. arcsin x = 1 и x = sin 1;

18. arcsin x = 3 и x = sin 3;

19. x ³ x и x ³ 1;

20. x > x и x > 1;

21. > x + 1 и x > (x + 1)

22. = x + 1 и x > (x + 1) .

6.4. Запишите на языке предикатов определения:

1. - делимости целого числа n на целое число m;

2. - коллинеарности векторов а и в;

3. - ограниченной функции из R в R;

4. - периодической функции;

5. - наибольшего элемента на М относительно <.

 

6.5. Укажите род и видовое отличие в определениях четырехугольника, прямоугольника, ромба, квадрата, равнобедренного треугольника, равностороннего треугольника, трапеции.

6.6. Укажите ошибки в следующих определениях:

1. прямоугольник - это, когда все углы прямые;

2. отрезок - это прямая, ограниченная с двух сторон;

3. луч - это прямая, ограниченная с одной стороны;

4. простое число - это, когда оно имеет два делителя;

5. углом, вписанным в окружность, называется угол, образованный двумя хордами;

6. окружностью называется фигура, состоящая из всех точек, равноудаленных от данной.

6.7. Выделите условие и заключение в следующих теоремах и сформулируйте их в виде: “ Если..., то...”:

1. перпендикуляр к одной из двух параллелных прямых есть также перпендикуляр к другой;

2. вертикальные углы равны;

3. сумма углов треугольника равна 180 ;

4. диагонали ромба взаимно перпендикулярны;

5. сумма двух смежных углов равна 180 ;

6. против равных сторон треугольника лежат равные углы;

7. дуги, заключенные между равными хордами, равны;

8. диагонали параллелограмма делятся в точке пересечения пополам.

 

6.8. Для каждого из следующих утверждений сформулируйте обратное к нему, противоположное и противоположное к обратному утверждению. Укажите, истинно оно или ложно, дайте обоснование:

1. квадратное уравнение имеет корни только в том случае, когда его дискриминант неотрицателен;

2. если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то его корни совпадают;

3. сумма корней квадратного трехчлена х + px + q

равна - p, а произведение корней равно q;

4. квадратный трехчлен с неотрицательным дискриминантом можно разложить в произведение линейных множителей.

 

6.9. Вместо многоточия вставьте одно из выражений “ необходимо, но не достаточно”, “ достаточно, но не необходимо “, “ необходимо и достаточно” - так, чтобы получилось истинное высказывание:

1. а - четное число... для того, чтобы 3а было четным числом;

2. а делилось на с... для того,чтобы а,в делилось на с;

(а, в, с Î Z);

3. а и в делятся на с... для того, чтобы а + в дели-

лось на с (а, в, с Î Z);

4. делимость числа на 4... для того, чтобы оно дели- лось на 8;

5. свойства треугольника быть равносторонним...

для того, чтобы он был остроугольным;

6. x Î A... x Î A È B;

7. x Î A... x Î A Ç B;

8. x Î A... x Î A \ B;

9. x Î A È B... x Î A Ç B;

10. x Î A È B... x Î A \ B;

11. x Î A Ç B... x Î A \ B;

12. ав = 0... для того, чтобы а = 0 и в = 0;

13. а < 2 и в < 5... для того, чтобы а + в < 7.

 

6.10. Для каждого из следующих утверждений о натуральных числах дайте три разные формулировки, используя слова: “ достаточно”, “ необходимо”, “ только тогда, когда”:

1. если а делится на 24, то а делится на 2 и на 3;

2. если а делится на 20 и на 30, то а делится на 60;

3. если произведение двух чисел делится на простое число р, то хотя бы один из сомножителей делится на число р;

4. если а делится на два различных простых числа, то а делится на их произведение;

5. если число имеет ровно два различных делителя, то оно простое.

6.11. Сформулируйте каждое из следующих утверждений о натуральных числах при помощи слов; “если..., то...”;

1. для того чтобы число делилось на 12, достаточно,

чтобы оно делилось на 6 и на 4.

2. а делится на 12 только в том случае, когда а делится на 6;

3. для того, чтобы а делилось на 900, достаточно,

чтобы а делилось на 10 и на 6;

4. для того, чтобы а делилось на в, необходимо,

чтобы а делилось на любой простой делитель в;

5. число имеет не более двух различных делителей только тогда, когда оно простое или равно 1.

6. для того, чтобы а делилось на произведение bc, необходимо, чтобы а делилось на b и на с.

6.12. Руководствуясь определением импликации, сформулируйте:

1. достаточное, но не необходимо условие ложности импликации;

2. необходимое, но недостаточное условие ложности импликации;

3. необходимое и достаточное условие ложности им- пликации;

4. необходимое и достаточное условие истинности

импликации

6.13. Методом от противного докажите следующие теоремы:

1. в круге равные хорды одинаково удалены от центра и стягивают равные дуги;

2. в круге хорды, одинаково удаленные от центра, равны и стягивают равные дуги;

3. если одно из слагаемых делится на 7, а другое - нет, то сумма не делится на 7;

4. две прямые, параллельные третьей, параллельны;

5. если две параллельные прямые пересечены какой-нибудь прямой, то соответственные углы равны;

6. бесконечность множества простых натуральны чисел;

7.доказать, что число не является рациональным.

З А Н Я Т И Е № 7.