И совокупностей с помощью множеств

Напомним, что решением уравнения (неравенства), содержащего неизвестное, называется число, при подстановке которого в это уравнение (неравенство) вместо неизвестного, получается верный результат. Решить уравнение (неравенство) это значит найти множества всех его решений.

Два или более уравнений или неравенств, соединённых союзом “и” называют системой. Решением системы считается число, которое является решением каждого из предложений

(уравнений или неравенств). Таким образом, множество решений системы является пересечением множеств решений каждого из предложений.

Два или более уравнений или неравенств, соединённых союзом “или” называют совокупностью. Решением совокупности считается число, которое является решением хотя бы одного уравнения или неравенства совокупности. Таким образом множество решений совокупности является объединением множеств решений предложений, образующих совокупность

Число элементов объединения множеств.

Правило суммы

 

При решении практических задач часто приходится выбирать из некоторого множества его подмножества, распределять элементы множества в том или ином порядке и т.д. Так как в этих задачах речь идёт о тех или иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами. Раздел математики, в котором изучаются комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.

ЗАДАЧА. На тарелке лежат 6 яблок и 5 груш. Сколькими способами можно выбрать один плод?

РЕШЕНИЕ. Так как в задаче идёт речь о выборе “яблока или груши”, то его можно осуществить 6 + 5 = 11 способами.

 

Справедливо следующее утверждение:

Правило суммы. Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b - n способами, причём любой выбор элемента а отличен от любого выбора элемента b, то выбор “ а или b ” можно сделать m + n способами.

Это же правило на языке теории множеств формулируется так:

Теорема. Если пересечение конечных множеств А и В пусто, А Ç В = , то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов А и В:

А Ç В = Þ n(A È B) = n(A) + n(B).

 

Множества могут иметь и непустое пересечение. Для двух множеств ситуацию характеризует

Теорема. Для любых конечных множеств А и В верно равенство:

n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B). (1)

Доказательство, Множество А È В есть объединение трёх не

пересекающихся множеств: А \ (А Ç В), А Ç В и В \ (А Ç В). Каждое из них соответственно имеет элементов: n(A) - n(A Ç B), n(A Ç B) и n(B) - n(A Ç B). Следовательно, число элементов во множестве А È В равно:

n(A) - n(A Ç B) + n(A Ç B) + n(B) - - n(A Ç B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B) 

Формула (1) есть частный случай для двух множеств и её можно распространить на любое конечное число элементов. Например, для трёх множеств А, В и С: n(A È B È C) = n(A) + n(B) + n(C) - - n(A Ç B) - n(A Ç C) - n(B Ç C) + n(A Ç B Ç C).

Обоснуйте этот факт на кругах Эйлера!

Прямое произведение множеств.

Правило произведения

Определение. Прямым произведением двух множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар

(а; в) таких, что а Î А и в Î В. Обозначение: А В.

А В = { (а; в) | а Î А и в Î В }

Аналогично определяется прямое произведение n множеств

А₁´А₂´^...´А_n = { (a₁,a₂,...,a_n) | a₁ Î A₁, a₂ Î A₂,..., a_n Î A_n }

Здесь: (а₁, а₂,..., а_n) - упорядоченная n-ка.

Считаем, что (а; в) = (а₁; в₁), если а = а₁ и в = в₁.

ПРИМЕР. Найдите А ´ В, если А = { 1, 2 }, b = { a, b, c }.

ОТВЕТ:

По определению А´В = { (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}.

 

Пусть А и В - числовые множества. Тогда элементы прямого произведения этих множеств будут упорядоченными парами чисел, которые можно изобразить на плоскости и получить фигуру.

ПРИМЕР. Изобразите на координатной плоскости А ´ В, если:

а) А = { 1, 2, 3 }, B = { 2, 4 };

б) А = { 1, 2, 3, 4 }, B = [ 1; 4 ];

в) А = [ 1; 3 ], B = [ 1; 4 ].

ОТВЕТ: Результаты изображены:

 

у у у

4 4 4

3 3 3

2 2 2

1 1 1

1 2 3 4 5 х 1 2 3 4 5 х 1 2 3 4 5 х

а) б) в)

Как найти число элементов прямого произведения двух множеств? Рассмотрим это на примере. Пусть А = {a, d, c}, т.е. n(A) = 3 и В ={p, q}, где n(B) = 2. Выпишем все элементы множества А ´ В:

 

(a, p) (b, p) (c, p)

(a, q) (b, q) (c, q)

В этой таблице n(A) столбцов и n(B) строк. Поэтому

n(A ´ B) = n(A) ^. n(B)

 

Можно сформулировать и более общее утверждение

Теорема. Если А₁, А₂,..., А_n - конечные множества, то

n(A₁´ A₂´^...´ A_n) = n(A₁) ^. n(A₂) ^{. ... .} n(A_n).

 

ЗАДАЧА. Сколько двузначных чисел можно образовать используя только цифры 0, 1, 2,?

РЕШЕНИЕ. Первую цифру двузначного числа мы можем выбрать только из множества А = { 1, 2 } (почему?), а вторую цифру из

множества В = {0, 1, 2 }. Получим: 10, 11, 12, 20, 21, 22. Их шесть.

n(A ´ B) = n(A) ^. n(B) = 2^.3 = 6.

 

Решение таких задач можно проводить на основе следующего утверждения, обобщающего теорему:

Правило произведения. Если первый элемент а₁ упорядоченной n-ки можно выбрать m₁ способом, второй элемент а₂, после выбора а₁, - m₂ способами (независимо от того, как выбран а₁)и т.д., элемент а_n, после выбора а₁, а₂,..., а_n-1 и независимо от того, как они выбраны,- m_n способами, то общее число получаемых n-ок равно m = m₁m₂^...m_n.