Особенности численного результата задачи

Алгоритмы, в соответствии с которыми решение поставленных задач сводится к арифметическим действиям, называются численными алгоритмами. Численные алгоритмы занимают очень существенное место среди всевозможных алгоритмов, включающих, например, логические - алгоритмы, в соответствии с которыми решение поставленных задач сводится к логическим действиям,например, алгоритм поиска пути на графе.

При решении произвольной реальной задачи в общем случае невозможно получить точное значение искомого численного результата [53,55,60]. Существование неустранимой погрешности в математической модели объекта или процесса, фигурирующего в задаче (математическое описание задачи является неточным), погрешности входных данных, многие из которых в реальных условиях получены экспериментально, погрешность численного алгоритма, используемого для решения, и вычислительная, погрешности, возникающие при каких-либо дополнительных воздействиях на объект, которые часто трактуются как возмущения входных данных, приводят к необходимости их совокупного учета при оценке погрешности результата. Даже в случае, когда входные данные математической модели не имеют погрешностей, а алгоритм, выбранный для решения полученной математической задачи является точным [54], избежать вычислительной погрешности при проведении вычислений в системе чисел с плавающей точкой, а значит и погрешности в полученном результате, невозможно [69]. После построения математической модели реального процесса, которая необходимо удовлетворяет требованию адекватности (решение математической задачи, полученное с ее помощью, незначительно отличается от истинного решения реальной задачи), исходная задача и ее математическая формализация в процессе решения и анализа полученного результата, как правило, не разделяются. Однако, в силу особенностей машинной арифметики, невозможно в общем случае получить точное решение даже смоделированной математической задачи (пренебрегая неустранимой погрешностью и погрешностью метода) [53,60]. Действительно, для конечной системы чисел с плавающей точкой , реализованной в ЭВМ для представления бесконечного множества вещественных чисел , арифметические операции обладают своими особенностями: основные законы арифметики могут нарушаться. Рассмотрим это подробнее.

Множество чисел с плавающей точкой характеризуется четырьмя параметрами: числом разрядов , основанием системы счисления , границами изменения показателя степени , при том, что каждое число представляется в виде:

 

, (200)

 

где - целые числа, такие, что , а .

Часть в (200) – дробная часть, или мантисса числа . Система нормализованная, если для выполняется: .

Таким образом, очевидно, что точно в системе могут быть представлены лишь конечное множество действительных чисел. Если число находится в границах представления чисел данной системы , однако не совпадает ни с одним из них, то оно приближается одним из чисел за счет операции округления (усечения) [Бахвалов], получая в результате определенную погрешность.

Пусть . Результат выполнения арифметических операций над в системе будем обозначать , где символ «*» может быть конкретизирован операцией сложения, вычитания, умножения, деления.

Идеальным для выполнения арифметических операций в системе является ситуация, когда сама операция над числами выполняется точно, а затем результат, при необходимости, либо усекается, либо округляется. На практике при выполнении арифметических операций обычно выделяются дополнительные разряды, полученный результат нормализуется, и лишь затем выполняется округление (усечение).

Рассмотрим гипотетическую систему , для которой , , и вычислим в этой системе сумму 0.12+0.17+0.87. В точной арифметике 0.12+(0.17+0.87)=(0.12+0.17)+0.87. В системе результат левой части равен:

 

при этом результат правой части:

Очевидно, результат даже такого простого выражения зависит от порядка выполнения операций. Таким образом, одному алгоритму, записанному «на бумаге», соответствует множество «машинных» алгоритмов, в каждом из которых свой порядок выполнения действий, а значит, может быть и другой результат.

Полученное приближенное (в силу перечисленных выше причин) решение некоторой вычислительной задачи может рассматриваться как точное решение, но другой, возмущенной задачи ( отличается от возмущением входных данных) [60]. В этом случае для определения качества полученного приближения необходимо иметь возможность оценить степень зависимости решения от возмущений исходных данных.