Анализ подходов, связанных с поиском информации

Поиск необходимой информации в списке – одна из фундаментальных задач теоретического программирования. При обсуждении алгоритмов поиска мы предполагаем, что информация содержится в записях, составляющих некоторый список, который представляет собой массив данных в программе. Записи, или элементы списка, идут в массиве последовательно и между ними нет промежутка. Номера записей в списке идут от 1 до N – полного числа записей. В принципе записи могут быть составлены из полей, однако нас будут интересовать значения лишь одного из этих полей, называемого ключом. Списки могут быть неотсортированы или отсортированы по значению ключевого поля. В неотсортированном списке порядок записей случаен, в отсортированном они идут в порядку возрастания ключа. Поиск нужной записи в неотсортированном списке сводится к просмотру всего списка до того, как нужная запись будет найдена. Это простейший из алгоритмов поиска. Этот алгоритм не очень эффективен, но работает на произвольном списке.

В отсортированном списке возможен также двоичный поиск. Двоичный поиск использует преимущества, предоставляемые имеющимся упорядочиванием, для того, чтобы отбрасывать за одно сравнение больше одного элемента. В результате поиск становится более эффективным.

Последовательный поиск. В алгоритмах поиска нас интересует процесс просмотра списка в поисках некоторого конкретного элемента, называемого целевым. Предполагаем, что список неотсортирован. Алгоритмы поиска возвращают индекс записи, содержащей нужный ключ. Если ключевое значение не найдено, то алгоритм поиска может возвращать значение индекса, превышающее верхнюю границу массива. Пусть элементы списка имеют номера от 1 до N. Если целевой элемент отсутствует в списке, будет возвращаться 0. Для простоты предполагается, что ключевые значения не повторяются.

Алгоритм последовательного поиска последовательно просматривает по одному элементу списка, пока не обнаружит целевой. Чем дальше в списке находится конкретное значение ключа, тем больше времени уйдет на его поиск.

Анализ наихудшего случая У алгоритма последовательного поиска два наихудших случая: целевой элемент стоит в списке последним или отсутствует вообще. Здесь потребуется N сравнений. N – верхняя граница сложности любого алгоритма поиска.

Между понятиями верхней границы сложности и сложности в наихудшем случае есть разница. Верхняя граница присуща самой задаче, а понятие наихудшего случая относится к решающему ее конкретному алгоритму.

Двоичный поиск. При сравнении целевого значения со средним элементом отсортированного списка возможен один из трех результатов: значения равны, целевое значение меньше (больше) элемента списка. В первом, наилучшем случае, поиск завершен. В остальных двух случаях мы можем отбросить половину списка. Когда целевое значение меньше среднего элемента, то если оно имеется в списке, то находится только перед средним элементом, значит половину списка после него можно сразу отбросить. Аналогично, если целевое значение больше среднего. При повторении этой процедуры можно отбросить половину оставшейся части списка и т.д.

Анализ наихудшего случая Для простоты предположим, что . На первом шаге 1 сравнение, после которого остается элементов. Затем еще одно сравнение, после которого элементов и т.д. Количество сравнений равно количеству шагов. После последнего останется только один элемент, т.е. . Количество шагов равно .

Выборка. Иногда нужен элемент из списка, обладающий некоторыми специальными свойствами, а не имеющий некоторое конкретное значение. Другими словами, вместо записи с некоторым конкретным значением поля нас интересует, скажем, запись с наибольшим, наименьшим или средним значением этого поля. В более общем случае нас интересует запись с к -ым по величине значением поля.

Один из способов найти такую запись – отсортировать по убыванию список, тогда искомая запись окажется на к -ом месте. Но на это уйдет гораздо больше сил, чем необходимо, ведь значения, меньшие к -ого, нас не интересуют.

Другой подход: находим наибольшее значение в списке и помещаем его в конец списка.Затем находится наибольшее значение в оставшейся части списка, исключая уже найденное. В результате получаем второе по величине значение списка, которое помещается на второе с конца место. Повторив процедуру к раз, мы найдем к -ое по величине значение.

Вычислительная сложность алгоритма: на первом проходе – N-1 сравнение, на втором - N-2 и т.д., т.е. общее количество операций –

 

.

 

Вопросы

1. Какие предварительные шаги предпринимаются для оценки вычислительной сложности алгоритма?

2. На какие две группы разбиваются арифметические операции? Почему?

3. Какие наборы данных желательно найти при оценке вычислительной сложности алгоритма?

4. Что называется скоростью роста алгоритма?

5. Что такое порядок вычислительной сложности алгоритма? Как он оценивается?

6. Что представляет из себя последовательный поиск информации, двоичный поиск, выборка?

Литература

1. Дж. Макконнелл. Основы современных алгоритмов. 2-е дополненное издание. – М.: Техносфера, 2004. – 368 с.

2. Гуц А.К. Математическая логика и теория алгоритмов: Учебное пособие. – Омск: Изд-во Наследие. Диалог-Сибирь, 2003. – 108 с.

3. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра / Дж.Деммель; пер.с англ. Х.Д.Икрамова. — М.: Мир, 2001. — 430 с.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — 636 с.

5. Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение / Д.Каханер, К.Моулер, С.Нэш; пер. с англ. Х.Д.Икрамова. — М.: Мир, 2001. — 575 с.

 

Лекция 5. Сложностные классы задач

План

1. Класс Р - задачи с полиномиальной сложностью