Одноканальная СМО с отказами.

Дано: система имеет один канал обслуживания, на который поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти: абсолютную и относительную пропускную способность СМО и вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ.

Система при любом t > 0 может находиться в двух состояниях: S ₀ – канал свободен; S ₁ – канал занят. Переход из S ₀ в S ₁ связан с появлением заявки и немедленным началом ее обслуживания. Переход из S ₁ в S ₀ осуществляется, как только очередное обслуживание завершится (рис.9).

Рис.9. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Выходные характеристики (характеристики эффективности) этой и других СМО будут даваться без выводов и доказательств.

Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):

где – интенсивность потока заявок (величина, обратная среднему промежутку времени между поступающими заявками - ); – интенсивность потока обслуживаний (величина, обратная среднему времени обслуживания ).

Относительная пропускная способность (средняя доля заявок, обслуживаемых системой):

Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной):

Очевидны следующие соотношения: и .

N – канальная СМО с отказами (задача Эрланга). Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале 20 века датским математиком Эрлангом.

Дано: в системе имеется n – каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти: абсолютную и относительную пропускную способность СМО; вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ; среднее число заявок, обслуживаемых одновременно (или, другими словам, среднее число занятых каналов).

Решение. Состояние системы S (СМО) нумеруется по максимальному числу заявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов):

· S ₀ – в СМО нет ни одной заявки;

· S ₁ – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);

· S ₂ – в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальные свободны);

·...

· S _n – в СМО находится n – заявок (все n – каналов заняты).

Граф состояний СМО представлен на рис. 10.

Рис.10. Граф состояний для n – канальной СМО с отказами

Почему граф состояний размечен именно так? Из состояния S ₀ в состояние S ₁ систему переводит поток заявок с интенсивностью (как только приходит заявка, система переходит из S ₀ в S ₁). Если система находилась в состоянии S ₁ и пришла еще одна заявка, то она переходит в состояние S ₂ и т.д.

Почему такие интенсивности у нижних стрелок (дуг графа)? Пусть система находится в состоянии S ₁ (работает один канал). Он производит обслуживаний в единицу времени. Поэтому дуга перехода из состояния S ₁ в состояние S ₀ нагружена интенсивностью . Пусть теперь система находится в состоянии S ₂ (работают два канала). Чтобы ей перейти в S ₁, нужно, чтобы закончил обслуживание первый канал, либо второй. Суммарная интенсивность их потоков равна и т.д.

Выходные характеристики (характеристики эффективности) данной СМО определяются следующим образом.

Абсолютная пропускная способность:

где n – количество каналов СМО; – вероятность нахождения СМО в начальном состоянии, когда все каналы свободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянии S ₀);

Для того, чтобы написать формулу для определения , рассмотрим рис.11.

 

Рис.11. Граф состояний для схемы «гибели и размножения»

Граф, представленный на этом рисунке, называют еще графом состояний для схемы «гибели и размножения». Напишем сначала для общую формулу (без доказательства):

Кстати, остальные финальные вероятности состояний СМО запишутся следующим образом.

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S ₁, когда один канал занят:

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S ₂, т.е. когда два канала заняты:

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S _n, т.е. когда все каналы заняты.

Теперь для n – канальной СМО с отказами

При этом

Относительная пропускная способность:

Напомним, что это средняя доля заявок, обслуживаемых системой. При этом

;

.

Вероятность отказа:

Напомним, что это вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной. Очевидно, что .

Среднее число занятых каналов (среднее число заявок, обслуживаемых одновременно):

При этом

.