Дискретно – детерминированные модели (F-схемы)

 

Дискретно-детерминированные модели (F-схемы) являются предметом рассмотрения теории автоматов.

Теория автоматов - раздел теоретической кибернетики, изучающей устройства, перерабатывающие дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени.

Конечный автомат имеет множество внутренних состояний и входных сигналов, являющихся конечными множествами. Автомат задаётся F- схемой:

F=<z,x,y,j,y,z₀>,

где z,x,y - соответственно конечные множества входных, выходных сигналов (алфавитов) и конечное множество внутренних состояний (алфавита). z₀ÎZ - начальное состояние; j(z,x) - функция переходов; y(z,x) - функция выхода. Автомат функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты, т.е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного, выходного сигнала и внутреннего состояния. Абстрактный автомат имеет один входной и один выходной каналы.

В момент t, будучи в состоянии z(t), автомат способен воспринять сигнал x(t) и выдать сигнал y(t)=y[z(t),x(t)], переходя в состояние z(t+1)=j[z(t),z(t)], z(t)ÎZ; y(t)ÎY; x(t)ÎX. Абстрактный КА в начальном состоянии z₀ принимая сигналы x(0), x(1), x(2) … выдаёт сигналы y(0), y(1), y(2)… (выходное слово).

Существуют:

F- автомат 1-ого рода (Миля), функционирующий по схеме:

z(t+1)= j[z(t),z(t)], t=0,1,2…

y(t)=y[z(t),x(t)], t=0,1,2…

F- автомат 2-ого рода:

z(t+1)= j[z(t),z(t)], t=0,1,2…

y(t)=y[z(t),x(t-1)], t=1,2,3…

Автомат 2-ого рода, для которого y(t)=y[z(t)], t=0,1,2,… т.е. функция выходов не зависит от входной переменной x(t), называется автоматом Мура.

Т.о. вышеприведенные уравнения полностью задающие F- автомат, являются частным случаем уравнения

где - вектор состояния, - вектор независимых входных переменных, - вектор воздействий внешней среды, - вектор собственных внутренних параметров системы, - вектор начального состояния, t – время.

По числу состояний конечные автоматы бывают с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти (комбинационные или логические схемы) обладают лишь одним состоянием. При этом, работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу x(t) определённый выходной сигнал y(t), т.е. реализует логическую функцию вида:

y(t)=y[x(t)], t=0,1,2,…

Эта функция называется булевой, если алфавиты X и Y, которым принадлежат значения сигналов x и y состоят из 2-х букв.

По характеру отсчёта времени (дискретному) F-автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных F-автоматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. Реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт синхронизации. Асинхронный F-автомат считывает входной сигнал непрерывно и поэтому, реагируя на достаточно длинный водной сигнал постоянной величины x, он может, как это следует из выражений представленных выше, несколько раз изменить своё состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдёт в устойчивое.

Для задания F- автомата необходимо описать все элементы множества F=<z,x,y,j,y,z₀>, т.е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функции переходов и выходов. Для задания работы F- автоматов наиболее часто используются табличный, графический и матричный способ.

В табличном способе задания используется таблицы переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы - его состояниям. При этом обычно 1-ый столбец слева соответствует начальному состоянию z­₀. На пересечении i-ой строки и j-ого столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение j(z_k,x_i) функции переходов, а в таблице выходов - y(z_k, x_i) функции выходов. Для F- автомата Мураобе таблицы можно совместить, получив т.н. отмеченную таблицу переходов, в которой над каждым состоянием z_k автомата, обозначающим столбец таблицы, стоит соответствующий этому состоянию, выходной сигнал y(z_i).

Описание работы F- автомата Мили таблицами переходов j и выходов y иллюстрируется таблицей переходов (1), а описание F- автомата Мура - таблицей переходов (2).

Таблица 1.

xj	zk
z0	z1	…	zk
Переходы
x1	j(z0,x1)	j(z1,x1)	…	j(zk,x1)
x2	j(z0,x2)	j(z1,x2)	…	j(zk,x2)
…………………………………………………………
xl	…	…	…	…
Выходы
x1	y(z0,x1)	y(z1,x1)	…	y(zk,x1)
…………………………………………………………
xl	y(z0,xl)	y(z1,xl)	…	y(zk,xl)

 

Таблица 2

xi	y(zk)
y(z0)	y(z1)	…	y(zk)
z0	z1	…	zk
x1	j(z0,x1)	j(z1,x1)	…	j(zk,x1)
x2	j(z0,x2)	j(z1,x2)	…	j(zk,x2)
…………………………………………………………
xl	j(z0,xl)	j(z1,xl)	…	j(zk,xl)

Примеры табличного способа задания F- автомата Мили F1 с тремя состояниями, двумя входными и двумя выходными сигналами приведены в таблице 3, а для F- автомата Мура F2 - в таблице 4.

Таблица 3

xj	z0
z0	z1	z2
Переходы
x1	z2	z0	z0
x2	z0	z2	z1
Выходы
x1	y1	y1	y2
x2	y1	y2	y1

Таблица 4

xi	y
y1	y1	y3	y2	y3
z0	z1	z2	z3	z4
x1	z1	z4	z4	z2	z2
x2	z3	z1	z1	z0	z0

 

При другом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершин дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал x_k вызывает переход из состояния z_i в состояние z_j, то на графе автомата дуга, соединяющая вершину z_i с вершиной z_j обозначается x_k. Для того, чтобы задать функцию переходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами. Для автоматов Мили эта разметка производиться так: если входной сигнал x_{k ­}действует на состояние z_i, то согласно сказанному получается дуга, исходящая из z_i­ и помеченная x_k; эту дугу дополнительно отмечают выходным сигналом y=y(z_i, x_k). Для автомата Мура аналогичная разметка графа такова: если входной сигнал x_k, действуя на некоторое состояние автомата, вызывает переход в состояние z_j, то дугу, направленную в z_j и помеченную x_k, дополнительно отмечают выходным сигналом y=y(z_j, x_k). На рис. 5 приведены заданные ранее таблицами F- автоматы Мили F1 и Мура F2 соответственно.

 

Рис. 5. Графы автоматов Мили (а) и Мура (б).

При решении задач моделирования часто более удобной формой является матричное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть квадратная матрица С=|| c_ij ||, строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы - состояниям перехода. Элемент c_ij­­=x_k/y_S в случае автомата Мили соответствует входному сигналу x_k, вызывающему переход из состояния z_i в состояние z_j и выходному сигналу y_S, выдаваемому при этом переходе. Для автомата Мили F1, рассмотренного выше, матрица соединений имеет вид:

Если переход из состояния z_i в состояние z_j происходит под действием нескольких сигналов, элемент матрицы c_ij представляет собой множество пар "вход/выход" для этого перехода, соединённых знаком дизъюнкции.

Для F- автомата Мура элемент c_ij равен множеству входных сигналов на переходе (z_iz_j), а выход описывается вектором выходов:

,

i-ая компонента которого выходной сигнал, отмечающий состояние z_i.

С помощью F-схем описываются узлы и элементы ЭВМ, устройства контроля, регулирования и управления, системы временной и пространственной коммутации в технике обмена информацией. Широта применения F-схем не означает их универсальность. Этот подход непригоден для описания процессов принятия решений, процессов в динамических системах с наличием переходных процессов и стохастических элементов.