Уравнение Бернулли для потока жидкости. Геометрическое и энергетическое толкование уравнения Бернулли

Уравнение Бернулли для потока жидкости. Рассмотрим поток жидкости с плавно изменяющимся движением (рис. 1.21). Выберем два произвольных сечения I—I и II—II, нормальных к оси потока, и рассмотрим заключенный между ними участок потока. Обозначим средние скорости потока в этих сечениях υ₁ и υ₂; площади живых сечений ω₁ и ω ₂; гидродинамические давления в центре тяжести этих сечений р₁ и р₂, расстояния от произвольно выбранной горизонтальной плоскости OO, называемой плоскостью сравнения, до центров тяжести сечений z₁ и z₂. Применим к участку потока, заключенному между сечениями I—I и II—II, закон сохранения энергии. За время ∆t частицы из сечения I—I перейдут в положение I' — I', а из сечения II—II в положение II'—II'. При этом будут пройдены пути υ₁∆t и υ₂∆t Через сечение I—I в рассматриваемый участок за время ∆t войдет объем жидкости Q₁∆t, за это же время из этого участка через сечение II—II выйдет объем жидкости Q₂∆t Найдем количество энергии, внесенной потоком в рассматриваемый участок за время ∆t через сечение I—I. Объем жидкости Q₁∆t обладает массой

Потенциальная энергия положения этого объема равна:

(1.40)

Рис. 1.21. Схема к выводу уравнения Бернулли

а кинетическая энергия этого же объема

(I.41)

Рассматриваемый объем обладает также потенциальной энерги-¹ ей давления. Представим, что в сечении I—I имеется поршень, движущийся со скоростью 1>1 в направлении сечения II—II. Этот поршень за время ∆t пройдет путь υ₁∆t. Сила давления на этот поршень равна . Следовательно, произведенная поршнем работа будет равна:

(I.42)

Совершенно очевидно, что выражение (1.42) будет представлять собой потенциальную энергию давления рассматриваемого объема.

Тогда общее количество энергии, внесенной потоком в рассма­триваемый участок за время ∆t через сечение I—I, будет равно:

Аналогично можно получить суммарную энергию, вынесенную потоком через сечение II—II за время ∆t:

.

По закону сохранения энергии суммарная энергия, внесенная через сечение I—I, при установившемся движении должна быть равна суммарной энергии, вынесенной через сечение II—II, с учетом затрат энергии на преодоление гидравлических сопротивлений при движении жидкости от сечения I—I к сечению II—II. Затраченную энергию можно выразить в виде произведения веса рассматриваемого объема на некоторую высоту (потери высоты):

(1.43)

Тогда:

.

Так как, согласно уравнению постоянства расхода, Q₁=Q₂=Q и, кроме того, , можем написать:

Или, заменяя ρg на γ:

(I.44)

Отнесем все члены уравнения (1.44) к единице веса, для чего разделим их на γQ. Тогда

(1.45)

или в общем виде:

(I.46)

Следовательно, для всех сечений потока можно записать:

, (I.47)

где z — расстояние от плоскости сравнения до центра тяжести сечения; р — давление в центре тяжести в этом сечении; υ — средняя скорость в этом сечении; h_пот — удельная энергия, затраченная на преодоление сопротивлений от начального до рассматриваемого сечения.

Удельная механическая энергия потока в любом его сечении равна:

Уравнение (1.47) носит наименование уравнения Бернулли. В приведенном выводе этого уравнения скорости движения отдельных частиц жидкости в пределах живого сечения приняты одинаковыми и равными средней скорости. Если учитывать неравномерность распределения скоростей по живому сечению, то уравнение (1.47) получает следующий вид:

(1.47а)

Рис.1.22. Схема, поясняющая понятие скоростного напора

Коэффициент a учитывает влияние неравномерности распределения скоростей по сечению на удельную кинетическую энергию потока, вычисленную по средней скорости (см. § 20 и 21). Коэффициент a называют коррективом кинетической энергии или коэффициентом Кориолиса.

Сумма первых двух членов уравнения (1.47а) —пьезометрический напор, по аналогии — скоростной напор, а h_пот — потерянный напор. Сумму первых трех членов уравнения Бернулли называют полным напором.

Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли. Все члены уравнения Бернулли выражаются в единицах длины, по­этому каждый из них может называться высотой:

z — геометрическая высота, или высота положения;

р/γ — пьезометрическая высота, или высота гидродинамического давления;

— высота, соответствующая скоростному напору;

h_пот — высота, соответствующая потерям напора.

Следовательно, геометрический смысл уравнения Бернулли может быть сформулирован так: при установившемся движении жидкости сумма четырех высот (высоты положения, пьезометрической высоты, высоты, соответствующей скоростному напору, и высоты, соответствующей потерям напора) остается неизменной вдоль потока. Кроме того, каждый из членов уравнения Бернулли выражает удельную энергию потока, т. е. энергию, приходящуюся на единицу веса движущейся жидкости:

z — удельная энергия положения;

р/γ — удельная энергия гидродинамического давления;

— удельная кинетическая энергия;

h_пот — потери удельной энергии.

Тогда энергетический смысл уравнения Бернулли можно сформулировать следующим образом: при установившемся движении жидкости сумма четырех удельных энергий (энергии положения, энергии гидродинамического давления, кинетической энергии и потерь энергии) остается неизменной вдоль потока.

Если в каком-либо сечении потока жидкости (рис. 1.22) установить две трубки — пьезометрическую 1 и скоростную 2, нижний изогнутый конец которой направлен против течения, то в скоростной трубке создается дополнительное давление от воздействия ско­рости движущейся жидкости. Высота подъема жидкости в скоростной трубке больше высоты подъема жидкости в пьезометрической трубке на скоростной напор

Все члены уравнения Бернулли представлены графически на рис. 1.23. Здесь в четырех выбранных сечениях потока SS установлены пьезометрические и скоростные трубки.

Если соединить уровни жидкости в пьезометрах, то получим пьезометрическую линию, или линию потенциальной удельной энергии. Она находится на расстоянии z+ р/γ от плоскости сравнения.

Рис. 1.23. Графическое изображение членов уравнения Бернулли

1 — напорная линия, или линия суммарной удельной энергии; 2 — пьезометрическая линия или линия потенциальной удельной энергии; 3 — линия плоскости сравнения

Падение этой линии на единицу длины называется пьезометрическим уклоном J.

Соединяя уровни жидкости в скоростных трубках, получим напорную линию или линию, суммарной (потенциальной и кинетической) удельной энергии. Падение напорной линии на единицу длины называется гидравлическим уклоном i и характеризует потери напора на единицу длины. Из рис. 1.23 видно, что с удалением от начального сечения I потери напора возрастают.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

На основании уравнения Бернулли сконструирован ряд приборов, таких как водомер Вентури, водоструйный насос, эжектор и пр.

На рис. 1.24 показан горизонтальный трубопровод диаметром D, на котором устроено сужение диаметром d. В нормальной и суженной частях установлены два пьезометра (в сечениях /—/ и //—//).

Ж

Рис. 1.25. Схема водоструйного насоса

Рис. 1.24. Схема водомера Вентури

Пренебрегая потерями напора между сечениями I—I и II—II, а также неравномерностью распределения скоростей по сечению (a = 1) и принимая, что плоскость сравнения 00 проходит через ось трубопровода, можем записать уравнение Бернулли в таком виде:

. (1.48)

Отсюда следует, что с увеличением скорости движения давление должно уменьшаться и, наоборот, с уменьшением скорости давление должно увеличиваться. Это положение используется в водомере Вентури, где по разности показаний пьезометров h (см. рис. 1.24), зная диаметры D и d, можно определить расход.

В водоструйном насосе (рис. 1.25) вода из бака I поступает в трубопровод, имеющий сужение. В узком сечении скорость струи возрастает, и. струя увлекает за собой воздух, находящийся в смесительной камере, благодаря чему происходит подсасывание жидкости по трубке, опущенной в бак 2. При больших скоростях движения жидкость будет подсасываться из бака 2 непрерывно. По этому же принципу работают эжекторы и гидроэлеваторы.