Гидростатическое давление и его свойства. Уравнения равновесия жидкости

Гидростатика — раздел гидравлики, изучающий законы равновесия покоящейся жидкости.

Жидкость, находящаяся в покое, подвергается действию внешних сил двух категорий: массовых и поверхностных. К массовым относятся силы, пропорциональные массе жидкости (сила тяжести, сила инерции). К поверхностным относятся силы, распределенные по поверхности, ограничивающей любой мысленно выделенный объем жидкости, и пропорциональные площади этой поверхности (сила давления, центробежная сила).

Под действием внешних сил в каждой точке жидкости возникают внутренние силы, характеризующие ее напряженное состояние (давление в точке).

Рассмотрим некоторый объем покоящейся жидкости (рис. I.2). Мысленно разделим этот объем на две части произвольной пло­скостью АВСD и отбросим верхнюю часть. Для сохранения равно­весия нижней части к плоскости АВСD необходимо приложить силы, заменяющие действие верхней части объема жидкости на нижнюю.

Рис. 1.2. Схема, поясняющая понятие гидростатического давления

Рис. 1.3. Схема к доказательству пер­вого свойства гидростатического дав­ления

 

Возьмем на плоскости АВСD произвольную точку а и выделим около нее малую площадку . В центре этой площадки действует сила P, представляющая собой равнодействующую сил, приложенных к различным точкам площадки . Если значение силы P разделить на площадь , то получим среднее значение давления на единицу площади:

(I.3)

В гидравлике силу P называют суммарной силой гидростатического давления, а отношение — средним гидростатическим давлением.

Если уменьшать площадку , то среднее гидростатическое давление будет стремиться к некоторому пределу, выражающему гидростатическое давление в точке:

. (I.4)

Иначе говоря, гидростатическое давление в точке является пределом отношения силы давления, действующей на элементарную площадку, к ее площади, если она стремится к нулю.

Гидростатическое давление измеряется в единицах силы, деленных на единицу площади. В системе СИ за единицу давления принят паскаль (Па) — равномерно распределенное давление, при котором на площадь 1 м² действует сила 1 Н.

Гидростатическое давление обладает двумя свойствами.

1. Гидростатическое давление всегда направлено по внутренней нормали к площадке, на которую оно действует. Это свойство доказывается от противного.

\

Рассмотрим некоторый объем покоящейся жидкости, внутри которого проведена поверхность КК (рис. 1.3). Возьмем на этой поверхности произвольную точку А. Предположим, что гидростатиче­ское давление в точке А направлено не по нормали, а под углом к поверхности. В этом случае гидростатическое давление р можно разложить на две составляющие: нормальную р_п и касательную к поверхности КК- Однако, если бы существовала касательная составляющая гидростатического давления то частицы жидкости вышли бы из равновесия и жидкость не находилась бы в покое. Следовательно, касательная составляющая должна быть равна нулю, а гидростатическое давление будет направлено перпендикулярно поверхности.

Гидростатическое давление всегда направлено по внутренней

нормали. Если бы оно было направлено по внешней нормали, как это показано на рис. I.3 в точке В, то, поскольку жидкость не оказывает сопротивления растягивающим напряжениям, частицы ее должны были бы прийти в движение, что противоречит принято­му условию о нахождении жидкости в покое.

 

 

Рис. I.4. Схема к доказательству второго свойства гидростатического давления

2. Гидростатическое давление в любой точке жидкости действует одинаково по всем направлениям, т. е. не зависит от угла наклона площадки, на которую оно действует.

Выделим в объеме жидкости, находящейся в покое, точку А как начало координат и вершину тетраэдра, имеющего грани площадью , , и (рис. I.4). На грани тетраэдра действуют силы гидростатического давления , , и , где , , ; и — средние гидростатические давления, действующие на грани.

Кроме сил давления на тетраэдр действует сила тяжести G, проекция которой на ось х, а также на ось у равна нулю, а на ось z составляет , т. е. очень мала и ею можно пренебречь.

Тетраэдр будет находиться в покое, если суммы проекций все-: действующих сил на оси координат будут равны нулю. Уравнение равновесия по оси х будет иметь следующий вид:

;

аналогичны уравнения равновесия по осям у и z.

Проекции площади на координатные плоскости yAz, хАz и хАу составляют: ; ; .

Если сделать замену, то уравнение равновесия по оси х будет иметь следующий вид:

;

аналогичны уравнения равновесия по осям у и z.

Рис. 1.5. Схема к выводу уравнений равновесия жидкости

После сокращения получим р_х = р_п; р_у = р_n; р_z = р_п или

(I.5)

Это равенство доказывает второе свойство гидростатического давления.

Для вывода уравнений равновесия жидкости выделим в покоящейся жидкости бесконечно малый прямоугольный параллелепипед с ребрами dх, dу и dz (рис. 1.5). На параллелепипед действуют силы гидростатического давления и массовые силы. На грани площадью dуdz будут действовать средние гидростатические давления

p_x и

где — частная производная р_х по х, характеризующая изменение давления на единицу длины в направлении оси х, т. е. приращение среднего давления р_х на длине dх. На другие грани, по аналогии, будут действовать средние гидростатические давления:

p_y и p_z и

Равнодействующую массовых сил обозначим G, а ее проекции на координатные оси, отнесенные к единице массы, обозначим X, У и Z. Сумма проекций всех сил на ось х имеет вид:

Проекции на оси у и z имеют аналогичный вид.

После преобразования запишем: — др_х/дх + Хρ = 0, а разделив обе части равенства на плотность жидкости ρ, получим уравнения равновесия жидкости в общем виде:

Эти уравнения выражают закон распределения гидростатического давления. Приведем их к виду, удобному для интегрирования. Умножив каждое соответственно на dх, dу и dz и сложив вместе, получим:

Выражение в скобках есть полный дифференциал гидростатического давления р, т. е.

(1.6)

При ρ = const правая часть уравнения является тоже полным дифференциалом функции U=f(x,y,z), частные производные которой будут Функцию U называют потенциалом сил, необходимым для сохранения равновесия жидкости. Силами, имеющими потенциал, являются сила инерции и сила тяжести.

Если в выражение (1.6) подставить значения X, У и Z, то получим

или

Интегрируя это уравнение, запишем

, (1.6а)

где С — постоянная интегрирования.

Если известны давление р₀ и потенциальная функция U₀ для точки жидкости, то уравнение принимает вид:

(1.6б)

Из уравнений (1.6а) и (1.6б) находим

(1.7)