Отримання висновку на нечіткій базі знань типу Мамдані

Формування нечіткої бази знань типу Мамдані

На першому етапі проводиться структурна ідентифікація - формується нечітка база знань у вигляді сукупності лінгвістичних правил, які або задаються експертом, або отримуються з експериментальних даних. При цьому ми вважаємо, що визначені: універсуми вхідних і вихідних змінних; вектори нечітких множин, вектори лінгвістичних змінних та вектори функцій належності.

Модуль нечіткого управління повинен моделювати невідому нам математичну залежність , де – вектор оптимальних виходів (вектор функцій мети), а – вектор вхідних змінних, сукупністю логічних висловлень IF-THEN, яка грубо (дискретно) відображає шляхом апроксимації зв´язок між входами та виходами і має вигляд нечітких лінгвістичних правил , де – загальна кількість правил, у вигляді:

(11.6)

де – терми лінгвістичних змінних вхідних даних для k -го правила, які нумеруються окремо для кожного k –ого правила і стосуються вхідної числової змінної x_j;

– терми лінгвістичних змінних вихідних даних для k -ого правила, які нумеруються окремо для кожного k –го правила і стосуються вихідної числової змінної у_і.

Кожне правило складається з частини IF, яка зветься передумовою або антецедентом (англ. antecedent) і частини THEN, яка зветься наслідком або консеквентом (англ. consequent).

Введення окремих позначень вхідних та вихідних термів для правил пояснюється потребою впорядкування використання та математичного опису правил: у кожному правилі довільна виміряна числова змінна входу x_j та виходу у_і може мати будь-яке числове значення у межах власного універсуму і тому може належати до будь-яких термів; в тому числі для ряду правил не виключено, що терми по довільному входу змінної x_j можуть довільне число разів співпадати (для виходу у_і – теж саме).

При виконанні подальших дій вважається:

- якщо вхідна або вихідна змінна є якісною, то вона може бути використана в моделі, бо числові значення факторів все одно замінюються на якісні показники у вигляді термів;

- виходи є взаємно незалежними, тому можна використовувати правила (11.6) лише для одного виходу:

{з вагою }, (11.7)

де вагові коефіцієнти відображують впевненість експерта щодо впливу правила на роботу системи;

- загальний висновок отримується за окремим правилом, в якому висновки з усіх правил R^k і вхідні дані виступають як складові антецеденту і пов’язані між собою оператором OR.

Правила у вигляді (11.7) та відповідні їм логічні вирази часто використовуються у фаховій літературі при розгляді загальних питань, але практикою встановлено, що багато правил мають однаковий вихід. Такі правила доцільно об’єднувати, отримуючи тим самим об’єднані правила з однаковим загальним виходом. Тоді замість нумерації правил за верхніми індексами використовується нумерація з подвійними верхніми індексами заміною k на pе_p, де:

- – порядковий номер об’єднаних правил: кілька правил з однаковим виходом b_p об’єднуються в одне об’єднане правило навколо вихідного терму b_p. Тому при заповненні таблиці спочатку групують правила, що мають однакові терми виходу,в об’єднані правила;

- – порядковий номер правила в р -ому об’єднаному правилі для вихідного терму b_p;

- – загальна кількість правил в р -ому об’єднаному правилі для вихідного терму b_p.

Після замін k на pе_p кожне правило використовується з відповідною вагою .

Базу нечітких знань виконують у вигляді таблиці (табл.32.1), яка відповідає таким вимогам:

Таблиця 32.1 - База нечітких знань
Номер правила	Вхідні змінні	Вага	Вихідна змінна р – го об’єднаного правила
x 1	x 2	…xj…	xn	W	y
	a 1^11	a 2^11	aj ^11	an ^11		b 1
	a 1^12	a 2^12	aj ^12	an ^12
…	…	…	…	…	…
1 q 1
…	…	…	…	…	…	…
p 1	a 1 ^p ^1	a 2 ^p ^1	aj^p ^1	an^p ^1		bp
p 2	a 1 ^p2	a2^p2	aj^p ^2	an^p2
…	…	…	…	…	…
рер
…	…	…	…	…	…
pqp
…	…	…	…	…	…	…
С 1	a 1 ^С ^1	a 2 ^С ^1	aj^С ^1	an^С ^1		bС
С 2	a 1 ^С ^2	a 2 ^С ^2	aj^С ^2	an^С ^2
…	…	…	…	…	…
СqC

1. В рядках записуються правила за їх порядковими номерами р та е_р (або за номером ). Загальна кількість рядків дорівнює (один рядок додано для заголовків колонок). Загальна кількість колонок таблиці дорівнює (n+3):

- одна колонка - номера рядка правила pе_p;

- n колонок - позначення термів вхідних змінних ;

- одна колонка - ваговий коефіцієнт ;

- одна колонка виходу у - позначення термів вихідних змінних.

Таким чином, розмірність таблиці дорівнює .

2. Комірки таблиці, які відповідають колонкам входів та колонці виходу у, заповнюються термами для відповідних правил, що записуються у рядках. Терм , який знаходиться на перехресті j -ої колонки для змінної x_j та pе_p -ого рядка, відповідає терму параметра x_j в pе_p -му правилі. Вважають, що кількість наявних експериментальних даних менше повного перебору усіх можливих комбінацій вхідних змінних.

3. На початку роботи системи вважають усі ваги . Потім їх значення уточнюють в процесі накопичення даних експериментів. Вагові коефіцієнти відображують впевненість експерта щодо впливу правила на роботу системи.

4. Отриману базу знань перевіряють на наявність тотожних та протилежних за змістом рядків.

База знань відображує знання у вигляді логічних висловлювань типу IF … THEN …, OR, які пов’язують значення вхідних змінних з одним із можливих значень виходу b_p, :

(з вагою w ¹¹)

(з вагою w ¹²)

OR …

(з вагою )

ELSE

(з вагою w ²¹)

(з вагою w ²²)

OR …

(з вагою )

ELSE

(з вагою w^{p 1})

(з вагою w ^{p 2})

OR …

(з вагою )

OR …

(з вагою )

ELSE (11.8)

(з вагою w^{C 1})

(з вагою w ^{С 2})

OR …

(з вагою )

.

Подібну систему логічних висловлень, яку називають нечіткою базою знань, можна компактно записати як

. (11.9)

Тут записане одне р -те об’єднане логічне висловлювання із (11.8) з використанням операцій (OR) й (AND); перелік цих об’єднаних правил при складає усю множину об’єднаних правил (11.8).

Таким чином, невідома залежність Y=F(X) формально замінюється нечіткими логічними висловлюваннями (11.9), які базуються на створеній експертом матриці знань табл. 11.5.

Формування системи нечітких логічних рівнянь для моделі Мамдані

Для отримання висновку за Мамдані при формуванні системи нечітких логічних рівнянь система логічних висловлювань (11.9) перетворюється наступним чинам:

1. Вхідні лінгвістичні оцінки (терми) змінних , які входять в логічні висловлювання (11.8), замінюють на відповідні функції належності .

2. Вагові коефіцієнти враховуються зі знаком множення.

3. Логічне AND замінюється знаком , а логічне OR – знаком .

4. Вихідна лінгвістична оцінка (терм b_р) змінної виходу у замінюється відповідною функцією належності до даного терму вектора вхідних змінних .

В результаті отримуємо систему логічних рівнянь:

………………………………………………………

………………………………………………………

;

………………………………………………………

………………………………………………………

;

…………………………………………………………………………….

(11.10)

………………………………………………………

………………………………………………………

;

…………………………………………………………………………….

………………………………………………………

………………………………………………………

.

За аналогією з (11.9) систему логічних рівнянь (11.10) можна компактно записати як

. (11.11)

Тут записане одне р -те об’єднане логічне рівняння із (11.10) з використанням операцій (OR) та (AND); перелік цих об’єднаних логічних рівнянь при являє усю множину логічних рівнянь (11.10), яка базується на матриці знань табл. 11.5.

Таким чином, невідома нам залежність Y=F(X) формально замінюється нечіткими логічними рівняннями (11.11), які базуються на створеній експертом матриці знань табл.11.5.

Робота блоку дефаззифікації при отриманні висновку за моделлю Мамдані

Основне призначення блоку дефаззифікації – видати на виході нечіткої системи управління числовий сигнал виходу (чіткий числовий сигнал управління у* на універсумі U_y). При цьому на вхід блоку дефаззифікації можуть надходити два типи сигналів від блоку нечіткого логічного висновку:

1. Блок нечіткого логічного висновку для кожного k– ого правила бази нечітких знань визначає вигляд вихідної функції належності відповідної нечіткої множини . Усього отримуємо N таких функцій належності – по загальній кількості правил. Усі вони безпосередньо передаються на дефаззифікатор. Числове значення виходу при цьому можна розрахувати за допомогою різних методів:

а) метод дефаззифікації по середньому центру (англ.. center average defuzzification), за яким числове значення у* розраховується за формулою

, (11.12)

де y^k* - точка у вигляді числового значення, в якій функція належності μ^k(у) отримує максимальне числове значення на універсумі виходу U_y;

– розраховане числове значення функції належності μ^k (у) в точці y^k* згідно відповідного правила.

Перевагою методу є те, що отримане рішення у вигляді числа не залежить від форми функції μ^k (у) та нечіткої множини .

Для двох правил (N =2) ідея методу показана на рис. 11.29, де рішення y^* показане чорною точкою.

б) метод дефаззифікації по сумі центрів (англ.. center of sums defuzzification), за яким числове значення у* розраховується по величинам інтегралів

(11.13)

Цей метод може використовуватися, якщо ФН є неперервною.

2. Блок нечіткого логічного висновку об’єднує висновки усіх правил: вихідні дані для усіх N правил на універсумі виходу U_y об’єднуються в один загальний нечіткий висновок на відповідній нечіткій множині , і після цього дані передаються на дефаззифікатор. В цьому випадку числове значення сигналу управління може визначатися за наступними методами:

а)за методом максимуму функції належності, згідно з яким вихід нечіткої системи управління визначається як координата (рис.32.3) універсуму U_y, яка відповідає максимуму . Цей метод вимагає, щоб функція була унімодальною, і є найпростішим;

б) за методом центру тяжіння (центру ваги, центру площини) (англ.. center of gravity method, center of area method), згідно з яким вихід нечіткої системи управління визначається як координата центру тяжіння (рис.32.4) отриманої ФН :

. (11.14)

Цей метод є найбільш розповсюдженим. Тут інтегрування по у може розглядатись у як у межах всього універсуму U_y, так і в межах носія НМ , бо функція належності поза областю власного носія дорівнює нулю.