Нечіткі моделі бази знань в системі MATLAB

[Штовба С. Д. Ідентифікація нелінійных зависимостей с помощью нечеткого логического вывода в системе MATLAB // Exponenta, #2/2003, c. 9 – 15].

 

В MatLab у пакеті Fuzzy Logic Toolbox реализовані два типи нечітких моделей (типа Мамдані і типа Сугэно), які відрізняються форматом бази знань та процедурою дефаззификації

Модель типа Мамдані.

В моделі типа Мамдані взаємний зв´язок між входами X = (x₁,x₂,...,x_n) і выходом у визначається нечіткою базою знаньу вигляді сукупності логічних виразів:

ЯКЩО (x₁ =a_1,j1) І (х₂ =а_2,j1) І...І (x_n =a_n,j1)

АБО (x₁ =a_1,j2) І (х₂ =а_2,j2) І...І (x_n =a_n,j2)

…

АБО (x₁ =a_1,jkj) І (х₂ =а_2,jkj) І...І (x_n =a_n,jkj)

ТО y = d_j,

де

i = - порядковий номер змінної x_i;

n - загальна кількість змінних x_i;

j= - порядковий номер лінгвістичного вихідного терму d_i для лінгвістичної оцінки вихідної змінної у(Х);

m - загальна кількість лінгвістичних вихідних термів d_i для лінгвістичної оцінки вихідної змінної у(Х);

jp = - порядковий номер рядка для j-го правила, у якому вихід у оцінюється лінгвістичним термом d_i;

kj - загальна кількість рядків-кон´юнкцій для j-го правила, у якому вихід у оцінюється лінгвістичним термом d_i;

а_i,jp — лінгвістичний терм, яким оцінюється змінна x_iв рядку з номером jp (p = );

За допомогою операцій (АБО) і (І) нечіт­ку базу знань перепишемо у більш компактному вигляді:

(1)

Введемо позначення:

1. — функція належності входа х_i нечіткому терму a_i,jp . Тут i = , j= ,jp = . Тоді можна використати позначення для вхідного лінгвістичного терму

.

2. — функція належности вихода у до нечіткого терму d_j, j= . Тоді можна використати позначення для вихідного лінгвістичного терму

;

3. Степень належності вхідного вектора X* = (х₁* , х₂* , . . . х_n* ) нечітким термам d_j із бази знань (1) визначається наступною системою нечітких логічних рівнянь:

j= , (2)

де — операція із s-нормы (t-нормы), тобто із множини реализацій логічних операцій АБО (І). Найчастіше використовуються такі реалізації: для операції АБО — нахожде­ння максимума, для операції І — нахождення мінімума.

Нечітка множина , якавідповідає вхідному вектору X* , визначається наступним чином:

де imp — імплікація (звичайно реализується як операція знаходження мінімума);

agg — агреги­ровання нечітких множин (звичайно реализується як операція знаходження максимума).

Чіткє значенння виходу у, відповідного вхідному вектору X*, визнчається в результа­ті дефаззифікації нечіткої множини . Найчастіше застосовується дефаззификація по ме­тоду центра тяжіння:

.

 

Модель типа Сугено (Sugeno)

В моделі типа Сугено зв´язок між вхо­дами X = (х₁ , х₂ , . . . х_n ) та виходом у задається не­чіткою базою знань у вигляді сукупності поліномів першої степені:

, (3)

де b_j,i — константи.

База знань (3) аналогична системі логічних виразів (1) за вилученням висновків правил d_j, які задаються не нечіткими термами, а чисельною лінійною функциею від входів:

.

 

Таким чином, база знань в моделі Сугено є гібридною — ії правила вміщують посилання у вигляді нечітких множин і висновок у вигляді чіткої лінійної функції. База знань (3) может трактуватись як розділ простору вхідних факторів на нечіткі підобласті, в кажній із яких значення функції відгуку розраховується як лінійна комбиінация входів. Правила є своєрідними перемикачами з одного лінійного закона «входи-вихід» на інший, теж лінійний. Границі підобластей розмиті, і тому одночасно можуть виконуватись кілька лінійних законів, але з різними вагами. Результуюче значенння виходу у визначається як супер­позиція лінійних залежностей для данної точки X* n-мірного факторного про­стору. Це може бути як середнє взважене

,

або як взважена сума

.

Значення (X*) розраховується як і для мо­делі типу Мамдані, тобто за формулою (2). В моделі Сугено в якості опера­цій та звичайно використовується відповідне ймовірносне АБО чи множення. В цьому випадку нечітка модель типа Сугено може розглядатись як особливий клас багатошарових нейронних мереж прямого розповсюдження сигнала, структура якої ізоморфна базі знань.Такі мережі отримали назву нейро-нечітких.

Моделі типа Мамдані і типа Сугено будуть ідентичними, коли висновки правил задані чіткими числами, тобто у випадку, коли:

1) терми d_j вихідної змінної в моделі типа Мамдані задаються синглтонами — нечіткими аналогами чітких чисел. В цьому випадку степені належності для усіх елементів уні­версальної множини дорівнюють нулю, за вилученням одного зі степеню належности равній одиниці;

2) висновки правил в базі знань моделі типу Сугено задані функціями, в яких усі коеффициєнти при вхідних змінних дорівнюють нулю.