Водородоподобная система в квантовой механике

Состояние микрочастицы описывается в квантовой ме­ханике волновой функцией ψ. Она является функцией координат и времени. Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность dP того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV:

. (8.14)

Волновая функция может быть найдена путем решения уравнения Шрёдингера:

. (8.15)

Здесь Δ – оператор Лапласа (); U –потенциальная энергия частицы. Уравнение Шрёдингера является основным уравнением квантовой механики. Подобно тому, как уравнения динамики Ньютона не могут быть получены теорети­чески, а представляют собой обобщение большого числа опытных фактов, уравнение Шрёдингера также нельзя вывести из каких-либо известных ранее соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем обстоятельством, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытными фактами.

В атоме водорода или водородоподобном ионе потенциальная энергия электрона равна:

. (8.16)

Уравнение Шрёдингера имеет в этом случае вид:

. (8.17)

Можно показать, что (8.17) имеет однозначные, конечные и непрерывные решения в следующих случаях: 1) при любых положительных значениях Е; 2) при дискретных отрицательных значениях энергии, равных:

, (n =1, 2, 3,…∞). (8.18)

Случай Е> 0 соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра и удаляющемуся вновь на бесконечность. Случай Е< 0 соответствует электрону, находящемуся в пределах атома. Сравнение (8.18) и (8.10) показывает, что квантовая механика приводит к таким же значениям энергии водородного атома, какие получались и в теории Бора. Однако в квантовой механике эти значения получаются логическим путём при решении уравнения Шрёдингера. Бору же для получения такого результата пришлось вводить специальные дополнительные предположения.

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: монохроматор УМ-2, ртутная лампа, неоновая лампа, водородная лампа, источник питания.

 

Описание экспериментальной установки

 

Для наблюдения спектра излучения в работе используется стеклянно-призменный монохроматор типа УМ-2, предназначенный для исследования спектров в диапазоне длин волн от 0.38 до 1.00 мкм. Схема монохроматора представлена на рис. 8.4.

Кол­ли­ма­тор 1, име­ю­щий щель 1', снаб­жен ми­к­ро­ме­т­ри­че­с­ким вин­том 9 для ре­гу­ли­ров­ки ее ши­ри­ны. Свет от ис­сле­ду­е­мо­го ис­то­ч­ни­ка света па­да­ет че­рез нее на кол­ли­ма­тор­ный объ­е­к­тив 2, снаб­жен­ный ми­к­ро­ме­т­ри­че­с­ким вин­том 8. Этот винт по­з­во­ля­ет сме­щать объ­е­к­тив от­но­си­тель­но ще­ли при фо­ку­си­ров­ке спек­т­раль­ных ли­ний.

Да­лее на пу­ти лу­чей рас­по­ло­же­на сло­ж­ная спек­т­раль­ная приз­ма 3, смон­ти­ро­ван­ная на по­во­рот­ном сто­ли­ке 6. Приз­ма со­сто­ит из трех скле­ен­ных призм Р₁, Р₂, Р₃. Про­ме­жу­то­ч­ная приз­ма Р₂ сде­ла­на из кро­на. Лу­чи, от­ра­жа­ясь от ее гра­ни, по­во­ра­чи­ва­ют­ся на 90^о. Бла­го­да­ря та­ко­му ус­т­рой­ст­ву ди­с­пер­сии призм Р₁ и Р₃ скла­ды­ва­ют­ся.

По­во­рот­ный сто­лик 6 вра­ща­ет­ся во­к­руг оси при по­мо­щи ба­ра­ба­на 7, на ко­то­ром на­не­се­ны де­ле­ния. При вра­ще­нии ба­ра­ба­на приз­ма по­во­ра­чи­ва­ет­ся, и в по­ле зре­ния по­я­в­ля­ют­ся раз­ли­ч­ные уча­ст­ки спек­т­ра, ко­то­рые рас­сма­т­ри­ва­ют­ся при по­мо­щи зри­тель­ной тру­бы, со­сто­я­щей из объ­е­к­ти­ва 4 и оку­ля­ра 5. Для от­сче­та по­ло­же­ния ли­ний спек­т­ра по де­ле­ни­ям ба­ра­ба­на 7 ис­поль­зу­ет­ся ука­за­тель 11. Мас­сив­ный кор­пус 10 за­щи­ща­ет ос­нов­ные уз­лы от по­вре­ж­де­ния и за­гряз­не­ний.

 

Порядок выполнения работы

 

Задание 1. Гра­ду­и­ров­ка мо­но­хро­ма­то­ра по спек­т­раль­ным ли­ни­ям ртут­ной и не­оно­вой ламп.

 

1. Установить неоновую лампу как можно ближе к входной щели монохроматора.

2. Зажечь неоновую лампу и пронаблюдать полученный от нее спектр. Определить d – положение каждой линии по барабану монохроматора. Результаты записать в табл.8.1.

3. Заменить неоновую лампу ртутной и провести аналогичные измерения; результаты записать в табл.8.2.

4. Построить по полученным данным обеих таблиц 8.1 и 8.2 объединенный график зависимости длины волны от делений барабана: λ= f (d) (градуировочный график).

 

Таблица 8.1

Линии в спектре неона
Цвет линии	Длина волны λ, нм	Отсчёт по барабану d, дел.
1. Ярко-красная (двойная)	640.2
2. Красно-оранжевая (левая из 2-х двойных линий)	624.3
3. Оранжевая (яркая из 4-х оранжевых линий)	594.5
4. Желтая	585.2
5. Светло-зеленая (левая из двух одиночных линий)	570.0

 

Таблица 8.2

Линии в спектре ртути
Цвет линии	Длина волны λ, нм	Отсчёт по барабану d, дел.
Ярко-красная (двойная)	623.4
Желтая (двойная)	579.0
Светло-зеленая	546.0
Светло-голубая (правая из 2-х зеленых)	491.6
Синяя (яркая)	435.8
Фиолетовая (правая из двух, яркая)	406.2

 

Задание 2. Измерение спектра водорода.

1. Осторожно установить водородную лампу у входной щели монохроматора.

2. Зажечь водородную лампу и пронаблюдать полученный от нее спектр.

3. Определить положение спектральной линии по барабану монохроматора. Результаты занести в таблицу 8.3.

4. С по­мо­щью гра­ду­и­ро­во­ч­но­го графика найти длины волн линий спектра водорода и также занести в таблицу 8.3.

Таблица 8.3

№	Цвет линии в спектре водорода	Отсчёт по барабану d, дел.	Длина волны λ, нм	Квантовые числа перехода	R, ^.10^7 м^-1	Rср., ^.10^7 м^-1	Δ R, ^.10^7 м^-1
n	k
	Ярко-красная
	Сине-зелёная
	Фиолетовая

5. Рассчитать постоянную Ридберга для каждой спектральной линии водорода, выразив R из формулы (8.1).

6. Найти среднее значение R _ср, рассчитать погрешность Δ R; все результаты записать в табл.8.3.

7. По формуле (8.13) рассчитать теоретическое значение постоянной Ридберга. Сравнить экспериментальное R _ср значение с теоретическим.

8. Из (8.13) выразить постоянную Планка и рассчитать её экспериментальное значение, подставив в формулу экспериментальное R _ср. Сравнить с табличным: h =6.63.10^-34 Дж^.с.

9. Сделать выводы.

Контрольные вопросы

1. Ядерная модель атома и её трудности.

2. Сформулируйте постулаты Бора.

3. Используя постулаты Бора, найдите радиусы разрешённых орбит, скорости электрона на них и энергии стационарных состояний.

4. Представьте графически схему энергетических уровней и опишите спектр атома водорода, происхождение серий и отдельных линий в этом спектре. Что такое основное состояние? Возбуждённое? Ионизированное?

5. Недостатки теории Бора. В чём её ценность?

6. Как в квантовой механике описывается состояние микрочастицы? Физический смысл волновой функции.

7. Запишите уравнение Шрёдингера. Каким образом в квантовой механике получается квантование энергии?

Используемая литература

 

[1] §§ 37.5, 38.1-38.4, 39.1,39.2;

[2] §§ 29.1, 30.1, 30.4, 31.3;

[3] §§ 4.2, 4.16. 4.21, 4.27-4.31;

[6] §§ 14, 15, 21, 22;

[7] §§ 208-212, 223-225.

 

Лабораторная работа 3-09