Элементы атомной физики и квантовой механики.

Элементы атомной физики и квантовой механики.

Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества.
Волна де Бройля. Соотношение неопределенностей. Волновая функция.

Вероятность нахождения частицы в элементе объемом d V равна

Величина

(квадрат модуля Y-функции) имеет смысл плотности вероятности, т. е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с коор­динатами х, у, z. Таким образом, физический смысл имеет не сама Y-функция, а квадрат ее модуля |Y|², которым задается интенсивность волн де Бройля.

В олновая функция имеет статистический, вероят­ностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент време­ни t в области с координатами х и x+dx, у и y+dy, z и z+dz.

Уравнение Шредингера.

Уравнение Шредингера имеет вид

 

где , т— масса частицы, D—оператор Лапласа

i — мнимая единица, U (х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Y(х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний:

Движение свободной частицы.

U=0

 

Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками».

В одномерном случае

т.к. y (0)=0, то В =0.

Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике.

 

В теории дифференциальных уравнений до­казывается, что уравнение решается только при собственных значениях энергии

E ₀=¹/₂ћw₀ ^. — энергия нулевых колебаний.

 

 

Квантовая механика

Водородоподобных систем.

Полная система квантовых чисел. Принцип Паули. К-, L-, М- оболочки атома. Рентгеновский спектр. Закон Мозли. Энергетический спектр атомов и молекул. Заполнение электронных оболочек и периодическая система элементов.

 

Решение задачи об энергетических уров­нях электрона для атома водорода сводится к задаче о движении элект­рона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодейст­вия электрона с ядром, обладающим за­рядом 2е (для атома водорода Z=1),

,

где r — расстояние между электроном и ядром.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией y, удов­летворяющей стационарному уравнению Шредингера:

где т — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме.

1. Энергия. Из уравнения Шредингера

Решение уравне­ния Шредингера для атома водорода при­водит к появлению дискретных энергетиче­ских уровней E ₁, E ₂, E ₃ и т д. Самый нижний уро­вень Е₁— основной,

все осталь­ные (E_n>E₁ n=2, 3,...) — возбужденные.

Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа n энергетиче­ские уровни располагаются теснее и при n=¥ E_¥ =0. При E>0 движение элек­трона является свободным; Энергия ионизации атома водорода равна

E_i=-E₁= те⁴/ (8h²e²₀) =13,55 эВ.

1. Квантовые числа. В квантовой ме­ханике доказывается, что уравнению Шре­дингера (223.2) удовлетворяют собствен­ные функции y_{n m l}(r, q, j), определяемые тремя квантовыми числами:

главным n ,

орбитальным l.

магнитным m_l .

Главное квантовое число n, определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы:

n=1,2,3,....

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механиче­ский орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произволь­ным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой

где l — орбитальное квантовое число, ко­торое при заданном n принимает значения

l= 0, 1,..., (n-1),

т. е. всего n значений, и определяет мо­мент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор L_e момента им­пульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция на направление z внешне­го магнитного поля принимает квантован­ные значения, кратные h

где m_l — магнитное квантовое число,

кото­рое при заданном l может принимать зна­чения

m_l=0, ±1, ±2,..., ±l,

т. е. всего 2 l +1 значений.

Таким образом, магнитное квантовое число m_l определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор мо­мента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2 l +1 ориентации.

Квантовые числа n и l характеризуют раз­мер и форму электронного облака, а кван­товое число m_l характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.

В атомной физике, по аналогии со спектроскопией, состояние электрона, ха­рактеризующееся квантовыми числами l =0, называют s-состоянием (электрон в этом состоянии называют s-электроном),

l =1 — р-состоянием,

l =2 — d-состоянием,

l=3 — f-состоянием и т.д.

Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитально­го квантового числа. Например, электроны в состояниях n =2 и l =0 и 1 обознача­ются соответственно символами 2s и 2р.

3. Спектр. Квантовые числа n, l и m_l позволяют более полно описать спектр испускания (поглощения) атома водоро­да, полученный в теории Бора.

В квантовой механике вводятся прави­ла отбора, ограничивающие число воз­можных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием и поглощением света.

Теоретически доказано и экспери­ментально подтверждено, что для дипольного излучения электрона, движущегося в центрально-симметричном поле ядра, могут осуществляться только такие пере­ходы, для которых:

1) изменение орби­тального квантового числа Dl удовлетво­ряет условию Dl=±1;

2) изменение магнитного квантового чис­ла Dm_l удовлетворяет условию

Dm_l=0, ±1.

Учитывая число возможных состояний, соответствующих данному n, и правило отбора, рассмотрим спектральные линии атома водорода (рис. 304):

серии Лаймана соответствуют переходы

np®1s (n=2,3,...);

Серии Бальмера.

np®2s, ns®-2p, nd®2p (n=3, 4,...)

И т. д.

Квантовая статистика.

Распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака. Вырожденный электронный газ в металлах. Энергия Ферми. Влияние температуры на распределение электронов. Сверхпроводимость. Квантовая теория теплоемкости твердых тел.

Квантовая статистика Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака

Состояние системы невзаимодействующих частиц за­дается с помощью так называемых чисел заполнения N_i — чисел, указывающих сте­пень заполнения квантового состояния (характеризуется данным набором i кван­товых чисел) частицами системы, состоя­щей из многих тождественных частиц. Для систем частиц, образованных бозона­ми — частицами с нулевым или целым спином, числа заполнения мо­гут принимать любые целые значения: О, 1, 2,....

Для систем частиц, обра­зованных фермионами — частицами с по­луцелым спином, числа запол­нения могут принимать лишь два значе­ния: 0 для свободных состояний и 1 для занятых. Сумма всех чисел за­полнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т. е. определить средние числа заполнения <N_i>.

Идеальный газ из бозонов — бозе-газ — описывается квантовой статистикой Бозе — Эйнштейна.

Это распределение называется распреде­лением Бозе — Эйнштейна.

Здесь < Ni > — среднее число бозонов в квантовом со­стоянии с энергией E_i, k — постоянная Больцмана, Т — термодинамическая тем­пература, m — химический потенциал; m не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц. Химический потенциал определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем), фиксированы.

Идеальный газ из фермионов — ферми-газ — описывается квантовой стати­стикой Ферми — Дирака. Распределение фермионов по энергиям имеет вид

где <N_i>—среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией E_i, m — химический потенциал.

Если е(^Ei-m)/(kT)>>1, то распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана:

 

где

Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.

Температурой вырождения То называ­ется температура, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеаль­ного газа, обусловленные тождественно­стью частиц, т. е. Т ₀ — температура, при которой вырождение становится су­щественным. Если T >> T ₀, то поведение системы частиц (газа) описывается клас­сическими законами.

Вырожденный электронный газ в металлах

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется прин­ципу Паули, согласно которо­му в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четы­рех квантовых чисел) электронов, они до­лжны отличаться какой-то характеристи­кой, например направлением спина. Сле­довательно, по квантовой теории, электро­ны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне да­же при 0 К. Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх «по энергети­ческой лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми — Дирака. Если m₀ — химический по­тенциал электронного газа при Т= 0К, то, среднее число < N(E)> электронов в квантовом состоянии с энер­гией E равно

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в кванто­вом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов < N (E)> = f (E), где f (E) — функция распределения электронов по состояниям. Из (236.1) следует, что при Т= 0К

 

функция распределения < N (E)³1, если E <m₀, и < N (E)³0, если E >m₀. В области энергий от 0 до m₀ функция < N (E)> равна единице. При E=m₀ она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т=0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E=m₀, заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей m₀, свободны. Следовательно, m₀есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта мак­симальная кинетическая энергия называ­ется энергией Ферми и обозначается Е_F (E_F=m₀). Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энер­гия Ферми Е_F, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода элек­трона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это дела­лось в классической теории, а от уровня Ферми, т. е. от верхнего из занятых элек­тронами энергетических уровней.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми — Дирака плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT) в окрестности Е_F (рис. 312, б). В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, напри­мер при комнатной температуре Т» 300 К и температуре вырождения T₀=3•10⁴ К,— это 10^-5 от общего числа электронов.

Если (Е-E_F)>>kT тогда распределение Ферми — Дирака переходит в распределе­ние Максвелла — Больцмана. Таким об­разом, при (E-E_F}>>kT, т. е. при больших значениях энергии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда (E-E_F)<<kT, к ним при­менима только квантовая статистика Фер­ми — Дирака.

Сверхпроводимость.

 

Как показал немецкий физик В. Мейсснер, в сверхпроводящем состоянии магнитное поле в толще сверхпроводника отсутствует. Это означа­ет, что при охлаждении сверхпроводника ниже критической температуры магнитное поле из него вытесняется (эф­фект Мейсснера).

Физическая природа сверхпроводимо­сти была понята в 1957 г. на основе теории (создана Ландау в 1941 г.) сверх­текучести гелия. Теория сверх-

проводимости создана американскими фи­зиками Д. Бардином (р. 1908), Л. Купе­ром (р. 1930) и Д. Шриффером (р. 1931) и усовершенствована Н. Н. Боголюбовым.

Качественно явление сверхпроводимо­сти можно объяснить так. Между электро­нами металла помимо кулоновского оттал­кивания, в достаточной степени ослабляе­мого экранирующим действием положи­тельных ионов решетки, в результате электрон-фононного взаимодействия (вза­имодействия электронов с колебаниями решетки) возникает слабое взаимное при­тяжение. Это взаимное притяжение при определенных условиях может преобла­дать над отталкиванием. В результате электроны проводимости, притягиваясь, образуют своеобразное связанное состоя­ние, называемое куперовской парой. «Раз­меры» пары много больше (примерно на четыре порядка) среднего межатомного расстояния, т. е. между электронами, «связанными» в пару, находится много «обычных» электронов.

Чтобы куперовскую пару разрушить (оторвать один из ее электронов), надо за­тратить некоторую энергию, которая пой­дет на преодоление сил притяжения элек­тронов пары. Такая энергия может быть в принципе получена в результате взаимо­действия с фононами. Однако пары сопро­тивляются своему разрушению. Это объясняется тем, что существует не одна пара, а целый ансамбль взаимодействую­щих друг с другом куперовских пар.

Электроны, входящие в куперовскую пару, имеют противоположно направлен­ные спины. Поэтому спин такой пары ра­вен нулю и она представляет собой бозон. К бозонам принцип Паули неприменим, и число бозе-частиц, находящихся в одном состоянии, не ограничено. Поэтому при

сверхнизких температурах бозоны скапли­ваются в основном состоянии, из которого их довольно трудно перевести в возбуж­денное. Система бозе-частиц — куперовских пар, обладая устойчивостью относи­тельно возможности отрыва электрона, может под действием внешнего электриче­ского поля двигаться без сопротивления со стороны проводника, что и приводит к сверхпроводимости.

Зонная теория твердых тел.

Энергетические зоны в кристаллах. Распределение электронов по энергетическим зонам. Металлы, полупроводники и диэлектрики. Контакт двух разнородных металлов. Явления Пельтье и Зеебека. Собственная и примесная проводимость полупроводников. p-n переход и его вольтамперная характеристика.

Элементы атомной физики и квантовой механики.

Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества.
Волна де Бройля. Соотношение неопределенностей. Волновая функция.

Вероятность нахождения частицы в элементе объемом d V равна

Величина

(квадрат модуля Y-функции) имеет смысл плотности вероятности, т. е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с коор­динатами х, у, z. Таким образом, физический смысл имеет не сама Y-функция, а квадрат ее модуля |Y|², которым задается интенсивность волн де Бройля.

В олновая функция имеет статистический, вероят­ностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент време­ни t в области с координатами х и x+dx, у и y+dy, z и z+dz.

Уравнение Шредингера.

Уравнение Шредингера имеет вид

 

где , т— масса частицы, D—оператор Лапласа

i — мнимая единица, U (х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Y(х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний:

Движение свободной частицы.

U=0

 

Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками».

В одномерном случае

т.к. y (0)=0, то В =0.

Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике.

 

В теории дифференциальных уравнений до­казывается, что уравнение решается только при собственных значениях энергии

E ₀=¹/₂ћw₀ ^. — энергия нулевых колебаний.

 

 

Квантовая механика

Водородоподобных систем.

Полная система квантовых чисел. Принцип Паули. К-, L-, М- оболочки атома. Рентгеновский спектр. Закон Мозли. Энергетический спектр атомов и молекул. Заполнение электронных оболочек и периодическая система элементов.

 

Решение задачи об энергетических уров­нях электрона для атома водорода сводится к задаче о движении элект­рона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодейст­вия электрона с ядром, обладающим за­рядом 2е (для атома водорода Z=1),

,

где r — расстояние между электроном и ядром.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией y, удов­летворяющей стационарному уравнению Шредингера:

где т — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме.

1. Энергия. Из уравнения Шредингера

Решение уравне­ния Шредингера для атома водорода при­водит к появлению дискретных энергетиче­ских уровней E ₁, E ₂, E ₃ и т д. Самый нижний уро­вень Е₁— основной,

все осталь­ные (E_n>E₁ n=2, 3,...) — возбужденные.

Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа n энергетиче­ские уровни располагаются теснее и при n=¥ E_¥ =0. При E>0 движение элек­трона является свободным; Энергия ионизации атома водорода равна

E_i=-E₁= те⁴/ (8h²e²₀) =13,55 эВ.

1. Квантовые числа. В квантовой ме­ханике доказывается, что уравнению Шре­дингера (223.2) удовлетворяют собствен­ные функции y_{n m l}(r, q, j), определяемые тремя квантовыми числами:

главным n ,

орбитальным l.

магнитным m_l .

Главное квантовое число n, определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы:

n=1,2,3,....

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механиче­ский орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произволь­ным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой

где l — орбитальное квантовое число, ко­торое при заданном n принимает значения

l= 0, 1,..., (n-1),

т. е. всего n значений, и определяет мо­мент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор L_e момента им­пульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция на направление z внешне­го магнитного поля принимает квантован­ные значения, кратные h

где m_l — магнитное квантовое число,

кото­рое при заданном l может принимать зна­чения

m_l=0, ±1, ±2,..., ±l,

т. е. всего 2 l +1 значений.

Таким образом, магнитное квантовое число m_l определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор мо­мента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2 l +1 ориентации.

Квантовые числа n и l характеризуют раз­мер и форму электронного облака, а кван­товое число m_l характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.

В атомной физике, по аналогии со спектроскопией, состояние электрона, ха­рактеризующееся квантовыми числами l =0, называют s-состоянием (электрон в этом состоянии называют s-электроном),

l =1 — р-состоянием,

l =2 — d-состоянием,

l=3 — f-состоянием и т.д.

Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитально­го квантового числа. Например, электроны в состояниях n =2 и l =0 и 1 обознача­ются соответственно символами 2s и 2р.

3. Спектр. Квантовые числа n, l и m_l позволяют более полно описать спектр испускания (поглощения) атома водоро­да, полученный в теории Бора.

В квантовой механике вводятся прави­ла отбора, ограничивающие число воз­можных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием и поглощением света.

Теоретически доказано и экспери­ментально подтверждено, что для дипольного излучения электрона, движущегося в центрально-симметричном поле ядра, могут осуществляться только такие пере­ходы, для которых:

1) изменение орби­тального квантового числа Dl удовлетво­ряет условию Dl=±1;

2) изменение магнитного квантового чис­ла Dm_l удовлетворяет условию

Dm_l=0, ±1.

Учитывая число возможных состояний, соответствующих данному n, и правило отбора, рассмотрим спектральные линии атома водорода (рис. 304):

серии Лаймана соответствуют переходы

np®1s (n=2,3,...);

Серии Бальмера.

np®2s, ns®-2p, nd®2p (n=3, 4,...)

И т. д.