Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостейСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Общий признак параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой либо прямой этой плоскости. Общий признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны между собой. Применение этих признаков рассмотрим на примерах решения двух задач.
Задача 1. Через точку К провести плоскость, параллельную прямой m (рис.20)
Краткую запись решения задачи 1 можно представить так. Дано: m (m1, m2), К (К1, К2) Провести: Σ // m ^ Σ К Решение: 1. Σ(а b) => а Σ ^ b Σ => а1 Σ1 ^ b1 Σ1 =>а2 Σ2 ^ b2 Σ2 2. m // Σ => m // а Σ => а1 // m1 ^ а2 // m2 3. b - произвольно, решений - .
Задача 2. Через точку К провести плоскость Σ, параллельную плоскости Г(n m) (рис.21).
Краткая запись решения задачи 2 выглядит следующим образом. Дано: Г (n m), m (m1, m2), n (n1, n2), К (К1,К2) Провести: Σ // Г ^ Σ К. Решение: 1. Σ(а b) => а Σ ^ b Σ => а1 Σ1 ^ b1 Σ1 =>а2 Σ2 ^ b2 Σ2 2. Σ // Г => а // m ^ b // n Σ => а1 // m1 ^ а2 // m2 ^ b1 // n1 ^ b2 // n2 Решение - единственное. Главные позиционные задачи Как в геометрической, так и в конструкторской практике большое число решений относится к задачам о пересечении геометрических образов или геометрических тел. Ввиду их особой важности, задачи о пересечениях называют главными позиционными задачами (ГПЗ). Из всего разнообразия возможных при этом вариантов можно выделить две разновидности ГПЗ: - 1ГПЗ: пересечение линий и поверхностей; - 2ГПЗ: пересечение поверхностей. Очевидно, что сказанное о двух ГПЗ характеризует самый общий вариант для каждой из задач и подразумевает, что понятие каждого из компонентов пересечения (линия, поверхность) включает в себя все возможные его варианты. Так, к 1 ГПЗ относятся пересечения: - прямой линии и плоскости; - прямой линии и поверхности; - кривой линии и поверхности (в общем случае).
- плоскостей; - плоскости и поверхности; - поверхностей. Сущность всякой задачи на пересечение состоит в определении общего элемента, который будем называть искомым геометрическим образом. Очевидно, в 1-й ГПЗ это - точка или несколько (конечное число) точек (рис.22). Во 2-й ГПЗ искомым геометрическим образом является линия (рис.23). Искомый геометрический образ как результат пересечения заданных образов всегда принадлежит одновременно обоим заданным пересекающимся геометрическим образам и, очевидно, может быть определен: - непосредственно, исходя из свойств пересекающихся образов; - через посредство свойств нового геометрического образа
Направление методики решения предполагает использование проецирующих свойств геометрических образов. Поскольку геометрические образы могут быть как проецирующие, так и не проецирующие, очевидно, что как для 1 ГПЗ, так и для 2 ГПЗ при всем многообразии вариантов возможно существование трех случаев пересечения: Случай 1. Оба пересекающихся геометрических образа проецирующего характера; Случай 2. Один из пересекающихся геометрических образов проецирующего характера, а второй — не проецирующий; Случай 3. Оба пересекающихся геометрических образа - непроецирующего характера. Имея в виду то определение главной проекции геометрического образа, которое было дано ранее, очевидно, можно утверждать, что в случае 1 непосредственно на чертеже можно указать обе проекции искомого геометрического образа; в случае 2 непосредственно на чертеже можно определить одну проекцию искомого геометрического образа; В случае 3 определение проекций искомого геометрического образа потребует введения нового геометрического образа-посредника, обладающего свойствами проецирующих образов. Эти соображения вытекают из того, что точка, линия, фигура, принадлежащ ая проецирующему геометрическому образу, будет иметь свои одноименные проекции, совпадающие с главной проекцией этого образа. Все высказанное позволяет не только систематизировать все возможные случаи пересечения, но и алгоритмизировать сам процесс решения задач для все трех случаев. Самое главное из всего вышеизложенного о главных позиционных задачах (ГПЗ) можно объединить в двух таблицах, полезных для использования при решении задач о пересечении геометрических образов. Чтобы увидеть общее в решении задач на пересечение и выяснить алгоритм для того или иного случая пересечения, рассмотрим решения ряда задач.
Задача 1. Даны прямая m(m1,m2) и плоскость Σ(n//k). Требуется определить точку А пересечения прямой m и плоскости Σ(n//k). Решение(рис.24): 1. А m => А2 m2 А] m] 2. А Σ => А2 Σ2 (k2 ≡ n2) А1 Σ1(n1//k1). 1. m1 ╨ П1 => m1 ≡ A1 2. Σ ╨ П2 =>Σ2 А2 А2 = m2 k2 = n2 (рис. 25)
Задача 2. Заданы плоскость ˄ (˄2) и цилиндрическая поверхность Ф(Ф1, Ф2,) Определить линию пересечения l плоскости ˄ с поверхностью Ф. Решение (рис. 25): 1.l ˄ => l2 ˄2 l] ˄] 2. l Ф => l1 Ф1 l2 Ф2 3. ˄ ╨ П2 => l2 ≡ ˄2(l2 22) 4. Ф ╨ П1 => Ф1 ≡ l1
Замечание. При рассмотрении интервала существования l необходимо помнить, что общность искомого геометрического образа определяет граница его существования в пределах общей принадлежности к заданным геометрическим образам (здесь эта граница определена точками 1 и 2).
Мы рассмотрели в задаче 1-1 ГПЗ, а в задаче 2-2 ГПЗ. Если сравнить их решения, можно заметить, что, во-первых, мы рассмотрели задачи, попадающие под первый случай пересечения, во-вторых, решение задач, в общем, не отличаются друг от друга. Значит, существует единый, общий для 1ГПЗ и для 2ГПЗ алгоритм решения, который мы сейчас и сформулируем.
Алгоритм решения для случая 1 1. Обе проекции искомого общего геометрического образа уже непосредственно заданы на чертеже. 2. Обе проекции искомого общего геометрического образа принадлежат главным проекциям проецирующих образов в пределах общности этих проекций. 3. Решение задачи может быть сведено к простановке обозначений проекций искомого общего геометрического образа на чертеже.
Примеры 3 и 4 позволяют сформулировать план решения задач для второго случая пересечения. Алгоритм решения для случая 2 1. Одна проекция искомого геометрического образа уже непосредственно задана на чертеже и принадлежит главной проекции проецирующего образа в пределах её общности с заданным не проецирующим образом. 2. Другая проекция искомого общего геометрического образа определяется по принадлежности к заданному не проецирующему образу. Задача 5.Заданы прямая m общего положения и плоскость общего положения Σ в виде двух пересекающихся прямых а и в. Определить точку М пересечения прямой m и плоскости Σ (рис. 28). Прежде, чем записать решение этой и следующей задачи, попробуем предложить следующий план решения. Алгоритм решения 1ГПЗ для случая 3 1. Через заданную прямую проводится плоскость-посредник; целесообразно, чтобы эта плоскость была проецирующего характера. 2. Строится линия пересечения заданной плоскости и плоскости-посредника (второй случай пересечения!). 3. Определяется точка пересечения заданной прямой и построенной линии пересечения, которая и будет искомой точкой. Эти же соображения можно сформулировать и в том случае, когда надо найти линию пересечения, а в качестве посредников выбраны некоторые поверхности. Сама же искомая линия будет представлена совокупностью точек.
Данные этой задачи можно записать так: Дано: m(m1, m2); Σ(a b)= Σ1(a1 b1) Σ2(a2 b2)
Для задач на третий случай пересечения условимся записывать только решение в пространстве, что в более краткой форме отражает как суть производимых построений, так и применяемый алгоритм решения: 1. Г m ^ Г ╨ П2; 2. k=Г Σ(а b); 3. М = m k. Следует отметить, что посредник мог быть другим, однако в данном случае проецирующее свойство посредника позволило использовать алгоритм для второго случая пересечения, что упростило задачу. Рассмотрим еще один пример. Задача 6. Даны две плоскости общего положения: плоскость Г задана параллельными прямыми а иb, плоскость Σ - пересекающимися прямыми с и d. Найти линию k пересечения этих плоскостей. Кратко условие этой задачи можно записать так: Дано: Г(а//b); Σ(c d). Найти: к=Г Σ. Прежде чем записать решение задачи, наметим план её решения, который в дальнейшем будет применяться при решении любой главной позиционной задачи 2 для случая пересечения 3.
Алгоритм решения 2ГПЗ для случая 3 1. Обе заданные поверхности пересекают некоторыми посредниками 2. Строят линии пересечения каждой из заданных плоскостей или поверхностей с посредниками. 3. Определяют точки пересечения построенных линий пересечения. 4. Пункты 1-3 повторяют столько раз, сколько необходимо точек для 5. Последовательно соединяют полученные точки пересечения в некоторую линию, которая и будет искомой линией пересечения. В этом варианте решение может быть записано так (рис. 29):
Решение: 1. ˄ ╨П2; 2. r = ˄ Г ^ p = ˄ Σ; 3. N = r p; Так как для построения линии пересечения двух плоскостей - прямой - надо знать, как минимум, две точки, проводим еще один посредник (О.). Тогда: 4. Ω ╨П2; 5. m=Ω Г ^ n = Ω Σ; 6. М = m n; 7. К = M N. То, что мы здесь проделали, можно проиллюстрировать рис. 30. Заметим, что задача построения каждой из линий r, р, m и n - задача на второй случай пересечения, то есть, решение 2 ГПЗ для случая пересечения 3 к решению четырёх задач на второй случай пересечения!
Существует еще один способ определения линии пересечения двух поверхностей общего положения. Наиболее часто он используется в случае пересечения: а) плоскостей; б) плоскости и поверхности; в) линейчатых поверхностей, из которых одна - гранная.
1. На одном из заданных геометрических образов выделяют 2. Определяют точки пересечения выделенных прямых с другим заданным геометрическим образом.
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; просмотров: 554; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.148.105.127 (0.008 с.) |