Основное в решении позиционных задач

Решая задачи на принадлежность, следует помнить, что:

1) точка принадлежит линии, если её проекции принадлежат одноименным проекциям этой линии;

2) точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-либо
линии этой поверхности;

3) линия принадлежит поверхности, если все точки линии принадлежат
этой поверхности;

4) прямая принадлежит плоскости, если две точки прямой принадлежат
этой плоскости.

Любая задача на пересечение геометрических образов может быть ре­шена с использованием следующей схемы:

1. определяется тип ГПЗ и случай пересечения;

2. исходя из этого, выбирается соответствующий алгоритм решения;

3. выбранный алгоритм решения применяется для получения решения
данной конкретной задачи - определения проекций искомого геометрического образа.

При этом необходимо:

- всегда помнить определение главной проекции геометрического об­
раза и уметь находить её на комплексном чертеже для заданных пересекающихся образов (если она имеется),

- держать в памяти две таблички для определения типа ГПЗ и случая
пересечения (что позволит правильно выбрать алгоритм решения),

- знать алгоритмы решения, сформулированные в предыдущем разделе.

10. Метрические задачи: общие положения. Метод прямоугольного треугольника

Метрическими называют задачи, в условии или решении которых присутствуют геометрические образы или понятия, связанные с численной харак­теристикой.

Различают две основные метрические задачи:

- ОМЗ-1 (задачи о перпендикулярности),

- ОМЗ-2 (задачи об определении натуральных величин).
Примерами ОМЗ-2 являются задачи на:

- определение натуральной величины отрезка прямой;

- определение расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми;

- определение истинной величины треугольника и других плоских фигур;

- определение расстояния от точки до плоскости;

- определение натуральной величины углов.

Натуральные величины отрезков прямых частного положения определяются достаточно просто. Натуральная величина отрезка, параллельного какой-либо из плоскостей проекций, будет равна величине одноименной проекции этого отрезка. Поэтому натуральная величина фронтали определяется ее фронталъной проекцией, а горизонтали - её горизонтальной проекцией (рис. 32).

 

 

Чтобы уяснить идею определения натуральной величины отрезка прямой общего положения, рассмотрим следующий рисунок (рис. 33).

 

 

Отрезок АВ прямой общего положения здесь проецируется на горизонтальную плоскость проекций (П₁). ∆АBD на рисунке - прямоугольный (угол при вершине D - прямой). Один из его катетов - горизонтальная проекция A₁B₁ отрезка АВ (ВD = A₁B₁), а второй - представляет собой разность коор­динат Z точек А и В отрезка АВ. Гипотенуза АВ в этом треугольнике и есть натуральная величина отрезка прямой общего положения АВ.

 

На комплексном чертеже отрезка любой прямой общего положения всегда можно указать отрезки, отражающие длины соответствующих катетов (рис.34).

 

 

Если бы проецирование вели на фронтальную плоскость проекций (П₂), катетами соответствующего прямоугольного треугольника были бы:

-фронтальная проекция А₂В₂ отрезка АВ (ВО = А₂В₂);

-разность координат V точек А и В отрезка АВ.

Следовательно, сущность метода прямоугольного треугольника заключается в том, что

Натуральная величина прямой общего положения есть гипотенуза прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является какая - либо проекция отрезка, а другим катетом служит разность расстояний концов другой проекции отрезка до оси чертежа, разделяющего эти отрезки.

 

Таким же образом можно находить натуральные величины плоских фи­гур, находя натуральную величину каждой из сторон этой фигуры.

 

Перпендикулярность

Из рассмотрения задачи о нахождении натуральной величины отрезка прямой уровня следует вывод о том, что плоская фигура или угол (а он образуется двумя сторонами фигуры) на плоскость проецируется без искажения, если плоскость фигуры и плоскость проекции - параллельны. Исключение составля­ет прямой угол.

Формулировка теоремы о частном случае проецирования прямого уг­ла звучит так: