Свойства прямоугольного проецирования

 

Сформулируем эти свойства.

1. Точка проецируется в точку.

2. Прямая проецируется в прямую (в общем случае).

3. Если точка принадлежит прямой, то и проекция точки принадлежит проекции прямой.

4. Если прямые параллельны, то их проекции параллельны.

5. Отношение отрезков прямой равно отношению проекций этих
отрезков.

6. Отношение отрезков параллельных прямых равно отношению
проекций этих отрезков.

7. Проекция геометрической фигуры по величине и форме не изменяется при параллельном перемещении плоскости проекций.

8. Проекция отрезка не может быть больше самого отрезка.
Доказательство всех этих свойств можно найти в литературе. Еще одно важное свойство будет сформулировано ниже.

 

Комплексный чертеж. Точка

Проекционные изображения, используемые в технической документации, должны обладать следующими свойствами:

- быть наглядными;

- обладать простотой графического выполнения;

- быть обратимыми, то есть такими, чтобы по ним можно было

представить сам предмет и в дальнейшем его изготовить.

 

Наличие одной проекции создает неопределенность изображения. Поэтомув практике однопроекционные изображения дополняют. Одним из таких дополнений являются комплексные изображения. Они получаются, если предмет с помощью прямоугольного проецирования проецируют на три взаимно перпендикулярных плоскости проекции. Этот способ впервые был предложен, систематизирован и описан французским ученым Г.Монжем, поэтому его иногда называют методом Монжа.

Три взаимно перпендикулярные плоскости, на которые производят проецирование какого-либо предмета или точки, дают три изображения, а также некоторую систему координат ОХУZ, где положение любой точки определяется однозначно, тремя её проекциями: А (Х_А, Y_A, Z_A).

Обычно рассматривают предмет, расположенный в пространстве трех плоскостей, образующих так называемый "правый" угол.

Вообще говоря, три плоскости П₁-П₂-П₃ делят пространство на 8 частей (октантов). Здесь показан один октант, где все координаты точки А (Х_А, У_А, Z_A) - положительны.

Плоскости называют:

П₁ - горизонтальная плоскость проекций,

П₂ - фронтальная плоскость проекций, П₃ - профильная плоскость проекций.

В связи с этим проекции любой точки на эти плоскости снабжаются соответствующим индексом -1,2 или 3 (рис.2).

Чтобы изображение предмета, спроецированное на три плоскости проекций, изобразить на одной плоскости, мысленно производят разрез по оси ОY и поворачивают плоскость П₁ вокруг оси ОХ, а плоскость П₃ - вокруг оси ОZ для совмещения с плоскостью П₂, получая изображение показанное на рис. 3.

 

Линии А₁А₂ и А₂А₃ называют линиями проекционной связи (или просто линиями связи). У А₁А₂ ┴ X и А₂А₃ ┴ Z, поскольку проецирование прямоугольное.

Основные свойства трсхпроекционного комплексного чертежа, приведенного на рис.3:

- две проекции точки принадлежат одной линии связи;

- линия связи перпендикулярна к соответствующей оси проекций;

- две проекции тючки определяют ее третью проекцию.

Таким образом, Комплексный чертеж - это изображение на одной плоскости нескольких взаимных прямоугольных проекций предмета, полученное после определенного совмещения плоскостей проекции с плоскостью чертежа.

Двухпроекционный комплексный чертеж состоит из изображений предметов на двух, плоскостях проекций, совмещенных с плоскостью чертежа. Им удобно пользоваться, поскольку две любых проекции предмета или точки всегда содержат все три их координаты, однозначно определяющих положение предмета или точки в пространстве. Другими словами, и в этом случае чертеж будет обратимым. Следовательно, имея проекции какого-то предмета, можно однозначно представить его в натуре.

Чтобы закончить все о точке, отметим, что

точки, лежащие на одном проецирующем луче, называются конкурирующими точками (это, например, точки А и К на рис. 1). Это обстоятельство лежит в основе метода конкурирующих точек, используемого для определения видимости проекций линий и плоских фигур.

Линия

Кинематическое определение линии может быть следующим:

линия - это множество всех последовательных положений движущейся точки.

Не вникая в классификацию всех существующих линий, выделим те, с спорыми в дальнейшем чаще всего придётся иметь дело:

- прямые (движущаяся точка не изменяет направления своего движения);

- ломаные (звенья ломаных - отрезки прямых);

- замкнутые (движущаяся точка периодически возвращается в исходное положение);

- разомкнутые (движущаяся точка не возвращается в исходное положение);

- кривые (движущаяся точка изменяет направление своего движения);

- плоские (все точки таких линий принадлежат одной плоскости);

- пространственные (все точки их не принадлежат одной плоскости).
Кроме этих важнейших линий имеются и другие разновидности линий

алгебраические, трансцендентные, графические и т.д.).

Прямую линию можно задать двумя точками.

Как задавать одну точку и изображать её на комплексном чертеже, мы уже знаем. Задав так же вторую точку и соединив их отрезком, получим прямую, проекция которой на чертеже будет выглядеть так, как показано на рис.4, где отрезок АВ задает направление прямой (напомним, что сама прямая в пространстве бесконечна).

 

 

В зависимости от расположения той или иной прямой по отношению к плоскостям проекций различают прямые:

- общего положения;

- частного положения.

Прямая общего положения - не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций. Примером такой прямой является изображенный отрезок прямой АВ.

Прямые частного положения бывают следующими:

- прямые уровня;

- проецирующие прямые.

Первые из них параллельны одной из плоскостей проекций, а вторые перпендикулярны одной из этих плоскостей. Этим и определяются их названия:

горизонталь - прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций (прямая горизонтального уровня).

фронталь - прямая, параллельная фронтальной плоскости проек­ций (прямая фронтального уровня).

профильная прямая - прямая, параллельная профильной плоскости проекций (прямая профильного уровня).

 

На чертеже они выглядят так как показано на рис. 5, где:

h₂ – фронтальная проекция горизонтали;

h₁ – горизонтальная проекция горизонтали;

f₂ - фронтальная проекция фронтали;

f₁ – горизонтальная проекция фронтали;

p₁, p₂ – соответствующие проекции профильной прямой.

 

 

Поскольку проецирующая прямая перпендикулярна к какой-либо из плоскостей проекций, проекция прямой на ту плоскость проекций, к которой она перпендикулярна, представляет собой точку (главная проекция). Среди проецирующих прямых (рис. 6) различают:

- фронтально-проецирующие (рис. 6а);

- горизонтально-проецирующие (рис. 66);

- профильно-проецирующие (рис. 6в).

 

 

 

Нужно заметить, что проецирующие прямые одновременно являются и прямыми уровня. Фронтально-проецирующая прямая, например, - одновременно и горизонталь, и профильная прямая, поскольку она параллельна и горизонтальной, и профильной плоскостям проекций. По этим же причинам горизонтально-проецирующая прямая - фронталь и профильная прямая, а профильно-проецирующая прямая - горизонталь и фронталь. То есть, проецирующие прямые одновременно являются дважды прямыми уровня.

 

В пространстве прямые могут либо пересекаться, либо скрещиваться, либо быть параллельными. Комплексные чертежи для этих случаев расположения прямых представлены на рис. 7.

 

 

 

Кривая линия чаще всего может быть задана своими проекциями (рис. 8)

 

 

 

Наибольший же интерес представляет изображение окружностей, располагающихся в плоскостях, параллельных одной из основных плоскостей проекций. На рис. 9 представлены двухпроекционные комплексные чертежи для ок­ружностей, плоскости которых параллельны фронтальной (рис. 9а), горизонтальной (рис. 9б) и профильной (рис. 9в) плоскостям проекций.

 

Поверхность

 

Поверхность - это множество всех последовательных положений движущейся линии. Такая движущаяся линия называется образующей поверхности. Образующая может быть как прямой, так и кривой линией.

Закон перемещения образующей обычно определяется другой линией, называемой направляющей, а также характером движения образующей.

Образующая, направляющая и характер движения образующей по направляющей - определитель поверхности, поскольку задать их - значит тем самым определить поверхность.

Поверхности могут быть:

- линейчатые (образующая — прямая);

- нелинейчатые (криволинейная образующая);

- развертывающиеся (после их разреза по образующей могут быть односторонне совмещены с плоскостью без разрывов и складок);

- неразвёртывающиеся (если невозможно осуществить процедуру, описанную в предыдущем пункте).

Особый вид поверхностей - поверхности:

- гранные;

- вращения.

Гранные поверхности образовываются при движении прямолинейной образующей по ломанной направляющей.

Поверхности вращения образованы вращением линии (образующей) вокруг некоторой прямой (оси вращения).

Из гранных поверхностей выделим поверхности пирамидальную и призматическую (рис. 10).

 

 

 

Из числа гранных поверхностей выделяют группу многогранников.

Многогранник - замкнутая поверхность, образованная некоторым количеством граней.

Важнейшими многогранниками являются пирамида и призма.

Пирамида - многогранник, у которого одна грань (основание) представляет собой произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые) - тре­угольники с общей точкой S, называемой вершиной. Если в основании пира­миды треугольник, пирамида называется треугольной, если в основании пирамиды четырёхугольник - четырёхугольной и т.д.

Призма - многогранник, у которого две грани (основания) - одинаковы и взаимно параллельные многоугольники, а боковые грани – параллелограммы. Если рёбра призмы перпендикулярны плоскостям основания, призма называется прямой, если не перпендикулярны - наклонной.

Правильные многогранники - имеют одинаковые грани в виде правильных многоугольников. Их особенностью является то, что каждый из них вписывается в сферу. Если все грани многогранника — правильные и равные тре­угольники, имеем дело с тетраэдром (правильный четырёхгранник); если все грани - правильные четырёхугольники (квадраты), имеем дело с гексаэдром или кубом (правильный шестигранник). Правильный восьмигранник — октаэдр; двенадцатигранник - додекаэдр и т.д.

В общем виде поверхность вращения с важнейшими принадлежащими ей линиями имеет вид, изображённый на рис.11. Здесь же представлен и двухпроекционный комплексный чертёж её (определитель поверхности).

 

Изображения важнейших поверхностей вращения на двухпроекционном комплексном чертежепоказаны на рис. 12.

 

 

В заключение отметим, что из всех поверхностей вырожденную в своё основание проекцию (главную проекцию!) могут иметь только прямая призма и прямой цилиндр (см. рис. 13)

 

Плоскость

Плоскость можно рассматривать как частный случай поверхности, когда и образующая и направляющая - прямые линии.

Вообще же задать плоскость можно (рис. 14):

- тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис.14а)

- прямой и не лежащей на ней точкой (рис. 14б);

- двумя параллельными прямыми (рис. 14с);

- двумя пересекающимися прямыми (рис.14д);

- плоской фигурой (рис.14е);

- следами плоскости.

 

След плоскости - прямая, по которой заданная плоскость пересекается с какой-либо плоскостью проекций.)

От одного способа задания плоскости легко перейти к любому другому.

Задание плоскости следами равносильно заданию её двумя пересекающимися прямыми: фронталью и горизонталью (в этом случае фронтальная проекция фронтали и горизонтальная проекция горизонтали совпадают с осью X).

Как и в случае прямых, различают плоскости общего и частного положения. Плоскость общего положения не параллельна и не перпендикулярна одной из плоскостей проекций, а плоскости частного положения бывают плоскостями уровня и проецирующими плоскостями. Плоскости уровня - параллельны какой-либо из плоскостей проекций, а проецирующие плоскости перпендикулярны какой-либо из плоскостей проекций.

Называют проецирующие плоскости, как и прямые:

- фронтально-проецирующая плоскость;

- горизонтально-проецирующая плоскость;

- профильно-проецирующая плоскость.
Для задания плоскости достаточно изобразить на комплексном чертеже элементы, которые перечислены выше, поэтому изображение плоскостей каким-либо из вышеперечисленных способов не вызывает затруднений.

 

Заметим, что любая плоскость уровня - дважды проецирующая плоскость. Например, плоскость горизонтального уровня одновременно является плоскостью и фронтально-проецирующей, и профильно-проецирующей. Поэтому любая плоскость частного положения - плоскость проецирующая.

Важнейшими линиями плоскостей являются их линии уровня. Горизонталями плоскости называют прямые, ей принадлежащие и параллельные горизонтальной плоскости проекций.

Фронталями плоскости называют прямые, ей принадлежащие и параллельные фронтальной плоскости проекций.

Для их построения необходимо использовать тот факт, что положение прямой определяется положением двух её точек. Если в качестве таких точек использовать обязательно принадлежащие плоскости точки, а также вспомнить, что фронтальная проекция горизонтали и горизонтальная проекция фронтали параллельна оси проекций X, эти прямые плоскости легко построить (рис. 15).

Примеры проецирующих плоскостей приведены на рис.16.

 

 

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ