Решение типовых задач к теме 1.8.: Статистическое изучение динамики.

Задача №1.

По данным о вводе в действие жилых домов (таблица 1) необходимо рассчитать

1, Цепные, базисные и средние:

а) абсолютные приросты;

б) темпы роста;

в) темпы прироста;

2. Абсолютное значение 1

% прироста.

Таблица 1. Ввод в действие жилых домов, млн. кв.м.

Текущий
номер
Года t
Общая	7,0	6,5	5,9	5,5	4,9
площадь
млн.кв.м

Решение:

Представим расчет цепных и базисных абсолютных приростов, темпов роста, темпов прироста в таблице 2

 

 

t	yt млн.кв. м.	Абсолютный прирост,млн. кв.м.
Цепной	Базисный
	7,0	-	-
	6,5	6,5-7,0=-0,5	6,5-7,0= -0,5
	5,9	5,9-6,5=-0,6	5,9-7,0= -1,1
	5,5	5,5-5,9= -0,4	5,5-7,0=-1,5
	4,9	4,9-5,5=-0,9	4,9-7,0=-2,1

 

 

 

t	Yt,МЛН.КВ .м	Темп роста, %
Цепной Трц -100	Базисный Tpб — 100
	7,0	-	-
	6,5	(6,5:7,0)100=92,86	(6,5:7,0)100=92,86
	5,9	(5,9:6,5)100=90,77	(5,9:7,0)100=84,29
	5.5	(5,5:5,9)100=93,22	(5,5:7,0)100=78,57
	4,9	(4,9:5,5)100=89,09	(4,9:7,0)100=70,00

 

t	Yt млн.кв.м.	Темп прироста,%	Абсолютное значение 1% прироста
Цепной	Базисный	Yn-1:100млн.кв.м.
	7,0	-	-	-
	6,5	92,86-100=-7,14	92,86-100=-7,14	0,070
3	5,9	90,77-100=-9,23	84,29-100=-15,71	0,065
	5,5	93,22-100=-6,78	78,57-100=-21,43	0,059
	4,9	89,09-100=-10,91	70,00-100=-30,00	0,055

 

Для получения обобщающих показателей динамики развития определим средние характеристики % средний абсолютный прирост, средний темп роста и средний темп прироста.

Средний абсолютный прирост равен:

то есть, в среднем ежегодно общая площадь вводимого жилья уменьшалась на 0,525 млн. кв. м. Определим средний темп роста:

то есть, в среднем ежегодно строительство жилья составляло 91,47 % уровня базисного года.

Средний темп пророста
то есть в среднем ежегодно строительство жилья снижалось на 8,53 %.

Задача №2.

Имеются следующие данные о поголовье крупного рогатого скота на 1 января:

Годы 1-ый 2-ой 3-ий 4-ый

Млн. голов 60,4 61,0 60,3 69,2

Решение:

так как это моментный ряд с равным интервалом (1 год), то средний уровень ряда определяется по средней хронологической:

Задача №3.

Имеются данные об уровне запасов картофеля на начало года:
Годы 1-ый 5-ый 6-ой

Млн. т. 2103 2170 1584

Решение:

так как это моментный ряд с неравным интервалом, то среднегодовой уровень определяется по формуле средней скользящей взвешенной:

Задача №4.

Численность работников организации с 1 января до 9 января была 180 человек, 9 января были приняты 7 человек, 15 января уволены 2 человека, 25 января были приняты 5 и уволены 10. До конца месяца изменений не было. Определите среднюю списочную численность работников организаций в январе.

Решение:

так как это интегральный рад с неравным интервалом, то средний уровень ряда определяем по средней арифметической взвешенной:

Решение типовых задач к вопросу: Статистические методы прогнозирования рядов динамики.

Задача №1

Проверка гипотезы на существование тренда.

В таблице 1. представлены годовые данные об урожайности зерновых культур.

Таблица 1 Урожайность зерновых культур п/га

t	1			4	5	6		8	9	10
yt	6.7	7,3	7.6	7,9	7,4	8,6	7,8	7,7	7,9	8,2	А
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
9,1	8,3	8,7	8,9	9,1	9,5	10,4	10,5	10,2	9.3

Определить: существует ли тенденция в исследуемом процессе.

Решение:

Процесс формирования серий показан в таблице 2. Во второй строке этой таблицы в соответствии указан «+», если последующее значение уровня ряда больше предыдущего,

«-», если - меньше.

Таблица 2 Формирование серий

 

i		2	3	4		6,		8	9	10
	+	+	+	-	+	-	-	+	+	+
		13	14	15	16	17	18		20
+	-	+	+	+	+	+	+	-	-

 

Анализ полученной последовательности знаков позволил число серий v(21)=8 протяженность самой длинной серии (21) = 6

Табличное значение (см.табл.1.8.2.) (21) = 6

Делаем проверку. Для этого сначала определим значение для правой части первого неравенства:

Тогда проверка выполнения условий показывает, что оба неравенства не выполняются. Следовательно, нулевая гипотеза отвергается, динамика временного ряда характеризуется наличием систематической составляющей - в изменении урожайности присутствует динамика.

Задача № 2.

Методы сглаживания временных рядов.

По данным об урожайности (табл. 1) за 16 лет рассчитайте: трех-, семилетние скользящие средние и графически сравните результаты; пятилетнюю взвешенную скользящую среднюю.

Таблица1. Урожайность пшеницы, ц/га

t
yt	10,3	14,3	7,7	15,8	14,4	16,7	15,3	20,2
t
yt	17,1	7,7	15,3	16,3	19,9	14,4	18,7	20,7

 

Решение:

1. Результаты расчетов представлены в табл.2.

Таблица 2. Расчет скользящих средних

t	yt	i=3	i=7	i=5
	10,3	-	-	-
	14,3	10,8	-	-
	7,7	12,6	-	11,9
	15,8	12,6	13,5	12,6
	14,4	15,6	14,9	16,2
	16,7	15,5	15,3	15,2
	15,3	17,4	15,3	17,4
	20,2	17,5	15,2	18,8
	17,1	15,0	15,5	15,2
	7,7	13,4	16,0	11,7
	15,3	13,1	15,8	12,5
	16,3	17,2	15,6	18,1
	19,9	16,9	16,1	17,3
	14,4	17,7	-	17,3
	18,7	17,9	-	-
	20,7	-	-	-

 

 

При трехлетней скользящей средней (i=3)

и т.д.

При семилетней скользящей средней (i=7)

и т.д.

2. Для вычисления значений пятилетней взвешенной скользящей средней воспользуемся таблицей 1. Тогда

И т.д.

Задача № 3,

Пусть сглаживание осуществляется по пятичленной скользящей средней (I=5), причем аппроксимация осуществляется квадратичным полиномом (m=2). Требуется определить весовые коэффициенты для восстановления двух последних уровней рада.

Решение:

Осуществим перенос начала координат в середину активного участка:

t=-2;-1;0;+1;+2;

После этого система нормальных уравнений примет вид:

(1.8.53)

Из первого и третьего уравнений определим выражение для коэффициента a₀:

или в символической записи

Выразим теперь остальные неизвестные параметры из системы уравнений (1.8.54):

Полученные выражения для коэффициентов a₀,a₁,a₂, подставим в уравнение сглаживающего квадратического полинома:

Последовательно подставляя в это выражение t=1;2, получим весовые коэффициенты для восстановления последних уровней ряда:

- при t=l (восстановление предпоследнего уровня ряда)

-при t=2(восстановление последнего уровня ряда)

Если последними пятью уровнями ряда были 0; 1; 4; 9; 16, то восстановление двух последних значений осуществлялось бы следующим образом:

- при t=1

-при t=2

 

 

Задача №4

Методы аналитического выравнивания и прогнозирования временных радов.

Необходимо выравнить рад динамики с помощью уравнения линейного тренда y=a₀+a₁

t	yt	t^2	yt
	387,6		387,6	403,5
	399,9		799,8	396,9
	404,4		1212,0	390,2
	383,1		1532,4	383,6
	376,9		1884,5	376,9
	377,7		2266,2	370,3
	358,1		2506,7	363,7
	371,9		2975,2	357,1
	337,4		3000,6	350,4
Итого	3392,6		16565,0	3392,6

 

Решение:

Параметры a0 и a1 находим по формулам:

n=9

Подставляя в уравнение yt=410,12-6,63t вместо t числовые значения текущих лет (дней, месяцев) - 1,2,3,...n получим выравненные значения yt то есть t (графа 5 таблицы1).

 

Задача №5.

Методы аналитического выравнивания и прогнозирования временного ряда.

В таблице 1. представлен ряд динамики условного экономического показателя (у) за девять лет (t).

t
y	387,6	399,9	404,0	383,1	376,9	377,7	358,1	371,9	333,4

Рассчитать доверительный интервал прогноза по уровню тренда.

Решение:

По данным таблицы 1. построим уравнение линейного тренда.

y=a₀+a₁

Расчет параметров a₀,a₁ производится по методу наименьших квадратов, для чего строится система нормальных уравнений:

отсюда,

В результате получим линейное уравнение у = 410,12 — 6,63 t

,R² =0,716

Последовательно подставляя в полученное уравнение вместо t его численные значения 1-год, 2-год,3-год и т.д. получим расчетные значения _t .

t	yt	t	(yt- t )	(yt- t )^2
	387,6	403,5	-15,9	252,81
	399,9	396,9	3,0	9,0
	404,0	390,2		190,44
	383,1	383,6	-0,5	0,25
	376,9	_376,9
	377.7	370,3	7,4	154,76
	358,1	363,7	-5,6	31,36
	371,9	537,1	14,8	219,04
	333,4	350,4	-17,0	289,4
0 1046,66

 

Колеблемость уровней динамического ряда относительно тренда определяется по формуле

Тогда доверительный интервал для тренда составит:

_t ±t_aS

где t_a- табличное значение критерия Стьюдента.

При a=0,05 и числе степеней свободы равном 7,для нашего примера, t_a = 2,365 и доверительный интервал для тренда равен

±10,78 • 2,365 или _t = ±25,5

Если распространить этот интервал прогноза на следующий 10-й год (t=10), то он составит =10 ±25,5или при ₌₁₀ =343,8 прогнозная величина находится в интервале

343,4-25,5≤y_t=10≤343,8+25,5

318,3≤y_t=10≤369,3

 

Задаче № 6.

Методы изучения сезонных колебаний.

В таблице 1 представлены условные данные о ежемесячном выпуске продукция за три года. Необходимо рассчитать индекс сезонности.

Таблица 1.

Производство условного продукта по месяцам в расчет индексов.

месяц	1-й год	2-й год	3-й год	В среднем за месяц i	Is%
	10,2	9,7	11,8	10,6	57,6
	15,2	16,1	14,4	15,2	82,5
	17,3	14,8	15,6	15,9	86,3
	19,4	22,7	16,5	19,5	105,9
	21,2	25,4	29,1	25,2	136,8
	26,1	28,2	25,2	26,5	143,9
	28,3	25,8	23,5	25,6	140,6
	21,4	23,3	23,6	22,8	123,8
	22,1	20,7	18,2	20,3	110,2
	14,6	15,2	16,3	15,4	83,6
	9,5	8,6	13,3	10,5	157,0
	12,4	12,9	14,6	13,3	72,2
Итого	217,7	223,4	221,1	221,1	1200,4
В среднем	18,14	18,61	18,51	=18,42

 

Решение:

Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня. В нашем примере за три года ( ). Затем вычисляется среднемесячный уровень для всего ряда . После чего определяется показатель сезонной волны - индекс сезонности I_s как процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню, %.

где - средний уровень для каждого месяца (за три года); - среднемесячный уровень для всего ряда.

Средний индекс сезонности для 12 месяцев должен быть равен 100%, тогда сумма индексов должна составлять 1200. В нашем примере это отношение равно 1200,4 (небольшая погрешность — следствие округления).

Задача № 7.

Упрощенные приемы прогнозирования. Прибыть за год характеризуется данными, приведенными в таблице 1.

	, прибыль, тыс.руб.	^2
1-е полугодие	63,5	0,92
2-е полугодие	64,5	0,86

 

Оценим существенность различий в дисперсиях: F=0,92/0,86=1,07 при табличном значении 5,05 (для а =0,05 и при числе степеней свободы 5 и 5). Дисперсии можно признать равными. Тогда оценим существенность расхождения в среднемесячных уровнях прибыли за каждое полугодие по t-критерию Стьюдента:

Произведя дальнейшие вычисления, находим, что t= 1,84. Это меньше

i _т= 2,23. Следовательно, с вероятностью 0,95 можно признать, что тенденции в ряду динамики нет.

Прогноз по стационарному ряду основан на предположении о неизменности в будущем среднего уровня динамического ряда, т.е.

y_p=

 

где y_p - прогнозное значение. Так как средний уровень

динамического ряда имеет погрешность как выборочная средняя и, кроме того, отдельные уровни ряда колеблются вокруг среднего значения, принято прогноз давать в интервале:

где — среднее значение по динамическому ряду:

-среднее квадратическое отклонение по динамическому ряду;

n- длина динамического ряда. - табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости а числе степеней свободы (n-1). Для нашего примера:

=1/2(63,5+64,5)=64,0

где - межгрупповая дисперсия; - внутригрупповая

дисперсия.

и

t_a=0,05,_n-1=11=2,201

Тогда ошибка прогноза составит:

2,201

Соответственно прогноз прибыли на январь следующего года окажется таким:

61

 

Задача № 8.

Метод экспоненциального сглаживания.

Рассчитайте экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы IBM (таблица 1).

В качестве начального значения экспоненциальной средней возьмите среднее значение из пяти первых уровней ряда. Расчеты проведите для двух различных значений параметров адаптации а:

а) а=0,1; б) а=0,5.

Курс акций фирмы IBM долл. США Таблица 1.

t	yt	t	yt	t	yt

 

Решение:

1. Определим

 

Найдем значения экспоненциальной средней при а=0,1

a=0,1 по условию

И т.д.

Результаты расчетов представлены в табл.2. Проведем аналогичные расчеты для а=0,5.

Результаты расчетов также представлены в таблице 2.

Экспоненциальные средние Таблица2.

t	а=0,1	а=0,5	t	а=0,1	а=0,5
	506,4	508,0		505,7	513,3
	505,5	502,5		506,1	511,7
	505,3	503,2		506,1	5О8,8
	505,8	506,6		507,0	511,9
	506,1	507,8		508,5	517,0
	505,8	505,4		509,9	520,0
	505,2	502,7		511,6	523,5
	504,7	501,4		512,8	523,2
	504,2	500,7		514,3	525,6
	503,3	497,8		515,8	527,3
	502,4	495,9		518,0	523,7
	502,0	497,5		520,1	525,8
	502,0	499,7		522,2	538,4
	502,7	504,4		524,3	540,7
	505,0	514,7		525,9	540,9

При а=0,1 экспоненциальная средам носит более гладкий характер,так как в этом случае в случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.

Задача №9.

Метод гармонических весов.

В таблице 1 дан ряд динамики производства продукции за 9 лет.

Таблица 1

1-год	2- год	3-год	4-год	5-год	6-год	7-год	8-год	9-год
10,0	11,1	12,1	12,5	13,7	13,9	19,6	15,9	19,0

Решение:

Предварительно ряд динамики был проверен на выполняемость предпосылок, на которых базируется метод. Далее находим параметры уравнений отдельных фаз движения скользящего тренда. В нашем примере к=3, тогда находим: (9-3+1)=7 уравнений:

С помощью полученных уравнений определяем значение скользящего тренда.

При t=1 имеем одно значение которое получаем из

уравнения

При t=2 имеем два значения , которые получаем из уравнений:

Отсюда

Аналогично находим все значения:

12,68

Затем были рассчитаны приросты по формуле (7. 27)

и гармонические веса по формуле (7.31)

Гармонические коэффициенты получим по формуле (7.32):

С₂ = 0,0156

С₃ = 0,0335

С₄ = 0,0543

С₅ = 0,0793

С₆ =0,1106

С₇= 0,1522

С₈= 0,2147

С₉ = 0,3397

Все эти коэффициенты удовлетворяют условиям 7.29, Используя формулу 7.28. находим средний абсолютный

прирост ( = 1,51) и рассчитаем прогнозные значения производства продукции по формуле 7.33.

y₁₀=20,51 y₁₁=22,02

y₁₂= 23,53