Решение типовых задач к теме 1.8.: Статистическое изучение динамики.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Решение типовых задач к теме 1.8.: Статистическое изучение динамики.



Задача №1.

По данным о вводе в действие жилых домов (таблица 1) необходимо рассчитать

1, Цепные, базисные и средние:

а) абсолютные приросты;

б) темпы роста;

в) темпы прироста;

2. Абсолютное значение 1

% прироста.

Таблица 1. Ввод в действие жилых домов, млн. кв.м.

Текущий
номер          
Года t      
Общая 7,0 6,5 5,9 5,5 4,9
площадь          
млн.кв.м          
             

Решение:

Представим расчет цепных и базисных абсолютных приростов, темпов роста, темпов прироста в таблице 2

 

 

t yt млн.кв. м. Абсолютный прирост ,млн. кв.м.
Цепной Базисный
7,0 - -
6,5 6,5-7,0=-0,5 6,5-7,0= -0,5
5,9 5,9-6,5=-0,6 5,9-7,0= -1,1
5,5 5,5-5,9= -0,4 5,5-7,0=-1,5
4,9 4,9-5,5=-0,9 4,9-7,0=-2,1

 

 

 

  t Yt ,МЛН.КВ .м Темп роста, %
Цепной Трц -100 Базисный Tpб —100
7,0 - -
6,5 (6,5:7,0)100=92,86 (6,5:7,0)100=92,86
5,9 (5,9:6,5)100=90,77 (5,9:7,0)100=84,29
5.5 (5,5:5,9)100=93,22 (5,5:7,0)100=78,57
4,9 (4,9:5,5)100=89,09 (4,9:7,0)100=70,00

 

  t     Yt млн.кв.м.     Темп прироста,%     Абсолютное значение 1% прироста  
Цепной Базисный Yn-1:100млн.кв.м.
7,0 - - -
6,5 92,86-100=-7,14 92,86-100=-7,14 0,070
3 5,9 90,77-100=-9,23 84,29-100=-15,71 0,065
5,5 93,22-100=-6,78 78,57-100=-21,43 0,059
4,9 89,09-100=-10,91 70,00-100=-30,00 0,055

 

Для получения обобщающих показателей динамики развития определим средние характеристики % средний абсолютный прирост, средний темп роста и средний темп прироста.

Средний абсолютный прирост равен:

то есть, в среднем ежегодно общая площадь вводимого жилья уменьшалась на 0,525 млн. кв. м. Определим средний темп роста:

то есть, в среднем ежегодно строительство жилья составляло 91,47 % уровня базисного года.

Средний темп пророста
то есть в среднем ежегодно строительство жилья снижалось на 8,53 %.

Задача №2.

Имеются следующие данные о поголовье крупного рогатого скота на 1 января:

Годы 1-ый 2-ой 3-ий 4-ый

Млн. голов 60,4 61,0 60,3 69,2

Решение:

так как это моментный ряд с равным интервалом (1 год), то средний уровень ряда определяется по средней хронологической:

Задача №3.

Имеются данные об уровне запасов картофеля на начало года:
Годы 1-ый 5-ый 6-ой

Млн. т. 2103 2170 1584

Решение:

так как это моментный ряд с неравным интервалом, то среднегодовой уровень определяется по формуле средней скользящей взвешенной:

Задача №4.

Численность работников организации с 1 января до 9 января была 180 человек, 9 января были приняты 7 человек, 15 января уволены 2 человека, 25 января были приняты 5 и уволены 10. До конца месяца изменений не было. Определите среднюю списочную численность работников организаций в январе.

Решение:

так как это интегральный рад с неравным интервалом, то средний уровень ряда определяем по средней арифметической взвешенной:

Решение типовых задач к вопросу: Статистические методы прогнозирования рядов динамики.

Задача №1

Проверка гипотезы на существование тренда.

В таблице 1. представлены годовые данные об урожайности зерновых культур.

Таблица 1 Урожайность зерновых культур п/га

t 1 4 5 6 8 9 10
yt 6.7 7,3 7.6 7,9 7,4 8,6 7,8 7,7 7,9 8,2 А
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
9,1 8,3 8,7 8,9 9,1 9,5 10,4 10,5 10,2 9.3
                         

Определить: существует ли тенденция в исследуемом процессе.

Решение:

Процесс формирования серий показан в таблице 2. Во второй строке этой таблицы в соответствии указан «+», если последующее значение уровня ряда больше предыдущего,

« -» , если - меньше.

Таблица 2 Формирование серий

 

i 2 3 4 6 , 8 9 10
+ + + - + - - + + +
13 14 15 16 17 18 20  
+ - + + + + + + - -

 

Анализ полученной последовательности знаков позволил число серий v(21 )=8 протяженность самой длинной серии (21) = 6

Табличное значение (см.табл.1.8.2.) (21) = 6

Делаем проверку. Для этого сначала определим значение для правой части первого неравенства:

Тогда проверка выполнения условий показывает, что оба неравенства не выполняются. Следовательно, нулевая гипотеза отвергается, динамика временного ряда характеризуется наличием систематической составляющей - в изменении урожайности присутствует динамика.

Задача № 2.

Методы сглаживания временных рядов.

По данным об урожайности (табл. 1) за 16 лет рассчитайте: трех-, семилетние скользящие средние и графически сравните результаты; пятилетнюю взвешенную скользящую среднюю.

Таблица1. Урожайность пшеницы, ц/га

t
yt 10,3 14,3 7,7 15,8 14,4 16,7 15,3 20,2
t
yt 17,1 7,7 15,3 16,3 19,9 14,4 18,7 20,7

 

Решение:

1. Результаты расчетов представлены в табл.2.

Таблица 2. Расчет скользящих средних

t yt i=3 i=7 i=5
10,3 - - -
14,3 10,8 - -
7,7 12,6 - 11,9
15,8 12,6 13,5 12,6
14,4 15,6 14,9 16,2
16,7 15,5 15,3 15,2
15,3 17,4 15,3 17,4
20,2 17,5 15,2 18,8
17,1 15,0 15,5 15,2
7,7 13,4 16,0 11,7
15,3 13,1 15,8 12,5
16,3 17,2 15,6 18,1
19,9 16,9 16,1 17,3
14,4 17,7 - 17,3
18,7 17,9 - -
20,7 - - -
             

 

 

При трехлетней скользящей средней (i=3)

и т.д.

При семилетней скользящей средней (i=7)

и т.д.

2. Для вычисления значений пятилетней взвешенной скользящей средней воспользуемся таблицей 1. Тогда

И т.д.

Задача № 3,

Пусть сглаживание осуществляется по пятичленной скользящей средней (I=5), причем аппроксимация осуществляется квадратичным полиномом (m=2). Требуется определить весовые коэффициенты для восстановления двух последних уровней рада.

Решение:

Осуществим перенос начала координат в середину активного участка:

t=-2;-1;0;+1;+2;

После этого система нормальных уравнений примет вид:

(1.8.53)

Из первого и третьего уравнений определим выражение для коэффициента a0:

или в символической записи

Выразим теперь остальные неизвестные параметры из системы уравнений (1.8.54):

Полученные выражения для коэффициентов a0,a1,a2, подставим в уравнение сглаживающего квадратического полинома:

Последовательно подставляя в это выражение t=1;2, получим весовые коэффициенты для восстановления последних уровней ряда:

- при t=l (восстановление предпоследнего уровня ряда)

-при t=2( восстановление последнего уровня ряда)

Если последними пятью уровнями ряда были 0; 1; 4; 9; 16, то восстановление двух последних значений осуществлялось бы следующим образом:

- при t=1

-при t=2

 

 

Задача №4

Методы аналитического выравнивания и прогнозирования временных радов.

Необходимо выравнить рад динамики с помощью уравнения линейного тренда y=a0+a1

t yt t2 yt
387,6 387,6 403,5
399,9 799,8 396,9
404,4 1212,0 390,2
383,1 1532,4 383,6
376,9 1884,5 376,9
377,7 2266,2 370,3
358,1 2506,7 363,7
371,9 2975,2 357,1
337,4 3000,6 350,4
Итого 3392,6 16565,0 3392,6

 

Решение:

Параметры a0 и a1 находим по формулам:

n=9

Подставляя в уравнение yt=410,12-6,63t вместо t числовые значения текущих лет (дней, месяцев) - 1,2,3,...n получим выравненные значения yt то есть t (графа 5 таблицы1).

 

Задача №5.

Методы аналитического выравнивания и прогнозирования временного ряда.

В таблице 1. представлен ряд динамики условного экономического показателя (у) за девять лет (t).

t
y 387,6 399,9 404,0 383,1 376,9 377,7 358,1 371,9 333,4

Рассчитать доверительный интервал прогноза по уровню тренда.

Решение:

По данным таблицы 1. построим уравнение линейного тренда.

y=a0+a1

Расчет параметров a0,a1 производится по методу наименьших квадратов, для чего строится система нормальных уравнений:

отсюда,

В результате получим линейное уравнение у = 410,12 — 6,63 t

,R2 =0,716

Последовательно подставляя в полученное уравнение вместо t его численные значения 1-год, 2-год,3-год и т.д. получим расчетные значения t.

t yt t (yt- t) (yt- t)2
387,6 403,5 -15,9 252,81
399,9 396,9 3,0 9,0
404,0 390,2   190,44
383,1 383,6 -0,5 0,25
376,9 _376,9
377.7 370,3 7,4 154,76
358,1 363,7 -5,6 31,36
371,9 537,1 14,8 219,04
333,4 350,4 -17,0 289,4
0 1046,66

 

Колеблемость уровней динамического ряда относительно тренда определяется по формуле

Тогда доверительный интервал для тренда составит:

t±taS

где ta- табличное значение критерия Стьюдента.

При a=0,05 и числе степеней свободы равном 7 ,для нашего примера, ta = 2,365 и доверительный интервал для тренда равен

±10,78 • 2,365 или t= ±25,5

Если распространить этот интервал прогноза на следующий 10-й год (t=10), то он составит =10 ±25,5или при =10 =343,8 прогнозная величина находится в интервале

343,4-25,5≤yt=10≤343,8+25,5

318,3≤yt=10≤369,3

 

Задаче № 6.

Методы изучения сезонных колебаний.

В таблице 1 представлены условные данные о ежемесячном выпуске продукция за три года . Необходимо рассчитать индекс сезонности.

Таблица 1.

Производство условного продукта по месяцам в расчет индексов.

месяц 1-й год 2-й год 3-й год В среднем за месяц i Is%
10,2 9,7 11,8 10,6 57,6
15,2 16,1 14,4 15,2 82,5
17,3 14,8 15,6 15,9 86,3
19,4 22,7 16,5 19,5 105,9
21,2 25,4 29,1 25,2 136,8
26,1 28,2 25,2 26,5 143,9
28,3 25,8 23,5 25,6 140,6
21,4 23,3 23,6 22,8 123,8
22,1 20,7 18,2 20,3 110,2
14,6 15,2 16,3 15,4 83,6
9,5 8,6 13,3 10,5 157,0
12,4 12,9 14,6 13,3 72,2
Итого 217,7 223,4 221,1 221,1 1200,4
В среднем 18,14 18,61 18,51 =18,42

 

Решение:

Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня. В нашем примере за три года ( ). Затем вычисляется среднемесячный уровень для всего ряда . После чего определяется показатель сезонной волны - индекс сезонности Is как процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню, %.

где - средний уровень для каждого месяца (за три года); - среднемесячный уровень для всего ряда.

Средний индекс сезонности для 12 месяцев должен быть равен 100%, тогда сумма индексов должна составлять 1200. В нашем примере это отношение равно 1200,4 (небольшая погрешность — следствие округления).

Задача № 7.

Упрощенные приемы прогнозирования. Прибыть за год характеризуется данными , приведенными в таблице 1.

  , прибыль, тыс.руб. 2
1-е полугодие 63,5 0,92
2-е полугодие 64,5 0,86

 

Оценим существенность различий в дисперсиях: F=0,92/0,86=1,07 при табличном значении 5,05 (для а =0,05 и при числе степеней свободы 5 и 5). Дисперсии можно признать равными. Тогда оценим существенность расхождения в среднемесячных уровнях прибыли за каждое полугодие по t-критерию Стьюдента:

Произведя дальнейшие вычисления, находим, что t= 1,84 . Это меньше

iт=2,23. Следовательно, с вероятностью 0,95 можно признать, что тенденции в ряду динамики нет.

Прогноз по стационарному ряду основан на предположении о неизменности в будущем среднего уровня динамического ряда, т.е.

yp=

 

где yp - прогнозное значение. Так как средний уровень

динамического ряда имеет погрешность как выборочная средняя и, кроме того, отдельные уровни ряда колеблются вокруг среднего значения, принято прогноз давать в интервале:

где — среднее значение по динамическому ряду:

-среднее квадратическое отклонение по динамическому ряду;

n- длина динамического ряда. - табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости а числе степеней свободы (n-1). Для нашего примера:

=1/2(63,5+64,5)=64,0

где - межгрупповая дисперсия; - внутригрупповая

дисперсия.

и

ta=0,05,n-1=11=2,201

Тогда ошибка прогноза составит:

2,201

Соответственно прогноз прибыли на январь следующего года окажется таким:

61

 

Задача № 8.

Метод экспоненциального сглаживания.

Рассчитайте экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы IBM (таблица 1).

В качестве начального значения экспоненциальной средней возьмите среднее значение из пяти первых уровней ряда. Расчеты проведите для двух различных значений параметров адаптации а:

а) а=0,1 ; б) а=0,5.

Курс акций фирмы IBM долл. США Таблица 1.

t yt t yt t yt

 

Решение:

1. Определим

 

Найдем значения экспоненциальной средней при а=0,1

a=0,1 по условию

И т.д.

Результаты расчетов представлены в табл.2. Проведем аналогичные расчеты для а=0,5.

Результаты расчетов также представлены в таблице 2.

Экспоненциальные средние Таблица2.

  t а=0,1 а=0,5 t а=0,1 а=0,5
506,4 508,0 505,7 513,3
505,5 502,5 506,1 511,7
505,3 503,2 506,1 5О8,8
505,8 506,6 507,0 511,9
506,1 507,8 508,5 517,0
505,8 505,4 509,9 520,0
505,2 502,7 511,6 523,5
504,7 501,4 512,8 523,2
504,2 500,7 514,3 525,6
503,3 497,8 515,8 527,3
502,4 495,9 518,0 523,7
502,0 497,5 520,1 525,8
502,0 499,7 522,2 538,4
502,7 504,4 524,3 540,7
505,0 514,7 525,9 540,9

При а=0,1 экспоненциальная средам носит более гладкий характер ,так как в этом случае в случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.

Задача №9.

Метод гармонических весов.

В таблице 1 дан ряд динамики производства продукции за 9 лет.

Таблица 1

1-год 2- год 3-год 4-год 5-год 6-год 7-год 8-год 9-год
10,0 11,1 12,1 12,5 13,7 13,9 19,6 15,9 19,0

Решение:

Предварительно ряд динамики был проверен на выполняемость предпосылок, на которых базируется метод. Далее находим параметры уравнений отдельных фаз движения скользящего тренда. В нашем примере к=3 , тогда находим : (9-3+1)=7 уравнений:

С помощью полученных уравнений определяем значение скользящего тренда.

При t=1 имеем одно значение которое получаем из

уравнения

При t=2 имеем два значения , которые получаем из уравнений:

Отсюда

Аналогично находим все значения:

12,68

Затем были рассчитаны приросты по формуле (7. 27 )

и гармонические веса по формуле (7.31)

Гармонические коэффициенты получим по формуле (7.32):

С2 = 0,0156

С3 = 0,0335

С4 = 0,0543

С5 = 0,0793

С6 =0,1106

С7= 0,1522

С8= 0,2147

С9 = 0,3397

Все эти коэффициенты удовлетворяют условиям 7.29, Используя формулу 7.28. находим средний абсолютный

прирост ( = 1,51) и рассчитаем прогнозные значения производства продукции по формуле 7.33.

y10=20,51 y11=22,02

y12= 23,53



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-20; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.124.56 (0.035 с.)