Средняя квадратическая взвешенная

= ; (1.5.14.)

где f - веса.

Формулы для расчета средней кубической аналогичны:

простая

= ; (1.5.15.)

Взвешенная

= . (1.5.16.)

Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов х, и из их отклонений от средней (х - 1с) при расчете показателей вариации.

Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже средних индивидуальных).

Особым видом средних величин являются структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.

Мода (Мо) – значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью, в дискретном вариационном ряду это вариант, имеющий наибольшую частоту.

В интервальных рядах распределения мода вычисляется по формуле:

= + ; (1.5.17.)

где Х_мо — нижняя граница модального интервала;

i_мо — модальный интервал;

f_мо, f_мо+1, f_мо-1 — частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах (соответственно).

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

Мода широко используется в статистической практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т.п.

Медиана (Me) — это вариант, который находится в середине вариационного ряда.

Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части — со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.

В случае четного объема рада медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине рада.

− .

В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по численности части) оказывается в каком-то из интервалов признака х. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется линейной интерполяцией по формуле:

Me = X_ме + i_ме × (∑f/2 – S_ме-1) / f_ме (1.5.18.)

где X_ме – нижняя граница медианного интервала;

i_ме – медианный интервал;

∑f/2 – половина от общего числа наблюдений;

S_ме-1 – сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;

f_ме – число наблюдений в медианном интервале.

Формула (5.3.14) получена исходя из допущения о равномерности нарастания накоплений частоты внутри интервала и пригодна для любого интервального ряда.

Медиана находит практическое применение в маркетинговой деятельности вследствие особого свойства — сумма абсолютных отклонений чисел ряда от медианы есть величина наименьшая:

∑(x – Me) min.

Мода и медиана в отличие от степенных средних являются конкретными характеристиками, их значение имеет какой-либо конкретный вариант в вариационном ряду.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного рада. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрню ряда распределения.

Мода и медиана, как правило, являются дополнительными характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы радов распределения.

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части – квартели, на пять равных частей – квинтели, на десять частей – децели, на сто частей – перцентели.

Использование в анализе вариационных рядов распределения, рассмотренных выше характеристик, позволяет более глубоко и детально охарактеризовать изучаемую совокупность.