Решение типовых задач к теме 1.7.: Методы изучения взаимосвязи социально-экономических явлений.

Задача №1.

Экспертами оценивались вкусовые качества вин.

Суммарные оценки получены следующие.

Марка вина	Оценка в баллах	Цена в условных единицах:
		1,57
		1,60
		2.00
		2,10
		1,70
		1,85
		1,80
		1,15
		2,30
		2,40

 

Согласуется ли оценка вина с его ценой? Проверим эту гипотезу методом ранговой корреляции Спирмена и коэффициентом Фехнера.

Решение:

Оценку тесноты связи с помощью коэффициента Спирмена и Фехнера рассчитываем в табличной форме

Марка вина	Цена (x)	Оценка (y)	Квадрат разности рангов d^2=(Rx-Ry)^2	Знак отклонения от средней арифметической
Усл. ед	Ранг Rx	Баллы	Ранг Ry	x-	y-
1	2	3	4	5	6	7	8
1	1,57	2	11	2	0	-	-
2	1,60	3	14	5	4	-	-
3	2,00	7	17	7	0	+	+
	2,10	8	16	6	4	+	+-
	1,70	4	12	3	1	-	-
	1,85	6	13	4	9	+	-
	1,80	5	18	8	9	-	+
	1,15	1	10	1	0	-	-
	2,30	9	19	9	0	+	+
	2,40	10	25	10	0	+	+
Итого	18,17	x	155	x	27	x	X

 

Коэффициент Спирмена

Следовательно, связь прямая и тесная.

Для определения коэффициента Фехнера рассчитаем среднее значение цены

и среднее значение оценки

Тогда количество совпадений знаков отклонений

x- и y- будет равно 8, а несовпадений 2, Отсюда Коэффициент Фехнера

 

Следовательно, связь прямая и существенная.

Задача №2.

На основании следующих условных данных необходимо исследовать связь между успеваемостью студентов - заочников одного из вузов и их работой по специальности с помощью коэффициентов ассоциации и контингенции.

 

Студенты-заочники	число	в том числе
студентов	получивших положительные оценки	получивших неудовлетворительные оценки
Работающие по специальности	а+с	а	20 с
Работающие не по специальности	200 b+d	140 b	d
Итого	a+c+b+d	320 a+b	c+d

Решение:

Коэффициент ассоциации

Связь подтверждается т.к. К_a≥0,5 Коэффициент контингенции

Связь подтверждается т.к. К_k=0,3

Задача № 3.

С помощью коэффициентов взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова необходимо исследовать связь между себестоимостью продукции производительностью труда на основании нижеследующих данных:

Себестоимость	Производительность труда	Итого
Высокая	Средняя	Низкая
Низкая
Средняя
Высокая
Итого

 

Решение:

Коэффициент Пирсона:

А

Следовательно, связь средняя. Коэффициент Чупрова

Следовательно связь средняя.

Задача № 4.

По результатам экспертной оценки степени влияния факторов на уровень производительности труда факторам были присвоены следующие ранги

Фактор

Ранг экспертов (x)

Ранг после расчета коэффициента корреляции(y)

Определить с помощью коэффициента корреляции рангов Кендалла насколько точно результаты экспертной оценки предугадали действительную степень влияния факторов на уровень производительности труда.

Решение:

Коэффициент корреляции рангов Кэндапла:

т.к. S=P+Q определяем Р=81 это количество чисел, находящихся после каждого ю элементов последовательности рангов переменной у, имеющих величину ранга, превышающую ранг рассматриваемого элемента т.е.числу у=3 соответствует 12 чисел (7,6,8,4,5,13,14,9,12,11,15,10), второму значению у=2 соответствует тоже12 чисел (7,6,8,4,5,13,14,9,12,11,15,10), третьему значению у=7 соответствует 8 чисел (8,13,14,9,12,11,15,10)и так далее. Отсюда P=12+12+8+8+10+7+8+7+2+1+4+1+1=81.

Далее определяем Q =24,т.е. количество чисел после каждого из членов последовательности рангов переменной у, имеющих ранг меньше, чем у рассматриваемого. Эти числа берутся со знаком минус. Так у=3 соответствует 2 числа (-2,-1), для у=2 соответствует 1 число (-1), для у=7 соответствует 4 числа (-6,-1,-4,-5) и так далее. Отсюда Q=2-1 -4-3-0-2-0-0-4-4-0-2-1-1=-24 Следовательно степень влияния отобранных факторов на производительность труда экспертами была существенной.

Задача №5.

По данным о стоимости основных производственных фондов и объеме товарной продукции определите уравнение связи и тесноту связи:

Стоимость основных производственных фондов, млн.руб.(х)	Объем товарной продукции, млн. руб. (y)	ху	X^2	y^2	¯yx
А	Б
					19.4
					25,0
					30,6
					36,2
					41,8
					47,4
					53.0
					58,6
					64,2
					69,8
					446.0

Связь предполагается линейная, уравнение прямой ¯y_x=a₀+a₁x

Решаем систему уравнений методом наименьших квадратов либо по формулам (1.7.6) и (1.7.7):

a₀=13,8 ¯y_x=13,8+5,6x

a₁=5,6

Коэффициент регрессии а₁ свидетельствует о том, что при увеличении объема основных фондов на 1млн. руб.количество товарной продукции увеличится на 5,6 млн.руб. Тесноту связи определяем по линейному коэффициенту корреляции

Следовательно, связь прямая и очень тесная.

Задача № 6.

№№ колхоза	Внесено удобрений на 1 га. ц(х)	Уро­жай­ность ц\га (У)	x^2	X^3	X^4	х	х^2у	x
	0,4		0,16	0,064	0,0256	5,8	2,24	14,98
	0,5		0,25	0,125	0,0625	8,0	4,00	17,11
	0,5		0,25	0,125	0,0625	9,5	4,75	17,11
-	-	-	-	-	-	-	-	-
	1,4		1,96	2,744	3,8416	44,8	62,72	30,02
	1,5		2,25	3,375	5,0625	45,0	67,50	30,77
итого	30.0		32,90	38,484	47,0762	791,1	899,95	750,0

Произведем выравнивание по параболе второго порядка:

Решаем систему нормальных уравнений:

30a+32,90a₁+38,484a₂=781,1

32,90a₀+38,484a₁+47,0762a₂=899,95

Решение этой системы уравнений методом наименьших квадратов или по формулам (1.7.6) и (1.7.7) дает следующие значения параметров:

a₀=5,086 a₁=27,511 a₂=-6,927 =5,086+27,511x-6,927x²

 

Задача № 7.

Для изучения тесноты связи между выпуском продукции на 1 завод и оснащенностью заводов основными фондами определите по следующим данным эмпирическое корреляционное отношение:

 

№№ п\п	Стоимость основных фондов, млн.руб(х). млн	Товарная продукция, млн.руб (У).	У^2
…	…	…	…
Итого

 

Результат группировки данных по стоимости основных фондов представлен в нижеследующей таблице

 

Группы заводов по стоимости основных фондов,млн.руб.	Число заводов	Товарная_продукция, млн._руб..
Всего	В среднем на 1 завод
7-37
37-67
67-97
97-127

В данной задаче факторный признак оснащенность основными фондами (х), А результативный - выпуск продукции на 1 завод (у).

Решение:

Корреляционное отношение определяется по формуле

где общая дисперсия признака y, , а межгрупповая дисперсия
, вычисляем по данным группировки в вышеизложенной таблице, - это выпуск товарной продукции в среднем на1 завод в каждой группе, т.е.

,
,
,

Общая средняя признака у, =2017/30=66 f_i -число предприятий в каждой группе,

заводам.

Составим расчетную таблицу:

	fi
		-53
		-14
		+15
		+75
Итого		X	X

 

Определяем межгрупповую дисперсию

Общая дисперсия определяется по исходным данным:

где

Теперь можно вычислить корреляционное отношение:

Это означает, что связь между стоимостью основных фондов и выпуском продукции тесная.