Відношення між простими висловлюваннями.

Між висловлюваннями А, Е, І, О існують певні відношення, що їх можна виразити у вигляді "логічного квадрату".

Розглянемо детальніше ці відношення.

Протилежності

А (контрарності) Е

І Підпротилежності О

(підконтрарності)

Відношення протилежності (контрарності) існують між загальностверджувальними (А) і загальнозаперечними (Е) висловлюваннями. Висловлювання, що перебувають у відношенні протилежності, не можуть бути водночас істинними, але можуть бути водночас хибними. У відношенні протилежності, наприклад, перебувають такі висловлювання, як "Всі громадяни України дотримуються законів суспільного життя" (А) і "Жодний громадянин України не дотримується законів суспільного життя" (Е).

Відношення підпротилежності (субконтрарності) існують між частковостверджувальними (І) і частковозаперечними (О) висловлюваннями. Висловлювання, що перебувають у відношенні підпротилежності, можуть бути водночас істинними, але не можуть бути водночас хибними. У такому відношенні перебувають, на приклад, висловлювання "Деякі громадяни України порушують закон" (І) і "Деякі громадяни України не порушують закон" (О).

Оскільки дані висловлювання можуть бути водночас істинними, то дане відношення між ними іноді ще називають відношенням часткової сумісності.

Відношення суперечності (контрадикторності) існують між загальностверджувальними (А) і частковозаперечними (О), а також між загальнозаперечними (Е) і частковостверджувальними (І) висловлюваннями. Висловлювання, що перебувають у відношенні суперечності, не можуть бути водночас істинними і хибними. Так, з двох висловлювань "Усі держави мають федеративний устрій" (А) і "Деякі держави не мають федеративного устрою" (О) одне обов'язково істинне, а інше — обов'язково хибне. Натомість, визначення того, якому саме із висловлювань приписується значення істинності, не завжди вирішується засобами самої науки логіки.

Відношення підпорядкування існують між загально стверджувальними (А) і частковостверджувальними (І), а також між загальнозаперечними (Е) і частковозаперечними (О) висловлюваннями. Такі відношення між висловлюваннями спостерігаємо в тому випадку, коли при істинності підпорядковуючого (загального) висловлювання підпорядковане йому (часткове) висловлювання завжди буде істин ним. Наприклад, при істинності висловлювання "Усі громадяни України мають право на освіту" (А) обов'язково істинним буде висловлювання "Деякі громадяни України мають право на освіту" (І).

Висловлювання, які перебувають у відношенні підпорядкування, можуть бути також одночасно хибними.

За допомогою "Логічного квадрату" можна робити висновки, тобто виводити висловлювання протилежне, суперечливе і підпорядковане певному висловлюванню, а також встановлювати їх значення істинності, знаючи істинність вихідного висловлювання.

Наприклад, на підставі висловлювання "Усі державні органи краї ни Н. діють на підставі законів" (А) можна виводити висловлювання протилежне даному — "Жодний державний орган країни Н. не діє на підставі законів" (Е); суперечливе даному — "Деякі державні органи країни Н. не діють на підставі законів" (О); підпорядковане даному — "Деякі державні органи країни Н. діють на підставі законів" (І).

Відношення, які існують між висловлюваннями за "логічним квадратом", виражають або відношення сумісності, або несумісності.

Так, відношення підпротилежності та підпорядкування виражають відношення сумісності, оскільки сумісними називають висловлювання, які водночас можуть бути істинними. Відношення протилежності та суперечності виражають відношення несумісності, оскільки висловлювання, між якими вони встановлюються, не можуть бути водночас істинними.

Сумісні і несумісні висловлювання, в свою чергу, об'єднуються у порівнянні.

Порівняннями серед простих є висловлювання, які мають однакові терміни — суб'єкт і предикат, розрізняються лише за кількістю або за якістю.

Між простими висловлюваннями, які мають різні суб'єкти і предикати, неможливо встановити логічну залежність. Такі висловлювання називаються непорівнянними.

Мова логіки висловлювань.

Мова логіки висловлювань — це штучна мова, призначена для аналізу логічної структури складних висловлювань.

Вона характеризується алфавітом (списком знакових засобів) і визначенням формули.

АЛФАВІТ або знаки змінних логіки висловлювань:

Р, q, r, s,...

Ці знаки служать для позначення простих висловлювань природної мови. У зв'язку з цим їх ще називають пропозиційними змінними.

Знаки логічних сполучників:

~ — знак заперечення (читається: «не», «невірно, що...»);

/\ — знак кон'юнкції (читається: «...і...»);

\/ — знак диз'юнкції (читається: «...або...»);

→ — знак імплікації (читається: «якщо..., тоді...»);

↔ — знак еквіваленції (читається: «...тоді і тільки тоді, коли...»).

Ці знаки служать для позначення граматичних сполучників природної мови і деяких знаків пунктуації.

Технічні знаки:

(— ліва дужка;

) — права дужка,

, — кома.

 

З'ясуємо тепер, який вираз можна вважати формулою логіки висловлювань.

1. Будь-яка пропозиційна змінна є формулою.

2. Якщо А — формула, тоді (~ А) також формула.

3. Якщо А, В — формули, тоді (А /\ В), (А \/ В), (А → В), (А ↔ В) — також є формулами.

Використовуючи знакові засоби мови логіки висловлювань та визначення формули, можна формалізувати будь-яке дескриптивне висловлювання природної мови, тобто замінити його формулою, яка в явному вигляді виражатиме його логічну форму.

Для цього необхідно зробити такі кроки:

1) виділити усі прості висловлювання, які входять до складного висловлювання, та позначити їх пропозиційними змінними;

2) визначити логічні сполучники, які зв'язують прості висловлювання, та позначити їх відповідними знаками;

3) записати формулу.

Розглянемо висловлювання: „При здійсненні судочинства судді незалежні і підкоряються тільки законові”.

1. Це складне висловлювання, яке складається з двох простих:

♦ «При здійсненні судочинства судді незалежні»;

♦ «При здійсненні судочинства судді підкоряються тільки законові».

Позначимо їх відповідно пропозиційними змінними: р, q.

2. До складу висловлювання, що досліджується, входить один граматичний сполучник «і». Йому відповідає логічний сполучник «кон'юнкція».

3. Запишемо формулу наведеного висловлювання: р /\ q.

Розглянемо висловлювання «Якщо будь-який злочин карається, а крадіжка чужого майна злочинна, тоді вона також карається»

1. Це складне висловлювання, яке складається з трьох простих:

♦ «Будь-який злочин карається»;

♦ «Крадіжка чужого майна карається»;

♦ «Крадіжка чужого майна злочинна».

Позначимо їх відповідно пропозиційними змінними: р, q, s.

2. До складу висловлювання, що досліджується, входять два граматичних сполучники «якщо, то», «а». їм відповідають логічні сполучники: «імплікація» і «кон'юнкція».

3. Запишемо формулу наведеного висловлювання: (р /\ q) — → s.