Тема 2. Відношення і пропорція.

Тема 2. Відношення і пропорція.

Відношення. Пропорція.

Поняття відсотку та дробу безпосередньо зв’язані із поняттями відношення. Тому, розглянемо основні властивості відношень, пропорцій, та методи розв’язання задач із застосуванням їх властивостей.

Вираз, що є часткою чисел а і в, відмінних від нуля, називається відношенням чисел а і в. Позначають a:b, a/b.

Наприклад: 2,4: 5; (3,8)/(1 2/3)

Результат ділення першого члена відношення на другий називається значенням відношення.

Відношення 2,4: 5 має значення — 0,48;

відношення 3,8/(1 2/3) має значення — 2,28

Якщо а>в, то значення відношення показує у скільки разів а більше в.

Якщо а <в, то значення відношення показує, яку частину від в становить число а.

Наприклад, скільки разів 1,4 м міститься в 7,28 м?

Розв’язання: 7,28:1,4=5,2.

Відповідь: 5,2.

Пропорцією називається рівність двох відношень.

—Наприклад: 18: 9=0,4:0,2 — Запис пропорції: a:b=c:d, a/b = c/d

—Числа a і d називаються крайніми членами пропорції,—а b і c – середніми.

— Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів.

—Якщо a:b=c:d, то ad=bc.

— Наприклад: —12:60=0, 4: 2 – правильність цієї пропорції легше перевірити, виконавши множення середніх та крайніх членів:12×2=60×0,4.

— Спираючись на основну властивість пропорції можна сформулювати ще декілька властивостей:

—а) крайні і середні члени пропорції можна міняти місцями: якщо a:c=b:d то a:b=c:d, d:c=b:a, d:b=c:a (перевірте на прикладах)

—б) крайні чи середні члени пропорції можна ділити, чи множити на одне й те саме число, що не дорівнює 0, пропорція при цьому залишиться правильною.

Золотий переріз — це такий пропорційний поділ відрізка на дві нерівні частини, при якому весь відрізок відноситься до більшої частини так, як більша частина відноситься до меншої.

Якщо взяти відрізок одиничної довжини, позначити одну з частин за х, то інша дорівнюватиме 1 — х. Маємо рівняння: 1/x = x/(1—x) Після зведення до спільного знаменника маємо: х² + х — 1 = 0. Звідси, х_1,2 = (—1 ± )/2 відкинувши від'ємний результат, отримаємо х ≈ 0,618. Але частіше беруть відношення всього відрізка до x, тобто 1/x. Саме число 1/x = 1,618 називають числом золотого перерізу і позначають τ

Щоб поділити деяке число s пропорційно заданим числам a та b (розділити в заданому відношенні), треба розділити це число на суму заданих чисел і результат помножити на кожне з них: поділимо число 27 пропорційно числам 5 і 4. 27:(5+4)×5=15; 27:(5+4)×4=12.

 

Використання основної властивості пропорції при розв’язуванні рівнянь.

Використовуючи основну властивість пропорції, можна знайти її невідомий член, якщо всі інші члени відомі.

Приклад. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. 1) Маємо

Відповідь: 9,6.

2) Отримаємо

Відповідь: 1,5.

Прямо пропорційна залежність.

Дві змінні величини, відношення відповідних значень яких є сталим, називається прямо пропорційними. Якщо дві величини прямо пропорційні, то із збільшенням (зменшенням) значення однієї з них у кілька разів, значення другої величини збільшується (зменшується) у стільки ж разів. тобто ці величини можна записати як , де k — коефіцієнт пропорційності.

Прямо пропорційними величинами є, наприклад: вартість товару і його кількість; шлях, пройдений тілом із сталою швидкістю і час; периметр квадрата і довжина його сторони тощо. Задачі на прямо пропорційні величини можна розв’язувати за допомогою пропорції.

Щоб поділити деяке число s пропорційно заданим числам a та

b (розділити в заданому відношенні), треба розділити це число на суму

заданих чисел і результат помножити на кожне з них:

Приклад. За 2,5 год. автомобіль проїхав 170 км. Яку відстань проїде автомобіль за 4,5 год., якщо швидкість його є сталою?

Розв’язання. Запишемо умову задачі схематично:

2.5 год. - 170 км;

4.5 год. - х км.

За умовою задачі запишемо пропорцію:

та розв’яжемо утворене рівняння.

2,5х = 170 ∙ 4,5;

2,5x = 765;

х = 306.

Відповідь: 306 км.

Очевидно, що чим більше людей думають про те, щоб прибрати в будинку, тим менше часу треба буде. Якщо самому треба 10 год, то вдвох — 5 год, в трьох — 3¹/₃ год і т. д. Кількість людей, які прибирають, і час, — обернено пропорційні величини. Дві величини обернено пропорційні, якщо, коли помножити на якесь число першу, то друга помножиться на обернений дріб.

Відсотки

Соту частину будь-якої величини або числа називають відсотком (процентом). Це слово замінюють знаком %.

Щоб записати десятковий дріб за допомогою відсотків, його треба помножити на 100.
Наприклад, 0,45 = 45%; 0,06 = 6%; 1,5 = 150%.

Щоб перетворити відсотки на десятковий дріб, треба число відсотків розділити на 100.
Наприклад, 40% = 0,4; 5% = 0,05; 120% = 1,2.

Є три основні задачі на відсотки:

1. Знаходження частини b за відомим її відсотком q від даного числа a.

Приклад. Знайти 30% від числа 180

2. Знаходження всього числа а за відомою частиною b і числом відповідних відсотків q.

Приклад. Знайти число, 20% якого складає 24

3. Відсоткове відношення числа а до числа b можна знайти за формулою

Приклад 1. Скільки процентів складає число 0,5 від 20?

Приклад 2. У 200 г розчину міститься 10 г солі. Який відсотковий вміст солі в розчині?

Розв’язання. Відповідь: 5%

Приклад 3. Ціна деякого товару знизилася з 60 грн. до 54 грн. на скільки відсотків знизилася ціна товару?

Розв’язання. Спочатку знайдемо, на скільки гривень знизилася ціна за товар: 60 - 54 = 6 (грн.). Щоб знайти на скільки відсотків знизилася ціна товару, необхідно знайти відсоткове відношення 6 грн. до початкової ціни товару, тобто 60 грн. Маємо:

Отже, ціна товару знизилася на 10%. Відповідь: на 10%.

Приклад 4. Ставка прибуткового податку в Україні дорівнює 15%. Який прибутковий податок треба заплатити із зарплати 2400 грн.?

Розв’язання. 15% = 0,15. Тому прибутковий податок складе

2400 ∙ 0,15 = 360 (грн.).

Формула складних відсотків.

Початковий капітал А₀, покладено у банк під р% річних, через n років стане нарощеним капіталом А_n, що обчислюється за формулою:

Цю формулу називають формулою складних відсотків.

Відсоткові гроші (прибуток вкладника) можна знайти як різницю А_n - А₀.

Приклад 1. Вкладник поклав до банку 10000 грн. під 16% річних. Скільки грошей буде на рахунку вкладника через 2 роки? Скільки відсоткових грошей отримає вкладник через 2 роки?

Розв’язання. А₀ = 10000; р = 16%; n = 2. Маємо

Вкладник отримає таку кількість відсоткових грошей

А₂ – А₀ = 13456 -10000 = 3456 (грн.). Відповідь: 3456 грн.

За формулою складних відсотків можна розв’язувати також задачі, не пов’язані з нарощенням капіталу.

Приклад 2. Населення деякого міста становить 50000 мешканців. Кожного року населення зменшується на 0,3%. яким буде населення цього міста через 6 років?

Розв’язання. Оскільки населення міста щороку зменшується на один і той самий відсоток, і це відсоток до кількості населення попереднього року, а не до початкової кількості мешканців, то можна використати формулу складних відсотків.

Маємо А₀ = 50000; р = -0,3 (оскільки населення зменшується, то р < 0); n = 6.

Тоді Відповідь: 49107 чоловік.

Проміле (‰) — одна тисячна частина якої-небудь величини. Позначається символом ‰. 1‰=10^-3=0,001=0,1%.

В проміле визначають солоність води, нахил річки, вміст алкоголю в крові, тощо.

Кожному запитанню (1-4) поставте у відповідність правильну відповідь (А-Д).

1.Яка швидкість велосипедиста?

2.Пішохід і велосипедист одночасно вирушили назустріч один одному з цих двох міст. Через скільки годин після початку руху вони зустрінуться?

3. Яка швидкість пішохода?

4.За скільки годин велосипедист наздожене пішохода, якщо виїде за ним через годину?

А.18 км/год.

Б. 12 км/год.

В. 6 км/год.

Г.1,5 год.

Д. 0,5 год.

85. Дві однакові автоматичні лінії виготовляють 16 т шоколадної глазурі за 4 дні. Установіть відповідність між запитаннями (1-4) та правильною відповіддю на нього (А-Д). Уважайте, що кожна лінія виготовляє однакову кількість глазурі щодня.

Запитання

1. За скільки днів одна лінія виготовить 16 т шоколадної глазурі?

2. Скільки тонн шоколадної глазурі виготовить одна лінія за 2 дні?

3. Скільки таких ліній потрібно для виготовлення 48 т шоколадної глазурі за 4 дні?

4. Скільки тонн шоколадної глазурі виготовляють дві лінії за 3 дні?

Відповідь на запитання

А. 2

Б. 4

В. 6

Г. 8

Д. 12

Тема 2. Відношення і пропорція.

Відношення. Пропорція.

Поняття відсотку та дробу безпосередньо зв’язані із поняттями відношення. Тому, розглянемо основні властивості відношень, пропорцій, та методи розв’язання задач із застосуванням їх властивостей.

Вираз, що є часткою чисел а і в, відмінних від нуля, називається відношенням чисел а і в. Позначають a:b, a/b.

Наприклад: 2,4: 5; (3,8)/(1 2/3)

Результат ділення першого члена відношення на другий називається значенням відношення.

Відношення 2,4: 5 має значення — 0,48;

відношення 3,8/(1 2/3) має значення — 2,28

Якщо а>в, то значення відношення показує у скільки разів а більше в.

Якщо а <в, то значення відношення показує, яку частину від в становить число а.

Наприклад, скільки разів 1,4 м міститься в 7,28 м?

Розв’язання: 7,28:1,4=5,2.

Відповідь: 5,2.

Пропорцією називається рівність двох відношень.

—Наприклад: 18: 9=0,4:0,2 — Запис пропорції: a:b=c:d, a/b = c/d

—Числа a і d називаються крайніми членами пропорції,—а b і c – середніми.

— Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів.

—Якщо a:b=c:d, то ad=bc.

— Наприклад: —12:60=0, 4: 2 – правильність цієї пропорції легше перевірити, виконавши множення середніх та крайніх членів:12×2=60×0,4.

— Спираючись на основну властивість пропорції можна сформулювати ще декілька властивостей:

—а) крайні і середні члени пропорції можна міняти місцями: якщо a:c=b:d то a:b=c:d, d:c=b:a, d:b=c:a (перевірте на прикладах)

—б) крайні чи середні члени пропорції можна ділити, чи множити на одне й те саме число, що не дорівнює 0, пропорція при цьому залишиться правильною.

Золотий переріз — це такий пропорційний поділ відрізка на дві нерівні частини, при якому весь відрізок відноситься до більшої частини так, як більша частина відноситься до меншої.

Якщо взяти відрізок одиничної довжини, позначити одну з частин за х, то інша дорівнюватиме 1 — х. Маємо рівняння: 1/x = x/(1—x) Після зведення до спільного знаменника маємо: х² + х — 1 = 0. Звідси, х_1,2 = (—1 ± )/2 відкинувши від'ємний результат, отримаємо х ≈ 0,618. Але частіше беруть відношення всього відрізка до x, тобто 1/x. Саме число 1/x = 1,618 називають числом золотого перерізу і позначають τ

Щоб поділити деяке число s пропорційно заданим числам a та b (розділити в заданому відношенні), треба розділити це число на суму заданих чисел і результат помножити на кожне з них: поділимо число 27 пропорційно числам 5 і 4. 27:(5+4)×5=15; 27:(5+4)×4=12.