Використання основної властивості пропорції при розв’язуванні рівнянь.

Використовуючи основну властивість пропорції, можна знайти її невідомий член, якщо всі інші члени відомі.

Приклад. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. 1) Маємо

Відповідь: 9,6.

2) Отримаємо

Відповідь: 1,5.

Прямо пропорційна залежність.

Дві змінні величини, відношення відповідних значень яких є сталим, називається прямо пропорційними. Якщо дві величини прямо пропорційні, то із збільшенням (зменшенням) значення однієї з них у кілька разів, значення другої величини збільшується (зменшується) у стільки ж разів. тобто ці величини можна записати як , де k — коефіцієнт пропорційності.

Прямо пропорційними величинами є, наприклад: вартість товару і його кількість; шлях, пройдений тілом із сталою швидкістю і час; периметр квадрата і довжина його сторони тощо. Задачі на прямо пропорційні величини можна розв’язувати за допомогою пропорції.

Щоб поділити деяке число s пропорційно заданим числам a та

b (розділити в заданому відношенні), треба розділити це число на суму

заданих чисел і результат помножити на кожне з них:

Приклад. За 2,5 год. автомобіль проїхав 170 км. Яку відстань проїде автомобіль за 4,5 год., якщо швидкість його є сталою?

Розв’язання. Запишемо умову задачі схематично:

2.5 год. - 170 км;

4.5 год. - х км.

За умовою задачі запишемо пропорцію:

та розв’яжемо утворене рівняння.

2,5х = 170 ∙ 4,5;

2,5x = 765;

х = 306.

Відповідь: 306 км.

Очевидно, що чим більше людей думають про те, щоб прибрати в будинку, тим менше часу треба буде. Якщо самому треба 10 год, то вдвох — 5 год, в трьох — 3¹/₃ год і т. д. Кількість людей, які прибирають, і час, — обернено пропорційні величини. Дві величини обернено пропорційні, якщо, коли помножити на якесь число першу, то друга помножиться на обернений дріб.

Перетворення звичайного дробу у десятковий.

Оскільки то щоб перетворити звичайних дріб у десятковий, досить чисельник поділити на знаменник.

Наприклад:

Перетворення звичайного дробу у нескінчений періодичний десятковий дріб.

Якщо спробувати перетворити дріб 9/11 на десятковий, то отримаємо 9/11 = 9: 11 = 0,818181... Крапки в кінці показують, що ділення не закінчилося. Отримали нескінчений десятковий періодичний дріб. Цифри 8 та 1, які стоять поряд у запису нескінченого десяткового дробу і повторюються підряд безліч разів, утворюють період нескінченого періодичного дробу. Це записують так:

Приклади:

Відсотки

Соту частину будь-якої величини або числа називають відсотком (процентом). Це слово замінюють знаком %.

Щоб записати десятковий дріб за допомогою відсотків, його треба помножити на 100.
Наприклад, 0,45 = 45%; 0,06 = 6%; 1,5 = 150%.

Щоб перетворити відсотки на десятковий дріб, треба число відсотків розділити на 100.
Наприклад, 40% = 0,4; 5% = 0,05; 120% = 1,2.

Є три основні задачі на відсотки:

1. Знаходження частини b за відомим її відсотком q від даного числа a.

Приклад. Знайти 30% від числа 180

2. Знаходження всього числа а за відомою частиною b і числом відповідних відсотків q.

Приклад. Знайти число, 20% якого складає 24

3. Відсоткове відношення числа а до числа b можна знайти за формулою

Приклад 1. Скільки процентів складає число 0,5 від 20?

Приклад 2. У 200 г розчину міститься 10 г солі. Який відсотковий вміст солі в розчині?

Розв’язання. Відповідь: 5%

Приклад 3. Ціна деякого товару знизилася з 60 грн. до 54 грн. на скільки відсотків знизилася ціна товару?

Розв’язання. Спочатку знайдемо, на скільки гривень знизилася ціна за товар: 60 - 54 = 6 (грн.). Щоб знайти на скільки відсотків знизилася ціна товару, необхідно знайти відсоткове відношення 6 грн. до початкової ціни товару, тобто 60 грн. Маємо:

Отже, ціна товару знизилася на 10%. Відповідь: на 10%.

Приклад 4. Ставка прибуткового податку в Україні дорівнює 15%. Який прибутковий податок треба заплатити із зарплати 2400 грн.?

Розв’язання. 15% = 0,15. Тому прибутковий податок складе

2400 ∙ 0,15 = 360 (грн.).

Формула складних відсотків.

Початковий капітал А₀, покладено у банк під р% річних, через n років стане нарощеним капіталом А_n, що обчислюється за формулою:

Цю формулу називають формулою складних відсотків.

Відсоткові гроші (прибуток вкладника) можна знайти як різницю А_n - А₀.

Приклад 1. Вкладник поклав до банку 10000 грн. під 16% річних. Скільки грошей буде на рахунку вкладника через 2 роки? Скільки відсоткових грошей отримає вкладник через 2 роки?

Розв’язання. А₀ = 10000; р = 16%; n = 2. Маємо

Вкладник отримає таку кількість відсоткових грошей

А₂ – А₀ = 13456 -10000 = 3456 (грн.). Відповідь: 3456 грн.

За формулою складних відсотків можна розв’язувати також задачі, не пов’язані з нарощенням капіталу.

Приклад 2. Населення деякого міста становить 50000 мешканців. Кожного року населення зменшується на 0,3%. яким буде населення цього міста через 6 років?

Розв’язання. Оскільки населення міста щороку зменшується на один і той самий відсоток, і це відсоток до кількості населення попереднього року, а не до початкової кількості мешканців, то можна використати формулу складних відсотків.

Маємо А₀ = 50000; р = -0,3 (оскільки населення зменшується, то р < 0); n = 6.

Тоді Відповідь: 49107 чоловік.

Проміле (‰) — одна тисячна частина якої-небудь величини. Позначається символом ‰. 1‰=10^-3=0,001=0,1%.

В проміле визначають солоність води, нахил річки, вміст алкоголю в крові, тощо.