Розділ 2. Вектори, відношення, відображення.

План.

1. Вектори і прямий добуток множин.

2. Відношення. (*)

3. Відображення. (*)

4. Функції.

5. Перетворення. (*)

6. Сукупність підстановок множини М. (**)

7. Алгебраїчні операції та системи. (***)

Вектори і прямий добуток множин.

 

Математика вивчає властивості певних множин елементів, відношень між ними. Найбільш поширеними і важливими для математики є відношення між парами і трійками елементів.

Якщо елементи скінченної множини як-небудь перенумеровані, то кажуть, що дана множина упорядкована. Одну і ту ж множину можна упорядкувати різними способами. Наприклад: множину учнів у класі можна впорядкувати

- по алфавіту;

- по росту;

- по вазі і т. д.

Нехай дані множини Х_1, Х₂, …Х_n. Кортежем (вектором) довжини п складеним з елементів цих множин називається скінченна послідовність α = (х₁, х₂, …х_n), де х_і є Х_і; х_і називається координатою кортежу α.

Кортеж – це упорядкований набір елементів.

Координати нумерують зліва направо.

Довжиною кортежу називається кількість його координат.

Кортеж позначають (А,В), де на першому місці елемент множини А, на другому місці елемент множини В.

Приклад: А={а,b,с}, В={1,2}

α ={(а;1),(а;2),(b;1),(b;2),(с;1),(с;2)}

Будь-яке слово є кортеж складений з літер. Будь-яке натуральне число – це кортеж складений з цифр.

Кортежі довжини 2 (2 елементи) називаються парами; довжини 3 –трійками; довжини n – енками.

Два кортежі рівні, якщо вони мають однакову довжину і їх відповідні координати рівні: , якщо

Приклади: а) (1; 2; 3)=(; ; )

б) (1;2;3)≠(3;1;2)

Порожній кортеж – це кортеж, що не має жодної координати, його довжина дорівнює нулю.

Чим відрізняється кортеж від множини:

1) у множині порядок елементів може бути різний, а кортежі різні якщо не співпадає порядок; {а; b;с}={ b;а;с}

(а; b;с)≠(а;с; b)

2) у множині всі елементи різні, а у кортежі вони можуть повторюватись: {а; b;с}, (а;b;с;b)

Приклади: 1) слово «підручник» – це кортеж довжини 9: (п;і;д;р;у;ч;н;и;к)

2)число 134 – це кортеж довжини 3: (1;3;4)

Утворення впорядкованих m -ок (кортежів довжини m) пов’язане з операцією над множинами, яку називають знаходженням прямого або декартового добутку множин.

Розглянемо випадок, коли m=2.

Прямим (декартовим) добутком двох множин А і В називається множина всіх пар (а; b) таких, що а є А, b є В:

А × В ={(а; b)│ а є А, b є В}

А×В = Ø, якщо А = Ø, або В = Ø, або А =В = Ø

Прямим добутком множин називається множина всіх кортежів довжини n виду , таких, що .

Прямий добуток А×А позначають А² і називають прямим квадратом множини А.

Зауваження: А×В ≠ В×А.

Прямим добутком трьох множин А, В, С називається множина всіх кортежів (а, b, с) таких, що а є А, b є В, с є С.

А× В ×С = {(а, b, с)| а є А, b є В, с є С}.

А × А × А =А³ –прямий куб множини А.

Якщо множини А, В, С мають потужність m, n, k, то потужність множини А×В×С дорівнює добутку потужностей цих множин.

|А| =m, |В| =n, |С| = k, то |А ×В× С|= m · n · k.

Якщо R - множина дійсних чисел,то R² =R×R. Геометричною ілюстрацією прямого квадрата є множина точок прямокутної системи координат на площині (х;у)

R×R×R=R³, геометрична ілюстрація – це множина точок тривимірного простору.

 

Відношення.

Поняття “відношення” поширене як в математиці так і за її межами.

Так, наприклад, говорять про родинні відносини між певними людьми, про відносини між людьми на роботі. В математиці говорять про відношення подільності чисел, паралельності та перпендикулярності прямих на площині, подібності фігур і т.д.

Основну ідею поняття “відношення” можна розглянути на таких прикладах:

А={3;5;8}, В={1;4;11}

Побудуємо множини правильних висловлень:

М₁={“3:1”, ”5:1”, ”8:1”, ”8:4”}

М₂={“3>1”, ”5>1”, ”8>1”, ”5>4”, ”8>4”}

Кожний елемент з множини М₁ є висловлення про відношення подільності, а кожний елемент з множини М₂ є висловлення про відношення “більше”.

Кожне з висловлень множини М₁ можна замінити відповідною парою (а; b), в якій а А, b В, тоді матимемо множину таких пар: ={(3;1), (8;1), (5;1), (8;4)}, яка є підмножиною прямого добутку множин А і В: (А×В). Отже, замість множини , яка характеризує відношення подільності в множинах А і В, можна розглядати множину відповідних пар.

Відношення “більше” в множинах А і В можна зобразити відповідною множиною пар (а;b), в яких перша компонента а А більша другої компоненти b М, тобто є підмножиною прямого добутку множин А і В:

={(3;1), (5;1), (8;1), (5;4), (8;4)}.

Бінарним відношенням, визначеним у множинах А і В називається кожна підмножина прямого добутку множин А і В.

Позначають: α, β, γ,…Ρ, Μ, Ν…

Якщо А=В, то кажуть, що бінарне відношення визначене у множині А.

Відношення полягають у тому, що деяким елементам множини А поставлені у відповідність елементи множини В. Множина А називається множиною відправлення (визначення), а множина В - множиною прибуття (значень).

Під об’ємом відношення α розуміють склад тих пар, які входять в α.

Якщо елементи а і b пари (а;в) перебувають у відношенні α, то позначають так: (а;в) α або а α в.

В утворенні пар бінарного відношення можуть брати участь не всі елементи множин А і В.

Способи задання відношень.

1) переліком всіх своїх елементів;

2) характеристичною властивістю:

3) графічно (множиною точок на площині): А={1;2;3;4;5}, В={а; b;с;d}

А В
a
b
c
d

 

4)

a

стрілковий:

 

5)табличний:

B\A
a	×		×
b			×		×
c			×	×
d					×

 

Множина всіх b В, які відповідають елементу а, називаються образом а в В при відповідності Р. Множина всіх а А, яким відповідають елементи b В називаються

прообразом b в А.

Відношенням оберненим до Р (Р А×В) називається відношення Р^-1, що є підмножиною прямого добутку В×А і складається з тих і тільки тих пар (b;а), для яких (а;b) Р.

Позначають: Р^-1, α ^–1: (b;а) Р (а; b) Р

Приклад: А={3;4;6;7}, В={2;3;4}. Задати Р^-1, де Р –відношення подільності.

Р={(3;3), (4;4), (4;2), (6;2), (6;3)}, Р^-1= {(3;3), (4;4), (2;4), (2;6), (3;6)}

З означення випливає, що обернене до відношення Р^-1 буде відношення Р: (Р ^-1)^-1 = Р

Щоб дістати стрілкове відношення Р^-1, треба стрілки відношення Р поміняти на протилежні.

Композицією відношень називається послідовне застосування двох відношень.

Композиція відношень - це операція з трьома множинами Χ, Υ, Ζ на яких визначені дві відповідності Р і Q: (Х;Y;Р) і (Y;Z;Q), де Р X×Y, Q Y×Z

Композицію позначають Р ο Q, при цьому композицію відношень записують:

(X, Z, P ο Q), P ο Q X × Z.

Властивості відношень.

1) рефлексивність: а А; а R а (елемент а знаходиться у відношенні R сам до себе).

Якщо властивість рефлексивності не виконується, то відношення називається антирефлексивним: а А; .

2) симетричність: а, в А, а R в в R а

Якщо властивість симетричності не виконується, то відношення називається антисиметричним:

Асиметричне відношення: Æ

3) транзитивність: а, в, с А, а R b і b R с а R с.

Якщо властивість транзитивності не виконується, то відношення називається антитранзитивним: а, в, с А, а R b і b R с .

4) властивість повноти: а, b А, а ≠ b, то а R b або b R а.

Відношення називається еквівалентним, якщо одноразово виконуються властивості рефлексивності, симетричності і транзитивності. Еквівалентність розбиває множину на підмножини.

Відношення строгого порядку, якщо воно асиметричне і транзитивне одночасно.

Відношення нестрогого порядку, якщо воно асиметричне, транзитивне і рефлексивне.

 

3. Відображення.

4.

Відображенням множини А в множину В називається відношення, в якому кожному елементу множини А ставиться у відповідність не більш ніж один, однозначно визначений елемент множини В.

Елемент b множини В називається образом елемента a множини А, в свою чергу елемент a називається прообразом елемента b.

Відображення однієї множини в іншу позначається малими літерами грецького алфавіту φ, α, β …

φ: А→В або А→В.

Образ елемента a позначається: (a)φ.

Способи відображення однієї множини в іншу: 1) графічний; 2) стрілковий; 3) табличний.

Приклад 1. А={2;3;6;7}, В={4;9;11;12;28}

φ: А→В –це відображення, яке кожному числу з множини А ставить у відповідність найменше спільне кратне цього числа і числа 4, яке входить до множини В.

(3) φ = 12 12- образ 3, 3- прообраз 12

(6) φ =12 12- образ 6, 6- прообраз 12.

(2) φ = 4 4 - образ 2, 2- прообраз 4.

Стрілкова схема:

 

Табличний спосіб задання:

 

a

 

 

Приклад 2. А={г;а;и;л}, В={1;2;3;4;5;6;7}

φ: А→В –це відображення, за яким кожній літері з множини А ставиться у відповідність її порядковий номер у слові “ логарифм”.

Графічне задання: В

 

 

А

 

 

Стрілкове задання: А={г;а;и;л}

 

В={1;2;3;4;5;6;7}

Види відображень:

Сюр’єкція – це відображення множини А в множину В, при якому для кожного елемента b з множини В знайдеться елемент a з множини А такий, що (a)φ = b.

А={2;3;6;7}, В={4;12;28}

 

 

Стрілкове задання: а) А={2; 3; 6; 7}

 

В={4; 12; 28}

Табличне задання:

a

 

Якщо множини А і В скінченні, то в нижньому ряду таблиці знаходяться всі елементи множини В, хоча можливо і не один раз.

В стрілковому зображенні в кожний елемент множини В входить хоча б одна стрілка.

Сюр’єкція скінченної множини на скінченну множину існує не завжди. Щоб відображення φ: А→В було сюр’єкцією необхідно, щоб виконувалась умова │А│≥│В│.

Ін’єкція.

Відображення множини A на множину B називається ін’єкцією, якщо різним елементам множини А відповідають різні елементи множини В:

a₁≠a₂ (a₁)φ ≠ (a₂)φ

В нижньому ряду таблиці ін’єктивного відображення кожний елемент множини В присутній один раз. При стрілковому зображенні ін’єкції в кожний елемент множини В, входить не більше ніж одна стрілка.

Ін’єкція можлива, якщо │А│≤│В│.

А={1;2;3;4}

 

В={10;15;20;25;30;35;40;45}

 

Бієкція.

Якщо відображення множини А на множину В є одноразово сюрєктивним та інєктивним, то воно називається взаємно-однозначним або бієкцією множини А на множину В.

Бієкція можлива, якщо виконується рівність │А│=│В│.

Схематично бієктивне відображення позначається так: А В.

 

 

Функції.

Функцією називається відображення, що ставить у відповідність кожному елементу з області визначення єдиний елемент з області значень .

Елемент називається аргументом, - значенням функції на .

Функції і називаються рівними, якщо їх область визначення є одна і та сама множина .

Якщо область визначення функції складається з одного елемента, то функція називається функцією-константою.

Символ функції використовується у двох розуміннях:

1) - це множина, елементами якої є пари , які беруть участь у відношенні між множинами та .

2) - це означення для , що відповідає .

Формальне означення функції: .

Способи задання функції:

1) перерахуванням всіх пар у вигляді таблиці

х
у

 

2) у вигляді формули, що містить перелік математичних операцій, які мають бути виконані над , щоб отримати .

Якщо і , то .

Вираз, що містить функціональні знаки і символи аргументів називають формулою.

Якщо у виразі , , то будемо мати функцію від двох змінних і , яка позначається , де

Якщо і - дві функції: , , то оберненими до них є функції ,

Функція типу називається n -місною. Така функція має n аргументів і позначається , де , .

Композиція функцій і : о : , для кожного визначає

Більш загальним поняттям, ніж функція є поняття функціоналу.

Функціонал встановлює залежність між деякою множиною чисел і деякою множиною функцій (залежність числа від функції).

Наприклад: означений інтеграл , - функціонал – це число, що залежить від функції , яка обирається з деякої множини функцій.

Оператор – це більш загальне поняття. Він встановлює залежність між двома множинами функцій так, що кожній функції з однієї множини відповідає певна функція з другої множини.

Приклад: Р – оператор диференціювання, тоді зв’язок між похідною: і функцією може бути записаний у вигляді операторного співвідношення .

 

 

Перетворення.

Перетворення – це відображення множини самої на себе.

Табличний вигляд перетворення має вигляд де .

Приклад. Нехай задана множина

Для множини М можуть бути такі перетворення

а) б) в) та інші.

Деякі перетворення множини М мають спеціальну назву.

1) Тотожне перетворення – це перетворення множини М, при якому всі елементи з М залишаються на місці .

2) Постійне перетворення – це перетворення, при якому кожному елементу з множини М ставиться у відповідність деякий фіксований елемент цієї множини: .

3) Підстановка – це бієкція множини М на себе. , де , ,

Композицією перетворень φ і ψ називається таке перетворення ω, який кожний елемент перетворює в образ , а потім в : :

Приклад. Нехай φ: х→х+3 – перетворення множини дійсних чисел R, яке числу х ставить у відповідність число х+3, а ψ: х → х+2, тоді перетворення ώ є композиція , яка кожне число х переводить у х+5: х → х+5.

φ: х → х+3

ψ: х → х+2

ω: φ ◦ ψ: x → x+5

Якщо х=3, то φ ◦ ψ: 3 → 8

6. Сукупність підстановок множини М: S(М).

Розглянемо множину . Підстановками на множині М будуть

 

Підстановки і - рівні, бо в них область визначення (елементи 1,2,3) одна і та ж, і кожний елемент з області визначення ці підстановки переводить в одні і ті ж елементи: 1→1, 2→3, 3→2.

Цю властивість: переводити елементи з області визначення в одні і ті ж елементи, використовують при послідовному виконанні перетворень, яке називається композицією або добутком підстановок.

1) Покажемо, що добуток підстановок належить сукупності підстановок

Отже, якщо і , то

2) Перевіримо чи виконується асоціативний закон для множення підстановок

?

 

а)

 

 

 

б)

 

 

Отже, асоціативний закон виконується.

 

3) Перевіримо що буде, якщо множити на будь-яку підстановку з множини М.

 

Висновок: - виступає одиничним елементом в сукупності підстановок множини .

4) Знайдемо добуток:

 

 

Отже