Розрахунок витків різьби на міцність

Нерівномірний розподіл навантаження на витки різьби гайки затрудняє їх розрахунок на міцність. Тому на практиці застосовують умовні розрахунки. Умовність розрахунків компенсується порівнян­ням розрахункових напружень, добутих за умови рівномірного роз­поділу навантаження на витках, із допустимими напруженнями, що встановлені дослідним шляхом.

Витки різьби розраховують за умовами обмеження напружень зминання на поверхнях їхнього контакту та напружень зрізу витків на гвинті або на гайці (р 11.9).

Умова міцності витків різьби за напруженнями зминання

σ_3M = F/A = F/πd₂H₁z ≤ [σ]_3M' (11)

де A_ЗМ = πd₂H₁z– умовна площа зминання витків; Н₁– робоча висота витків; z – кількість витків у гайці висотою h.

Умова міцності витків за напруженнями зрізу: для гвинта

τ_ЗР = F/A_ЗР = F/πd₁аz ≤ [τ]_3Р (І2)

для гайки

τ_зр2 = F/πdbz ≤ [τ]_зр· (13)

Оскільки а = Ь ≈ 0,8Р(для трикутної різьби), Pz = h, умови (12) і (13) запишемо в такому вигляді:

для гвинта

τ_ЗР1 = F/0,8πd₁h ≤ [τ]_ЗР (14)

для гайки

τ_ЗР2 = F/0,8πdh ≤ [τ]_ЗР (15)

Якщо матеріал гвинта та гайки однаковий, то за напруженнями зрізу розраховують тільки витки гвинта, бо d > d₁. Допустимі на­пруження зрізу можна брати [τ]_3ρ = (0,2...0,3)σ_Т.

Умови міцності витків різьби дозволяють визначити потрібну висоту гайки h. При однако­вих матеріалах гвинта та гайки h треба вибира­ти також за умовою рівноміцності витків різьби та стержня гвинта. Так, якщо взяти за граничні напруження границі текучості σ_T при розтягу і τ_T при зрізі, а також врахувати, що

τ_T ≈ 0,6σ_T, то умова рівноміцності різьби на зріз і стержня гвинта на розтяг матиме вигляд:

τ_ЗР = F/0,8πd₁h = τ_T = 0,6σ_T = 0,6(4F/πd₁²) (16)

Із записаної рівності дістаємо h ≈ 0,52d₁.

Висоту стандартних гайок, що працюють у парі з гвинтами із одного і того ж матеріалу, беруть h = 0,8d.

За аналогічними міркуваннями встановлюють також норми на глибину загвинчування гвинтів та шпильок у деталі з'єднання. Так, глибину загвинчування сталевих гвинтів у сталеві деталі вибирають h₁ = d,а в чавунні та силумінові деталі – h₁ = l,5d.Для вказаних значень глибини загвинчування гвинтів міцність різьби переважає міцність стержня гвинта, що запобігає руйнуванню різьби в деталях з'єднання.

Розглянуті вище особливості та співвідношення розмірів дають змогу зняти потребу в розрахунку на міцність різьби в стандартних кріпильних деталях.

7. Розрахунок на міцність стержня болта (гвинта) для різних випадків навантаження з'єднання

З'єднання незатягнутим болтом, що навантажене зовнішньою осьовою силою. Прикладом такого з'єднання може бути кріплення вантажної петлі (рис. 11.10). Особливістю цього з'єднання є те, що болт не має попередньої затяжки (між деталями з'єднання є зазор).

При навантаженні петлі силою F в стержні болта виникає деформація розтягу. Небезпечним перерізом стержня буде переріз на різьбовій ділянці, площа якого

А = πd₁²/4. Відповідно умова міцності стержня болта на розтяг

σ_p = 4F/(πd₁²) ≤ [σ]_p.

Із записаної умови маємо потрібний внут­рішній діаметр різьби

d₁ ≥ √4F/(π[σ]_p). (18)

Значення d₁ округляють до стандартного, за яким встановлюють номінальний діаметр d різь­би болта (див. табл. 11.1). Допустиме напруження [σ]_ρ = σ _T/ s, де коефі­цієнт запасу міцності болта беруть s = 2...3.

 

З'єднання затягнутим болтом без зовнішнього навантаження.

Такі з'єднання зустрічаються в тих випадках, коли треба закріпити деталі, на які не діють зовнішні сили, а з'єднання по­винно бути герметичним (наприклад, кріплення різних кришок, люків та ін.). Потрібну силу затяжки болта F₀(рис. 11.11) вибирають із умо­ви забезпечення герметичності стику деталей (між деталями знаходиться пружна прокладка).

При затяжці з'єднання стержень болта роз­тягується осьовою силою F₀ і одночасно скру­чується моментом сил тертя в різьбі T_sp. Небезпечним перерізом для болта є переріз діа­метром d₁на різьбовій ділянці (переріз із най­меншим діаметром).

Від дії сили F₀ напруження розтягу

σ_ρ = 4F₀/(πd₁²). (19)

При скручуванні стержня болта моментом T_sp[див. формулу (3)] напруження

τ = T_ЗР/W_P = (20)

Міцність болта оцінюється за еквівалентним напруженням

. (21)

Після підстановки σ_ρ та τ в умову (21) дістанемо

(22)

Тут β – коефіцієнт, що враховує скручування болта при затяжці:

(23)

Розрахунки показують, що для стандартних метричних різьб β ≈ 1,3. Тому болт, затягнутий в такому з'єднанні, можна розрахо­вувати тільки на розтяг, але не за дійсною, а за збільшеною на З0% силою затяжки F₀. Згідно з умовою (22) потрібний внутрішній діаметр різьби болта

. (24)

Значення d₁ узгоджують із стандартним і вибирають номінальний діаметр dрізьби болта (див. табл. 11.1).

Болтове з'єднання деталей, що навантажені силами зсуву.

В тако­му з'єднанні основною умовою надійності є відсутність відносного зсуву деталей. Розглянемо два варіанти виконання з'єднання.

1. Болт встановлено у отвори деталей із зазором (рис. 11.12, а).

Умова відсутності зсуву деталей з'єднан­ня має вигляд

F ≤ i∙F_s = i∙f∙F₀,(25)

де F– зовнішня сила, що діє на деталі з'єднання; F_s – сила тертя в одній парі площин стикання деталей; і– число пар площин стику;

F₀ – сила затяжки болта; f – коефіцієнт тертя ковзання в стиках деталей.

Якщо ввести коефіцієнт надійності з'єднання k,то із умови (25) можна визначити потрібну силу затяжки болта:

F₀ = kF/(if).(26)

Значення kвибирають: при статичному навантаженні з'єднання k =1,3... 1,5; при дії змінного навантаження k = 1,8...2,0.

Сила F₀ дає змогу визначити потрібний внутрішній діаметр різь­би d₁ із умови міцності болта на розтяг. Після підстановки (26) в (24) дістанемо

. (27)

У розглянутому з'єднанні зовнішня сила Fбезпосередньо на болт не передається. Тому болт розраховують тільки на статичну міцність за потрібною силою затяжки навіть при дії змінної в часі зовнішньої сили.

2. Болт встановлено у отвори деталей без зазоρа (рис. 11.12, б).

Зовнішня сила Fбезпосередньо передається на болт, тому сили тертя між деталями не враховуються, а затяжка болта не обов'язкова.

Болт у цьому з'єднанні розраховують за умовою міцності на зріз

τ_зр = F/A_зр = 2F/(πd²) ≤ [τ]_зр. (28)

Тут зріз болта відбувається у двох площинах, тому

А_зр = 2πd²/4.

Потрібний діаметр стержня болта може бути визначений за вира­зом

. (29)

Порівнюючи два варіанти постановки болта (із зазором та без зазора), слід зазначити, що перший варіант дешевший другого, ос­кільки він не вимагає точних розмірів болта і отвору. Однак при тій самій зовнішній силі Fна з'єднання потрібний діаметр болта, встанов­леного із зазором, суттєво більший (за умовою міцності), ніж діа­метр болта, встановленого без зазора.

З'єднання затягнутим болтом, що навантажене постійною зов­нішньою осьовою силою. Приклади осьового навантаження з'єднань із попередньо затягнутими болтами (напрям дії зовнішньої сили па­ралельний осі болта) є найпоширенішими у практиці. Для більшос­ті таких з'єднань треба зберегти певні умови в площині стику (гер­метичність, нерозкриття стику та ін.) при дії зовнішнього наванта­ження. Прикладами з'єднань, що навантажені зовнішніми осьовими силами, можуть бути болтові з'єднання фланців трубопроводів, кри­шок резервуарів підвищеного тиску, різних кронштейнів та інших де­талей.

Діаграма сумісних деформацій болта та деталей з'єднання. Розглянемо послідовність наванта­ження та деформації деталей болтового з'єднання при затяжці бол­та і зовнішньому осьовому навантаженні. На (рис.11.13,а)показано болтове

з'єднання деталей, коли болт не має затяжки, а зовнішня сила відсутня, тобто болт і деталі з'єднання не навантажені. Після затяжки (зовнішня сила на деталі з'єднання не діє) болт навантажу­ється силою затяжки F₀, а стик деталей навантажується такою са­мою силою F₀ (Рис_· 11_–13,б).При цьому під дією сили F₀ болт де­формується (розтягується) на λ_б, а деталі з'єднання деформуються (стискаються) на λ_Д. Після прикладення до деталей з'єднання зовніш­ньої осьової сили F(рис. 11.13, в) сила, що навантажує болт, збіль­шиться і буде мати F_б,а сила в стику деталей з'єднання зменшиться до F_Д.Тоді ж болт додатково здеформується на Δλ_б, а деформація деталей з'єднання зменшиться на Δλ_Д.

Зв'язок між силами та деформаціями деталей даного з'єднання показаний графічно у вигляді діаграми на рис.11.14. У межах пруж­них деформацій маємо лінійну залежність між деформаціями і наван­таженням деталей з'єднання. Пряма 1 зображає залежність деформа­ції болта від його навантаження,

а пряма 2 – те саме для деталей з'єднання. Кути α і β нахилу графіків до осі абсцис характеризують відповідно поздовжню жорсткість болта с_б і деталей з'єднання с_д

(tg α = с_б, а tg β = с_д). На рис. 11.14 показано, що після наванта­ження болта силою F₀ його деформація буде λ_б, а деталей з'єднан­ня – λ_Д.

Перенесемо графік деформації деталей із положення 2 в положен­ня 2'. При цьому ордината точки перетину графіків 1 і 2'буде ви­значати силу попередньої затяжки болта F₀.

Після прикладання до з'єднання зовнішньої осьової сили Fболт додатково збільшить свою довжину на Δλ_б (рис. 11.14), внаслідок чого деформація стику деталей зменшиться на таке саме значення Δλ_Д = Δλ_б, а сила стиску деталей впаде до значення F_Д.Повне осьове навантаження болта буде дорівнювати сумі F і F_Д.

При певній силі попередньої затяжки болта F₀ із збільшенням зовнішньої сили Fзменшується F_Ду стику деталей. Якщо F_Д =0, то порушується нормальна робота з'єднання, наприклад втрачається герметичність, відбувається розкриття стику деталей або зсув дета­лей при наявності відповідних бокових сил.

Згідно з рис. 11.14 повне осьове навантаження болта, яке вира­жено через силу його попередньої затяжки F₀, може бути записане у вигляді

F_б = F₀ + ΔF, (30)

де ΔF – частина зовнішньої сили F,що додатково навантажує болт.

Значення ΔF визначимо із умови Δλ_б = Δλ_Д:

Δλ_Д = ΔF/c_б; Δλ_Д = (F – ΔF)/c_Д; ΔF/c_б = (F – ΔF)/c_Д.

На основі записаних співвідношень маємо

ΔF = ΔFc_б /(с_б + с_Д) = χF. (31)

Тут χ – коефіцієнт зовнішнього навантаження, що залежить від жорсткостей болта та деталей з'єднання,

χ = с_б/(с_б + с_Д). (32)

Із виразу (31) видно, що в з'єднанні з попередньо затягнутим болтом зовнішня сила F не повністю передається на болт, оскільки χ < 1.

Згідно із співвідношеннями (30) та (31) маємо

F_б = F₀ + χF. (33)

Силу F_Ду стику деталей на основі рис. 11.14 можна записати у вигляді

F_Д = F₀ – (F – ΔF) = F₀ – F(1 – χ). (34)

Щоб запобігти розкриттю стику деталей з'єднання, треба забез­печити умову F_Д > 0, тобто F₀ > F (1 – χ). (35)

Достатня сила попередньої затяжки болта F₀, що забезпечує нерозкриття стику деталей, є необхідною умовою надійності та герме­тичності з'єднання. Практично нерозкриття стику залежить не тіль­ки від попередньої затяжки болта, а й від збереження цієї сили в ек­сплуатації з'єднання. Останнє визначається такими факторами, як якість обробки поверхонь стику, число поверхонь стику, якість різь­би болта і гайки, надійність стопоріння різьби, наявність прокладок (пружних чи жорстких) між деталями з'єднання та ін.

Практичний розрахунок з'єднання затягну­тим болтом, навантаженого постійною зов­нішньою осьовою силою.

Розрахункова сила, що діє на болт, визначається із умови нероз­криття стику на основі виразу (33) з урахуванням скручування болта при його затяжці:

F_б,p = F₀β + χF = (k₃β+χ)F. (36)

Оскільки потрібна сила попередньої затяжки болта залежить від ряду факторів, що важко піддаються врахуванню та розрахунку (в тому числі і від жорсткостей болта і деталей з'єднання, які входять в коефіцієнт χ, доцільно застосовувати високу попередню затяжку. Це положення повністю підтверджується в умовах експлуатації різьбових з'єднань. На практиці рекомендують брати

F₀ = k₃F,(37)

де k₃ – коефіцієнт затяжки болта, який при статичному навантажен­ні з'єднання можна брати: за умови нерозкриття стику деталей з'єднання k_З = 1,2...2; за умови герметичності з'єднання: k₃ = 1,3... 2,5 – при м'яких прокладках між деталями з'єднання; k₃ = 2... 3,5 – при металевій фасонній прокладці; k_З = 3...5 – при металевій плоскій прокладці.

Підвищені значення коефіцієнта затяжки болта беруть для випад­ків з'єднань з некотрольованою затяжкою.

У більшості практичних випадків визначення жорсткостей болта с_б і деталей с_д пов'язане із значними труднощами. Тому коефіцієнт зовнішнього навантаження χ у формулі (36) можна брати χ = 0,2...0,3 для з'єднань без м'яких прокладок між деталями. Це підтверджується відповідними дослідними даними.

Розрахункова сила на болт F_б.р, що визначається за формулою (36), дозволяє розрахувати потрібний внутрішній діаметр різьби болта за умовою міцності на розтяг:

.(38)

Згідно із значенням d₁назначають стандартний діаметр різьби болта.

З'єднання затягнутим болтом, що навантажене змінною зовніш­ньою осьовою силою. Вище було показано, що в затягнутому болтово­му з'єднанні зовнішня сила передається на болт частково [див. ви­раз (31)], до того ж із зменшенням жорсткості болта с_б і збіль­шенням жорсткості деталей с_Д зменшується приріст ΔF зовнішньої сили на болт. Цю обставину використовують на практиці при проек­туванні з'єднань, що навантажені змінними силами.

На рис.11.15,а,бпоказана зміна ΔF при однакових зовніш­ній F та повній осьовій силі F_б на болт для випадків більш та менш жорсткого болта (с_б1 = tgα₁ > с_б2 = tgα₂). У першому випадку змін­на складова ΔF₁ повного навантаження F_б болта більша, ніж та сама складова ΔF₂у другому випадку. Характер зміни ΔF₁ і ΔF₂відповідає характеру зміни зовнішньої осьової сили F.

Внаслідок того що втомна міцність болтів залежить від змінної складової навантаження, можна дійти висновку, що застосування болтів малої жорсткості при достатньо жорстких деталях з'єднання є одним із способів підвищення витривалості болтового з'єднання.

Зменшити жорсткість болтів можна збільшенням їхньої довжини, зменшенням діаметра у гладкій частині стержня, де відсутня концен­трація напружень, або висвердлюванням поздовжніх отворів (рис. 11.16) за умови забезпечення однакової статичної міцності бол­тів у їхніх нарізаній та ненарізаній частинах.

У з'єднаннях затягнутим болтом, що навантажені змінною зовніш­ньою осьовою силою, розрахунок на втому виконують за умови

s = σ_–1Р/(Κ_σσ_а/Κ_d + ψ_σσ_m ≥ s_min, (39)

де s – розрахунковий коефіцієнт запасу міцності; s_min – міні­мально допустиме його значення (s_min = 3... 4 – при неконтрольованій затяжці болта в з'єднанні,

s_min = 2,0... 2,5 – при контрольова­ній затяжці).

Амплітуда напруження σ_a визначається як половина напружен­ня від змінної складової ΔF зовнішньої сили, що довантажує болт (див. рис. 11.15), тобто

σ_а = ΔF/(2A_б) = 2Fχ/(πd₁²). (40)

Середнє напруження σ_mдорівнює сумі напружень від сили попе­редньої затяжки F₀ та половини ΔFзмінної складової зовнішньої сили:

σ_m = (F₀ + 0,5ΔF)/A_б = 4 (k_ЗF + 0,5χF)/(π d₁²). (41)

Тут беруть коефіцієнт зовнішнього навантаження χ = 0,10... 0,15 для болтів малої жорсткості, а коефіцієнт затяжки k_З = 3... 4.

Границя витривалості матеріалу болтів при розтягу σ_–1Р ≈ 0,35σ_В коефіцієнти ψ_σ ≈ 0,1, К_d ≈ 0,90...0,97 при d = (16...32)мм, а Κ_σ = 4,0...5,5 для болтів із легованих сталей і K_σ = 3,5...4,5 для болтів із вуглецевих сталей.

Ексцентричне навантаження болта в з'єднанні. Ексцентричне на­вантажен–ня болта виникає в разі використання спеціальних болтів із костильною головкою (рис. а) або при перекошених опорних площинах під гайку або головку болта (р. б).

У таких випад­ках, крім напруження розтягу σ_ρ, у стержні болта ще з'являються напруження згину σ:

σ_ρ = 4F/(π d₁²); σ = M/W₀ = Fe/(0,1d₁³).

При е = d₁ маємо σ/σ_ρ = 7,8, тобто напруження згину значно перевищує напруження розтягу болта. Ексцентричне навантажен­ня болта значно знижує його міцність, тому при конструюванні та виготовленні з'єднання слід запобігти умовам виникнення такого навантаження болта.