Метод виртуальных перемещений в задачах движения нескольких тел.

Теорию и строгое обоснование этого метода можно найти в учебниках по Теоретической механике. Здесь будет только показано его применение к одномерному движению связанных между собой нескольких тел. Все эти задачи можно решить стандартными методами, рассмотренных в учебниках Общей физике и решения их вам хорошо известно. Однако предлагаемый метод в несколько раз сокращает вычисления, при его применении уменьшается вероятность сделать ошибку. Именно поэтому и возникло желание показать его вам – студентам, которые еще не добрались до теоретической механике, либо этот предмет вообще отсутствует в программах вашей специальности.

Начнем с задачи, показанной на рисунке, решение которой практически можно написать сразу. Массы тел, момент инерции блока и его радиус известны. В предположении, что нить невесома, она не проскальзывает по блоку, у которого трения в оси нет, ускорение правого тела равно:

Приступим к пояснению метода. В большинстве задач по этой тематике бывают очень небольшая разновидность тел. Во-первых, «кубики», движущиеся поступательно либо по плоскости, либо на нитях. Во-вторых, блоки либо закреплены, либо подвешенные на нити. В-третьих, цилиндры, катящиеся по плоскости.

Уравнения движения бывают двух типов: второй закон Ньютона для поступательного движения «кубиков» и уравнение для момента импульса вращающегося блока или цилиндра относительно оси. Напишем эти уравнения для трех тел системы, показанной на рисунке:

Для первого уравнения выбрано направление, обратное оси . Мы как бы развернули движение всех тел в одном направлении.

Далее начнется формализм, но который не противоречит математике. Перенесем правые части уравнений в левые и сложим и умножив каждое на бесконечно малое, как его принято называть, виртуальное перемещение и сложим все уравнения:

Под виртуальными перемещениями в этой формул следует понимать либо поступательные перемещения кубиков, либо угол поворота блока.

Если обозначить виртуальное перемещение тела , ускорение которого мы ищем, , то все остальные виртуальные перемещения можно выразить через него (мы считаем, что нити нерастяжимые, и это является ограничением этого метода) с точностью до постоянных коэффициентов, который определяются геометрией системы:

Из постоянства коэффициентов следует связь ускорений:

Найдем коэффициенты :

 

      

Выразим ускорения линейные или угловые тел системы через ускорение :

Подставим найденные  и  в формулу суммы уравнений движения:

Внутренние силы натяжения нитей входят попарно с разными знаками и их можно удалить из уравнения:

Сократим на виртуальное перемещение и перегруппируем члены:

Из этого выражения и следует ответ, с которого мы и начали.

Подставим в предпоследнее уравнение коэффициенты :

Тогда из этого выражения можно получить общую формулу для определения :

Чтобы вы не делали ошибок, следует еще раз четко пояснить смысл величин, входящих в нее, и ограничения, при которых ее можно применять. Силы  - это силы, совершающие работу над телами системы и приводящие к изменению ее кинетической энергии. Силы внутренние, действующие со стороны связей (натяжение нитей) в эту формулу не входят. Каждый отрезок нити действует на два тела равными силами, но противоположными по направлению. При перемещении тел работа этих сил на все тела будет равна нулю.

Силы трения качения без проскальзывания также учитывать не надо. Их суммарная работа в поступательно и вращательном движении тела рана нулю. Под  следует понимать либо массу тела, либо его момент инерции. Если тело вращается и одновременно движется поступательно, то удобней записывать два слагаемых с  и с . Коэффициенты  находятся из геометрических соотношений конкретно для каждой задачи. Необходимые условия применимости. Нити должны быть нерастяжимыми, в противном случае  не будут постоянными, а при получении формулы было заложено их постоянство. По этой же причине тела не могут быть соединены пружинками. Формула не применима, если качение с проскальзыванием. В этом случае поворот тела никак геометрически не связан с его поступательным движением центра масс.

И в заключение краткого теоретического введения практический совет. Решение оформляется в виде таблички и на ее основании пишется ответ. Для рассмотренной задачи табличка имеет вид, показанный на рисунке.

Приведем несколько задач, решение которых будет найдено эти методом.

 

Качение цилиндра. Найти ускорение тела, висящего на нити. Блок вращается без трения. Нить по блоку не

проскальзывает, невесома, нерастяжима. Цилиндр катится без проскальзывания. Массы, моменты инерции, радиусы известны. Все виртуальные перемещения тел рассматриваем по отношению перемещения опускающегося тела. Они занесены в таблицу. Там же приведены и необходимые коэффициенты для написания ответа:

 

 

 

 

 

Система блоков с грузами 1. Все величины, показанные на рисунке и радиусы блоков известны. Моменты инерции приведены относительно осей блоков. Проскальзывания нити отсутствует. Найти ускорение тела

В качестве основного перемещения выбираем перемещение первого груза. Рисуем таблицу и заносим в неё перемещения остальных тел. Перемещение двух правых тел будет таким же, как и перемещение двух левых тел из-за не растяжимости нити и их симметрии. Если два левых дела опустятся на какое-то расстояние, то длина всей левой нити увеличится на удвоенное это расстояние. Поэтому в коэффициенте для этого тела появиться множитель двойка. Приведем таблицу, хотя ответ можно сообразить в уме.

После заполнения таблицы не составляет труда написать ответ:

Конечно, рассмотренный метод во много раз проще и короче стандартного, при использовании которого придется решать систему из семи уравнений движения плюс еще более дополнительных уравнений для сил и геометрических соотношений. Вероятность допустит глупую ошибку при преобразованиях также во много раз меньше. Но если это зачетная задача, то вас вправе попросить написать все уравнения и решить их, либо объяснить этот метод. И даже после вашего объяснения возможны два варианта. Первый вами восхитятся, как вы интересуетесь и любите физику. Но есть и второй вариант. Вас не поймут. И может дело кончится, как в сказке дедушки Крылова: «Ты виноват уж тем, что хочется мне кушать, сказал и в темный лес ягненка поволок».

 

 

Система блоков с грузами 2. Чтобы обойтись небольшим рисунком на нем проставлены только номера тел и показаны силы, определяющие ускорение системы тел. Для всех тел известны массы, необходимые момента инерции и радиусы. У катящегося без проскальзывания цилиндра на торцах имеются устройства для крепления параллельных нитей, которые своими концами прикреплены к пятому телу. Вид сверху показан на втором рисунке. За основное перемещение принимаем перемещение первого тела и заполняем таблицу и на основании ее пишем ответ:

Если будет перевешивать пятое тело, то не забудьте, поменяв знак перед всей формулой, поменять знак у силы трения.

Числитель будет равен:

Знаменатель не изменится. И  конечно останется.