Вычисление моментов инерции.

При рассмотрении вопросов теории в формулах пишутся суммы. При применении теории в конкретных вычислениях моментов инерции суммы заменяются на интегралы, особенно любимые в первом семестре. Вычисление момента инерции относительно произвольной оси , которая может проходить как через тело, так и вне его, как вам известно, вычисляется по формуле:

Если ось проходит через центр масс тела, то мы будем использовать двойной индекс , если же относительно этой оси вычисляется один из главных моментом инерции, то будем использовать следующее обозначение . Если не оговорено противное, мы будем вычислять моменты инерции для однородных тел. В этом случае плотность  можно вынести из-под знака интеграла.

Вы уже знакомы с тем, что для упрощения вычислений часто используются некоторые абстракции (например, точечное тело или материальная точка, невесомая пружина и т.д.). Так и сейчас мы будем вычислять момент инерции бесконечно тонкого стержня, или бесконечно тонкого диска. Это приближение означает, что длина стержня много больше его диаметра, а толщина диска много меньше его радиуса. Конечно, при этом полученный результат не будет абсолютно точным. Вообще в физике нельзя при вычислениях учесть все, такая задача будет не разрешимой, да и вообще поставить задачу с учетом всего-всего невозможно.

Поэтому удобно оперировать с линейной массой для бесконечно тонкого стержня , и массой, приходящейся на единицу площади для бесконечно тонкого диска . Мы будем для определенности считать выбранную ось осью Z.

 

1. Бесконечно тонкий стержень. Ось Z проходит через середину стержня и перпендикулярна ему. Ось Х направим по стержню. Советую сделать рисунок. Я сэкономлю время и объем. Пишем для этого случая интеграл:

Если стержень не перпендикулярен оси, а составляет некоторый угол, то правую часть последней формулы надо просто умножить квадрат синуса угла. Посмотрите на бесконечно малый элемент стержня. Если мы наклонный стержень «делаем» мысленно перпендикулярным, то распределение всех элементарных масс относительно оси не измениться. Такой стержень будет иметь длину , его линейная плотность соответственно возрастет. Если считать известной последнюю формулу, то момент инерции будет равен:

Важно подчеркнуть, что формула верна только при условии, что линейная плотность стержня одинакова.

 

2. Цилиндр. Ось Z совпадает с осью цилиндра. На рисунке показан вид сверху (ось , относительно которой вычисляется момент инерции, направлена перпендикулярно плоскости рисунка на нас).  Вычисления делаем в цилиндрической системе координат. Вообще систему координат следует выбирать в соответствии с симметрией задачи. Вычисляем, так называемый тройной интеграл. В нашей практике все многомерные интегралы всегда можно будет представить в виде произведения нескольких «обычных» интегралов

одной переменной:

- радиус цилиндра. Как видите, высота цилиндра выпала из окончательного ответа. Следовательно, эта формула применима и для бесконечно тонкого диска.

 

3. Шар. Вычисления делаем в сферической системе координат. Начало координат в центре шара. Бесконечно малый объем в сферической системе координат равен:

Вычисляем момент инерции:

Подчеркну, - расстояние от оси, - модуль радиус-вектора, - радиус шара.

4. Бесконечно тонкий диск. Ось Z совпадает с одним из диаметров диска. Начало координат в центре диска:

Теорема Штейнера. Предположим мы умеем вычислить момент инерции некоторого тела относительно главной оси, проходящей через центр масс этого тела. А тело, в какой либо установке вращается не вокруг этой оси, а в параллельной ей, находящееся на расстоянии L. При помощи теоремы Штейнера Момент инерции относительно смещенной оси вычисляется в одну строчку. Но прежде докажем эту теорему.

На рисунке показана одна материальная точка твердого тела. Главная ось инерции перпендикулярна плоскости рисунка и проходит через точку С – центр масс тела. Мы хотим вычислить момент инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через точку 0. Направление оси Z совпадает с этими двумя осями. Напишем очевидное соотношение для трех векторов:

Возведем в квадрат обе части равенства и умножим его на массу выделенной точки. В результате получим:

Осталось просуммировать по всем точкам тела:

Левая часть есть искомый момент инерции относительно смещенной оси, сумма в первом члене правой части есть масса всего тела, сумма во втором члене тождественно равна нулю (по определению центра масс, это пояснено ниже), третий член есть момент инерции относительно главной оси:

      

Последнее равенство и есть суть теоремы Штейнера.

Пояснение. Формула для определения центра масс тела имеет вид:

Если начало координат выбрано в центре масс, то все суммы в числителях равны нулю. Из этого вытекает использованное выше зануление среднего члена в правой части:

 

  5. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящий через  его конец. Этот момент инерции легко вычисляется без использования теоремы Штейнера, Но мы для иллюстрации воспользуемся ей:

Эту формулу желательно запомнить, так как момент инерции стержня, закрепленного за конец, будет нужен во многих задачах.

 

6. Момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через его конец. Этот пример также на применение теоремы Штейнера (см. рис.). Выделим на произвольном расстоянии  очень тонкий цилиндрик толщиной . Его момент инерции относительно оси параллельной оси Z, но проходящей через него, будет равен моменту тонкого диска, вычисленному в четвертом примере:

Момент инерции этого бесконечно тонкого диска относительно оси задачи равен:

Чтобы найти момент инерции цилиндра, надо последнее выражение проинтегрировать:

Заменив плотность через массу и объем цилиндра:

.

получим окончательное выражение:

Получили суперпозицию моментов тонкого диска и стержня. Знать бы, можно было бы не вычислять, а написать сразу.

Не представляет труда написать формулу для момента инерции, если ось проходит не через конец цилиндра, а через его центр масс. Надо просто удвоить поученный выше момент инерции:

В конечной формуле - масса всего цилиндра (2-х его половинок), а - его полная длина.

 

6. Момент инерции конуса. Принципиальное отличие от предыдущего примера только в том, что массы бесконечно тонких дисков являются функцией , так как растет их радиус. Для удобства вычислений будем считать, что начало систему координат совпадает с вершиной конуса. Тогда радиус диска будет равен:

Напишем формулу для произвольного бесконечно тонкого диска:

 

Интегрируя, получим:

Осталось заменить плотность материала на объем и массу конуса. А что делать, если вы забыли объем конуса, а пользоваться справочником нельзя? Надо вычислять самим. Ведь вычисления объема даже проще, чем сделанные выше.

Объем произвольного бесконечно тонкого диска равен:

Проинтегрировав, находим объем конуса:

Теперь можно получить окончательно выражение для момента инерции конуса:

 

7. Момент инерции тонкой прямоугольной пластины относительно оси, проведенной через центр масс и перпендикулярной плоскости пластины. Вернемся к моменту инерции тонкого стержня относительно произвольной оси, но перпендикулярной ему. Его момент инерции относительно оси  (проходящей через начало координат и перпендикулярной плоскости рисунка) равен:

Заменив стержень на бесконечно узкую полоску, напишем ее момент инерции для произвольного :

Подставив  и проинтегрировав от нуля до , получим момент инерции половины пластины:

Заменив плотность на единицу площади всей пластины, предварительно умножив полученный результат на два, получим момент инерции прямоугольной пластины относительно оси, проходящей через центр масс:

8. Момент инерции конуса относительно оси, совпадающей с осью конуса. Так как вычисления подобны, рассмотренным выше примерам, мы сразу начнем с интегрирования момента инерции:

 

9. Вычисление моментов инерции методом введения фиктивной отрицательной плотности. Чаще всего этот метод используется при наличии пустот в теле. Мы назвали его так для образности. Если момент тела без полости вы знаете и знаете момент инерции тела по форме полости, то вычисление момента тела с полостью потребует простой алгебры. Вы заливаете полость положительной веществом плотностью, которое имеете тело, и заливаете полость веществом с такой же по величине, но отрицательной плотностью. Фактически вы не сделали нечего. Но можно вычислить искомый момент как сумму моментов инерции тела без полости и момента инерции тела с отрицательной массой (естественно он будет отрицательным). Именно поэтому, сначала во всех примерах были приведены моменты инерции через плотность, только потом она заменялась на массу. Ниже мы его проиллюстрируем на двух примерах: сферической оболочки и диска с квадратным отверстием.

Но вначале начнем с часто допускаемой ошибки студентами. Задаешь студенту вопрос (на экзамене или зачете): «Вы помните главный момент инерции однородной сферы?». Ответ: «Да». После этого задаешь второй вопрос: «Вычислите момент инерции сферической оболочки, если известны радиусы внутренней и внешней поверхностей и ее масса?». И в большинстве случаях получаешь моментальный ответ:

И радостный взгляд, что дали такой простой вопрос. Но ответ неправилен! Человек делает глупую ошибку. Ведь массы полного шара одна, масса шара, который вырезается совсем другая и не одна из них не является заданной массой оболочки. Хотя идея вычисления была здравая.

Вычисления столь просты, что можно не пояснять:

Последний пример. Представьте себе колесо в виде тонкого диска с четырьмя квадратными отверстиями, центры которых расположены на расстоянии  от оси диска. Стороны отверстий равны , радиус диска равен , масса колеса известна. Вычислить момент инерции относительно оси перпендикулярной диску и проходящей через его центр.

Вычисляем момент инерции по формуле:

Полученный результат надо на массу колеса и разделить на его площадь. Сделаете это сами. А мы закончим эту тему, а то она из примеров по решению превратится в справочник по моментам инерции.