Движение твердого тела с изменением ориентации в пространстве момента импульса.

Прецессия гироскопа. Мы не будем рассматривать общий случай движения тела, при котором изменяется ориентация оси вращения в пространстве, а ограничимся частными примерами движений, понимание которых будет необходимо в разделах физики, которые будут изучаться в последующих семестрах.

Прежде всего, рассмотрим прецессию вращающегося гироскопа, закрепленного в одной точке, в поле тяжести Земли. Гироскоп это тело с симметричным распределением массы, что-то похожее на детский волчок. Нижняя точка главной оси инерции, вокруг которой его раскручивают как можно с большей угловой скоростью , закрепляется в шарнире, причем трение в нем должно быть как можно меньше. Мы при рассмотрении сделаем предположение, что оно вообще отсутствует. Тогда собственный момент импульса гироскопа  относительно его главной оси будет сохраняться. На рисунке показано положение гироскопа в момент времени, когда его центр масс С находился в плоскости рисунка. Относительно начала координат на гироскоп действует момент силы тяжести . Направление силы показано вертикальной стрелочкой, направленной вниз. Модуль момента силы тяжести:

Угол  отсчитывать от оси Z. Направлен этот момент перпендикулярно плоскости рисунка от нас. За бесконечно малое время  вектора собственного момента импульса гироскопа получит бесконечно малое приращение = , которое будет направлено по направлению момента силы. Приращение импульса можно записать в виде , в котором  бесконечно малый угол поворота вокруг оси Z. Таким образом, можно написать равенство:

 

Поделив обе части на  и , получим угловую скорость поворота оси гироскопа вокруг оси Z, которая будет образующей поверхности конуса:

Эта угловая скорость называется скоростью прецессии (но не процессии!) гироскопа. Вы видите, что она не зависит от угла гироскопа. Можно закрепить верхний конец оси гироскопа на потолке, от этого результат не изменится.

Однако есть одна тонкость, которая не заметна при таком выводе. Все будет происходить так, как описано выше при одном условии, что в начальный момент времени, энергия гироскоп с угловой скоростью , вы не просто отпускаете ось, но и придаете ей соответствующую скорость прецессии. Если вы ее просто отпускаете такого «гладенького движения» не получится. Почему? По очень простой причине. Если трение отсутствует, нет неконсервативных сил и полная механическая энергия должна сохраняться. Она складывается в начальный момент времени, пока ось неподвижна, из собственной энергии вращения гироскопа  и потенциальной энергии в поле тяжести земли . При движении появляется кинетическая энергия поступательного движения центра масс . Следовательно, какая-то энергия должна уменьшиться. Уменьшается потенциальная энергия, поэтому ось гироскопа начинает не только прецессировать, но и отклоняться вниз. Поэтому конец вектора собственного момента импульса будет двигаться не по окружности, а описывать некоторую волнистую линию. Вычисление размаха колебаний по углу  не входит в программу первого семестра.

Стоит подчеркнуть, что все выше написанное сделано в предположении, что собственный момент импульса гироскопа много больше момента импульса прецессии:

Это ограничение будет иметь место и при рассмотрении следующих примеров.

  Движение гироскопа в карданном подвесе. На рисунке показан один из вариантов конструкции карданного подвеса. Важно, чтобы ось гироскопа (изображен внутри второй круговой оправы) могла принять любое направление в пространстве. Внешнее кольцо может вращаться вокруг горизонтальной оси. Внутреннее кольцо может вращаться вокруг вертикальной оси (в положении, показанном на рисунке). Если повернуть обе кольцевых оправы на угол π/2, ось гироскопа примет вертикальное положение. Поворачивая кольцевые оправы, мы можем в двух взаимных направлениях наклонить ось на произвольный угол. А произвольность направления наклона оси обеспечивает возможность вращение всей конструкции нижний вертикальный подшипник. Центр масс гироскопа должен находиться на пересечении всех осей. Собственный момент импульса, каким либо способом раскрученного гироскопа, имеющего произвольно направленную ось вращения, в инерциальной системе будет сохраняться.

Отвлечемся от всей конструкции и рассмотрим следующую ситуацию. Предположим гироскоп находиться в положении, показанном на рисунке, и вращается так, что его собственный момент импульса направлен слева направо. Если мы начнем поворачивать внешнее кольцо по часовой стрелке, то на гироскоп начнет действовать момент силы прикладываемой нами для изменения момента собственного импульса, причем направление момента силы будет перпендикулярно плоскости рисунка и направлено от нас. Ось гироскопа начнет поворачиваться вместе с внутренним кольцом, причем конец момента импульса будет удаляться от нас. Когда ось гироскопа примет перпендикулярное положение относительно плоскости рисунка, момент сил станет практически равным нулю. В последующие время ось гироскопа будет совпадать с направлением угловой скорости принудительного вращения. Приращение момента импульса при вращении его оси можно представить как произведение , где  бесконечно малый угол поворота оси гироскопа. Так как производная от момента импульса равна моменту сил, то . Запишем это соотношение в векторном виде:

 Последнее будет понятней, если рассмотрите все вектора, входящие в положении гироскопа на рисунке. Момент импульса по горизонтали слева направо, угловая скорость вертикальна и направлена снизу вверх, момент сил от нас.

Из рассмотренного поведения гироскопа сразу вытекает его применение. Как вы знаете Земля не инерциальная система, главное, из-за ее вращения вокруг своей оси. Но это дает возможность использовать гироскоп в карданном подвесе как компас, так как его ось принимает положение параллельное оси Земли.

 

Статика.

Краткое напоминание теории. Для того, чтобы точечное тело (материальная точка) покоилось необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма всех действующих на него сил, была равна нулю. Этому определению эквивалентно равенство нулю проекций на три взаимно перпендикулярные оси координат.

Для твердого тела одного этого условия недостаточно. Необходимо добавить условие равенства нулю суммарного момента сил относительно произвольной точки. Практически удобнее проверить равенство нулю суммарных моментов относительно трех осей, что является эквивалентным предыдущему условию. Это легко проверить, а проверив равенство нулю момента сил относительно двух-трех точек нет уверенности, что есть точка, относительно которой он не равен нулю.

И в заключение этого введения, практический совет: при решении большинства задач проще находить искомые величины не из условия для сил, а условия для моментов сил. Для иллюстрации последнего мы начнем с такой задачи.

 

Задача о хорошей девочке и плохом мальчике. Познакомились мальчик с девочкой и присели поговорить на скамеечку. Схематично это показано на рисунке. Геометрические размеры известны,  - масса мальчика,  - масса девочки,  - масса однородной доски лавочки. Надо определить реакции опор.

Берем момент всех сил относительно точки левой опоры и приравниваем его нулю:

Таким образом, реакция правой опоры равна:

Аналогичным методом находим реакцию левой опоры:

Для проверки вычислений находим векторную сумму внешних сил, действующих на доску лавочки:

Все правильно, можно продолжать дальше.

Кто прав? Говорили они на скамеечке конечно о физике. В частности о такой задаче. Двое держат однородную доску за самые ее концы. Доска горизонтальна. Затем один отпускает свой конец, и доска начинает падать. Как измениться нагрузка на руки того, кто держит доску в самый начальный момент времени?

Мнение мальчика: «Я отпустил – тебе станет тяжелее, так как теперь ты держишь одна всю доску».