Мнение девочки: «доска была неподвижна, а после того как ее отпустили, она начала падать и мне будет легче, так как не нужно удерживать ее в горизонтальном направлении».

Кто же из них прав?

Поговорили они, и девочка пригласила мальчика к себе в гости. Пока она была на кухне, мальчик спустил связку ключей на ниточки до земли (девочка жила на втором этаже), и ниточку положил в карман. Мальчик учился на втором курсе в техническом вузе и уже прошел раздел механики. Попили они чайку и расстались.

 

Как мальчик попал в больницу. Через несколько дней мальчик нашел лестницу достаточной длины. Вечерком приставил к нижнему краю окна так, чтобы ее было не видно из окна, влез на нее на метр вверх, убедился, что все нормально, и полез к окну. Когда он долез практически до самого верха, лестница начала скользить. Девочка услышала грохот и вскрик за окном. Выглянула. Но она была хорошей девочкой. Поэтому вызвала не милицию, скорую. Мальчик, пока его везли в беспамятстве, повторял все время: «хорошо, что пополам». Когда он пришел в сознание, его спросили, почему он повторял эту фразу. Он ответил, если бы кинетическая энергия была не М, V в квадрате пополам, то я бы был покойником, упав с такой высоты. Кончилось благополучно, но забегая вперед, скажем, что ему пришлось брать академический отпуск.

Если бы мальчик был хорошим (и умным), то он занимался физикой, не а бы сдать, а изучал бы ее так, чтобы с помощью теории свободно решать задачи. Как бы поступил бы умный мальчик. Прежде всего, он разобрался с такой задачей.

   Предположив, что лестница, имеющая длину , невесома, он поместил на нее тело массой  на расстоянии и исследовал, как зависит устойчивость лестницы от расстояния . Взяв момент сил относительно точки соприкосновения лестницы с горизонтальной поверхностью, приравняв его нулю, нашел величину реакции стенки на верхний конец лестницы (в предположении отсутствия трения между стенкой и лестницей она будет перпендикулярна поверхности стенки):

Эта сила при неподвижности лестницы должна уравновешиваться силой трения покоя . Но сила трения покоя ограничена по величине:

Следовательно, должно выполняться неравенство:

Из последнего неравенства следует (при заданных величинах в правой части), что при больших  это неравенство может перестать выполняться, и лестница начнет падать. И хороший мальчик сделает вывод, что надо решить следующую задачу.

Лестница однородна, ее сила тяжести приложена к средней точке лестницы. На верхний конец лестницы помещено точечное тело массой равной массе человека. И определить из нее, будет ли лестница устойчива при всех известных параметрах.

Условие равенства момента сил, относительно нижней точки лестницы будет иметь вид:

Находим из него реакцию стенки:

Находим величину силы трения и неравенство, которому она должна удовлетворять:

Из этого неравенства, предположив, что масса человека втрое больше массы лестницы, находим неравенство, связывающее коэффициент трения скольжения с допустимым углом:

При большем отношении массы человека к массе лестницы, числовой коэффициент в правой части будет стремиться к единице. Для лестницы без человека это неравенство равно:

Это ограничение для тангенса допустимого угла в два раза мягче. Поэтому грубой ошибкой плохого мальчика был вывод, что лестница не начнет скользить, если она не скользит, когда он на нее влез совсем не высоко.

Если высота до окна и длина лестницы не позволяют ее установить под необходимым углом, то можно на верхний конец лестницы, прибить резиновую прокладку, как это сделано на нижнем конце лестницы, и снова рассчитать ее устойчивость при наличии силы трения между верхним концом лестницы и стеной дома. И умный мальчик это сообразил и решил эту задачу. 

В этом случае при начале проскальзывания появится сила трение скольжения (все время рассматривается предельный случай, в тот момент, когда начинается скольжение, иначе нельзя писать выражения для силы трения скольжения). На рисунке она обозначена . В предыдущих задачах и в этой задаче мы считаем коэффициент трения известным, так как умный мальчик догадался его вычислить из найденного предельного угла из опыта, наблюдая начало скольжения пустой лестницы. При наличии трения в верхнее точке в уравнение для момента сил относительно нижней точки появится еще одно слагаемое:

Из последнего равенства находим :

Чтобы лестница не скользила, должно выполняться неравенство:

Подставив полученное выше значение для силы , получим (далее простые но длинные преобразования):

 

Выпишем рядом формулу, полученную для задаче без трения о стену:

Видно, что знаменатель для формулы с трением меньше, следовательно, предельный угол несколько возрос. Если и при таком угле лестница слишком длинна и начинает быть видна из окна, то есть еще два варианта. Если лестница ваша, то ее можно укоротить. Если лестница не ваша, то укорачивать нельзя. Тогда надо выпросить еще одну лестницу, скрепить два верхних конца, нижние связать веревкой, чтобы они не разъезжались. Умный мальчик сообразит рассчитать натяжение, которое должна выдержать веревка.

Напишем выражения для момента сил относительно верхней точки лестниц, в ней же находится и человек, и приравняем его нулю:

Находим силу натяжения :

В этих формулах:  - высота до окна, которая была измерена ниткой плохим мальчиком,  = длина лестницы,  - расстояние до места привязки скрепляющей веревки. Силой трения при расчете пренебреженно, так как в реальных конструкциях всегда делают запас по прочности. И если веревка может выдержать это натяжение можно лезть, не рискуя оказаться в больнице.

 

Равновесие трех цилиндров. У плохого мальчика в больнице было много свободного времени, и он решил взяться за физику. Ему принесли учебники, тетрадку и ручки. Чтобы проверить понимание теории он решил задачу. И начал с того, что решил задачу на статику. Его заинтересовало, может ли конструкция из трех одинаковых цилиндров находится в равновесии, если на два вплотную положенных цилиндра осторожно положить третий. Коэффициент трения скольжения между поверхностями цилиндров и горизонтальной поверхностью он принял одинаковыми. Он сделал рисунок, нарисовал все силы, действующие на один из нижних цилиндров.

Черным цветом нарисованы «очевидные» силы:  - сила, с которой давит верхний цилиндр. Она равна:

                                

 - угол равностороннего треугольника, вершины которого находятся на осях трех цилиндров, . Сила  реакция со стороны поверхности, ее величину надо найти. Сила  понятна без объяснений.

Силы, нарисованные красным цветом, получены из следующих рассуждений. Мы ищем условия покоя цилиндра. Следовательно, чтобы покоился его центр масс, векторная сумма всех сил по горизонтали должна быть рана нулю. Это можно обеспечить только сила трения покоя между цилиндром и поверхностью. Поэтому должна существовать сила . Но цилиндр не дожжен и вращаться. Следовательно, момент сил относительно его оси должен быть равен нулю. Это равенство можно обеспечить силой трения покоя между рассматриваемым цилиндром и верхним цилиндром. Силы трения между нижними цилиндрами быть не может из-за симметрии конструкции из трех цилиндров. Сила - давление со стороны нижнего цилиндра ведена «на всякий случай». Если она окажется равной нулю, ничего «страшного не произойдет. Хуже, если она не равна нулю, а мы будем решать задачу без нее. Теперь можно приступить к вычислениям.

Из условия равенства нулю момента сил относительно оси цилиндра следует равенство сил трения;

Сумма проекций всех сил на вертикальное направление должна быть равна нулю:

Сумма проекций всех сил на вертикальное направление также должна быть равна нулю:

Подставив известную силу  и воспользовавшись равенством, полученным из момента сил, получим систему двух уравнений:

Наша предосторожность оказалась излишней. Мы можем положить силу  равной нулю. Найти из второго уравнения силу , а затем из первого уравнения силу . Сила  будет равна:

Находим силу :

Найденные значения сил трения должны быть меньше соответствующих значений сил трения скольжения:

Из этих неравенств находим необходимый коэффициент трения для устойчивости конструкции из трех цилиндров:

           

 

Выражение в скобках заведомо больше половины синуса в предыдущем неравенстве, и последнее полученное ограничение будет много слабее. Так что реальные цилиндры могут находиться в равновесии, так как такой коэффициент трения скольжения можно обеспечить. Однако никаким коэффициентом трения нельзя добиться равновесия, если коэффициент трения между цилиндрами будет равен нулю. В этом случае (при большом коэффициенте трения между цилиндрами и поверхностью) цилиндры будут раскатываться без проскальзывания.

 

Цепная линия. Между двумя опорами натянута однородный шнур, имеющий линейную плотность . Длина

шнура равно . Между опорами расстояние равно , которое меньше длины шнура. Считать, что концы шнура прикреплены к опорам на одной высоте . Найти натяжение шнура в местах его прикрепления.

Вертикальная проекция силы натяжения шнура нам практически известна. Она равна половине массы шнура, умноженной на ускорение свободного падения. Чтобы вычислить силу натяжения надо найти либо горизонтальную проекцию силы натяжения, либо знать аналитическое выражение формы линии шнура . Тогда вычислив от нее производную в точке крепления шнура, можно найти тангенс угла .

На приведенном ниже рисунке показана правая половина шнура. И очень утрировано показан бесконечно малый элемент шнура , концевые точки которого помечены буквами  и .

Кроме сил натяжения, действующих на концы элемента шнура, показана сила тяжести , которая равна . Так как элемент покоится, то должны быть равны нулю суммы проекций всех сил, действующих на него:

Из этого уравнения следует, что горизонтальная проекция силы натяжения по всему шнуру постоянна:

Но как вычислить ее величину пока непонятно. Следовательно, придется искать форму кривой.

Для вертикальной проекции силы натяжения получаем уравнение:

Производную в точке , равную тангенсу угла наклона можно выразить через проекции сил натяжения:

Продифференцировав последнее уравнение второй раз, и учитывая, что , получим:

Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение, описывающее аналитически форму кривой шнура;

Порядок уравнения можно понизить, если первую производную обозначить функцией  и упростить, введя обозначение :

Разделим переменные в уравнении и запишем его в виде интегралов:

Интеграл, стоящий в левой части, есть в приложениях любого задачника. Списываем ответ:

Находим уравнение для первой производной:

Для дальнейшего рассмотрения проще всего выбрать начало координат в середине шнура, в его низшей точкой провисания. Тогда в этой точке производная должна быть равна нулю (минимум функции). Это будет выполняться, если константа интегрирования равна нулю. Следовательно, нам надо проинтегрировать второй раз уравнение:

 

Интегрируя, находим форму провисания шнура:

Вторую константу находим из условия равенства нулю функции в нижней точке:

Таким образом, форма линии провисшего шнура имеет вид:

 

Мы получили семейство зависимостей, которые получили название цепных линий. Наша задача из этого семейства выбрать ту, которая описывает наш конкретный шнур. Для этого осталось определить величину , в которое входит пока неизвестная горизонтальная проекция силы натяжения шнура.

Вычислим производную в точке прикреплении шнура и приравняем ее отношению :

Для определения числового значения горизонтальной проекции силы натяжения шнура в точке закрепления получили трансцендентное уравнение:

Физическая задача решена. Далее вы пишите программу и вычисляете на компьютере, как истинные физики-теоретики, либо берете калькулятор и начинаете по рабоче-крестьянси подбирать ответ.

 

 

Гидростатика.

Вся теория к этому разделу состоит из известного тысячелетия закона Архимеда и формулы известной с седьмого класса: пэ равняется ро-же- аш. Так что, придумать интересное практически невозможно. Поэтому начнем со случая на экзамене одного известного математика (фамилию забыл). Девочка сдавала экзамен, списала ответы на все вопросы. В голове у нее своего ничего за семестр по математике не накопилось. Профессор посмотрел экзаменационный лист, увидел, что написано все правильно и задал дополнительный вопрос на какое-то доказательство, на который ей нечего было сказать. Девочка возьми и выдай: «профессор, это же очевидно». Профессор задумался минут на пятнадцать, нашел не стандартный, а простой метод, подошел к ней и сказал: «это действительно очевидно». И поставил отлично. А вот теперь вопрос к вам.

Имеются два прямоугольных сосуда, в боковой поверхностях которых сделаны два отверстия. В отверстия вставлен круглый стержень, который может перемещаться без трения. Считать, что жидкость в зазор между стержнем и отверстием сосуда не вытекает. Один конец стержня выпуклая полусфера, второй конец вогнутая полусфера. В каком направлении будет перемещаться стержень, если его не удерживать?

Самое нерациональное, не думая начинать вычислять горизонтальные силы, действующие на стержень за счет давления жидкости. Вас же не просят вычислить величину сил. Не надо искать дополнительных приключений. Препод хочет проверить ваше понимание физики, а не умение вычислять интегралы по поверхностям разной формы. Это будут в свое время делать математики. Зачем опережать события.

А вот, если подумать, то интегралов вычислять вообще не придется. Предположим, что мы объединили два сосуда в один, а стержень положили на горизонтальную подставку в этом сосуде. И он, что будет двигаться? Любой скажет, что тела любой формы не начинают самопроизвольно перемещаться. А что с точки зрения сил в этом опыте изменилось по сравнению с двумя сосудами? Ничего. Следовательно, ответ на заданный вопрос можно получить без всяких вычислений. Стержень будет покоиться. И добавить, что задача тривиальна.

 

Сила давления жидкости на элемент поверхности. Конструкция ясна из рисунка. Стержень в поперечном сечении квадрат со стороной . Торцевая поверхность стержня такая же, как у молоточка для отбивания мяса для приготовления отбивных. Длина недеформированной пружины . Коэффициент упругости пружины равен . Плотность жидкости . Уровень жидкости выше оси стержня на величину . Найти энергию сжатой пружины в равновесном состоянии.

Из рассмотрения предыдущего вопроса вы должны были понять, что форма поверхности не имеет значения. Поэтому результирующую горизонтальную силу давления со стороны жидкости можно вычислять, считая поверхность плоской. Так как давление изменяется по линейному закону от нижней границы сечения стержня  до давления  на верхней границе сечения, то горизонтальная проекция силы, действующий на стержень со стороны жидкости, будет равна:

При равновесном положении стержня эта сила уравновешивается упругой силой со стороны пружины:

В этой формуле единственная неизвестная величина – длина пружины в равновесном положении стержня. Найдем ее:

По хорошо известной формуле находим энергию сжатой пружины:

Интересно посмотреть, как изменилась потенциальная энергия жидкости в поле тяжести земли. Вдвинем 

стержень в сосуд так, чтобы пружина была не деформирована. Объем вдвинутого стержня будет равен:

Этот объем жидкости создавал слой в соседе толщиной  выше уровня жидкости при выдвинутой части стержня. Если площадь сечения сосуда равна , то его толщина равна:

Масса этого объема воды равна:

Потенциальная энергия этого слоя, при выборе ее нуля на уровне оси стержня равна:

При выдвижении стержня этот объем воды увеличит объем слоя жидкости в сосуде между плоскостями по нижней и верхней поверхностям стержня. При выбранном нулевом уровне потенциальной энергии энергия этого слоя будет равна нулю. Таким образом, уменьшение потенциальной энергии всей жидкости будет равна:

Если из этой энергии вычесть энергию сжатой пружины, то мы получим убыль механической энергии:

Даже, если пренебречь вторым членом из-за малости , то энергия пружины вдвое меньше убыли потенциальной энергии воды. Куда «пропала» механическая энергия? Конечно, полная энергия сохранилась.

Это довольно легко объяснить. Если стержень отпустить из первоначального положения, когда пружина была не деформирована, то он не остановиться в равновесном положении, и будет далее сжимать пружину, двигаясь замедленно. После остановки он начнет вдвигаться в сосуд. Возникнут колебания, которые затухнут из-за не идеальности жидкости. Жидкость в процессе затухания будет нагреваться. Таким образом, «потерянная» механическая энергия перейдет во внутреннюю энергию жидкости и контактирующих с ней тел.

Эти расчеты были приведены, чтобы показать, что законом сохранения энергии пользоваться во многих случаях проще, чем уравнениями динамики, но это можно делать только тогда, когда вы полностью уверенны, что в вашей задаче механическая энергия сохраняется.

Между прочим, при мешании ложечкой в стакане чая, он нагревается. Когда я учился, у нас была лаба. Вертушка, закрепленная на валу электромотора, мешала воду в калориметре. По приборам можно было вычислить мощность, потребляемую мотором, а термометром определить нагрев воды. И провести сравнение.

Сила, действующая на плотину. Определить суммарную силу давления воды на плотину. Пунктиром показан уровень воды за плотиной.

Проще поверхность плотины представить в виде суммы двух фигур; прямоугольника со сторонами  и , и оставшегося прямоугольного треугольника. Давление на прямоугольную часть плотины равно:

Давление на треугольную часть находится интегрированием выражения, вывод которого ясен из рисунка:

 

 

Таким образом, суммарная сила равна:

Как плавают тела различной формы. Имеется квадратная пластина, толщина которой  много меньше стороны квадрата . Всем из опыта известно, что пластина будет плавать так, как изображено на левой половине рисунка. На правой половине рисунка показано положение пластины, в котором, если ее не поддерживать, больше нескольких секунд она не удержится. Ситуация здесь такая же, как и при попытке поставить стул на две задних ножки. Если вы и сумеете его так поставить, то он почти сразу либо встанет на все четыре ножки, либо упадет на спинку. Вам известно два положения равновесия. Одно положение неустойчивое, в котором потенциальная энергия максимальна, и устойчивое с минимумом потенциальной энергии. На обеих половинках рисунка пунктирной линией выделен объем жидкости, у которого при изменении положения пластины изменяется потенциальная энергия в поле тяжести земли. Плотность пластины, изображенной на рисунке, такова, что выше поверхности жидкости находится половина объема пластины. Поэтому потенциальная энергия пластины в обоих положениях одинакова.

Если нулевой уровень энергии выбрать на глубине , то энергия жидкости будет равна соответственно:

Таким образом, . Поэтому на левой половине рисунка пластина находится в устойчивом положении равновесия, а на правой – в неустойчивом.

 

Еще один пример на эту тему. Как будет плавать длинный однородный брус, поперечное сечение которого квадрат. Для варианта, показанного на верхней половине рисунка, для вычисления потенциальной энергии жидкости надо вычислить центр тяжести прямоугольного равнобедренного треугольника, катеты которого равны стороне квадрата сечения бруса равного . Два треугольника мы мысленно соединили в один.

Давайте вспомним определение центра масс точечных тел:

Для рассматриваемого случая эта формула трансформируется в отношение интегралов (на правом рисунке треугольник, занятый жидкостью, для удобства повернут на ):

 

Таким образом, центр тяжести жидкости лежит на высоте от нижней поверхности жидкости на высоте .

На нижнем рисунке плавающего бруса объем жидкости можно представить в сечении двумя прямоугольниками.

Левый прямоугольник имеет площадь равную:

Его центр масс находится на высоте:

Правый прямоугольник имеет площадь равную:

Его центр масс находится на высоте:

Находим высоту центра масс составной фигуры из двух прямоугольников:

Полученные высоты центров масс очень близки. Но для плавания тела, показанного на верхнем рисунке, все же потенциальная энергия жидкости будет несколько меньше. Следовательно, для тела это положение равновесия будет устойчивым.

Для обоих тел предполагалось, что их плотность такова, что их центр масс находился в плоскости поверхности жидкости. Определим плотность тел, если плотность жидкости равна . Проще всего ее определить из условия равновесия плавающего бруса, показанного на нижнем рисунке:

  

Можно было воспользоваться законом Архимеда:

 

Расчет массы грузила к поплавку. На рисунке показано сечение поплавка. Какой массы  надо прикрепить на невесомой леске грузило из свинца плотностью , чтобы поплавок плавал, как показано на рисунке. Масса поплавка . Его размеры показаны на рисунке. Плотность воды .

 Напишем условие равновесия поплавка:

В этой формуле  - сила, с которой грузило тянет на дно поплавок, - сила давления жидкости на коническую поверхность поплавка. Силу натяжение нити можно выразить, используя закон Архимеда для грузила:

Для определения силы давления жидкости можно воспользоваться следующим приемом. Представим, что от поплавка осталась только коническая часть, имеющая плотность жидкости. Очевидно, что это мысленное тело ничем не отличается от такого же объема жидкости, и она, конечно, будет находиться в равновесии. Из этого вытекает равенство:

Выражая объем конуса через заданный радиус, находим силу давления жидкости на поплавок:

Находим массу грузила:

 

Есть ли потолок у воздушного шара. Мы не будем рассчитывать максимально возможную высоту подъема реального воздушного шара, а ограничимся моделью, чтобы только понять физику явления.  Пустая оболочка воздушного шара, гондола и все остальное (кроме массы гелия, которым заполняют оболочку) имеют массу . Объем газа полностью заполненной оболочки равен . Когда оболочку полностью заполнили гелием, натяжение торса, которым был привязан шар стадо равно . В этот момент прекратили подачу гелия и отвязали шар. Какой может быть предельная высота подъема шара при следующих предположениях: атмосфера по всей высоте имеет постоянную температуру, на уровне земли атмосферное давление равно , архимедову силу учитывать только для гелия.

Для решения задачи надо знать закон изменения давления атмосферы от высоты. Вообще говоря, это известно из школьного курса, но лучше некоторые формулы вывести здесь. Пользы будет больше.

Начнем с вывода барометрической формулы – зависимости давления газа в изотермической атмосфере в зависимости от высоты. Выделим слой газа высотой  в столбе сечением  и напишем для него условие равновесия:

Из уравнения состояния для идеального газа выразим плотность газа через давление:

Подставив плотность в предыдущее уравнение, и разделяя переменные, получим дифференциальное уравнение для определения зависимости давления от высоты:

Проинтегрировав, получим:

Определяя неизвестную экспоненту из начальных условий, окончательно получим давление и плотность воздуха в зависимости от высоты:

     

Рассмотрим подробнее шар перед тем, как его отвязали. Масса всего шара равна , на него действует сила тяжести и натяжение троса, согласно условию, . Можно используя закон Архимеда, написать уравнение равновесия и из него определить массу закаченного гелия:

Сразу рассмотрим приземление шара. Чтобы он находился в равновесии без привязи тросом, должно выполняться аналогичное равенство:

Следовательно, конечный объем шара будет в три раза первоначального, гелия останется также в три раза меньше. Поэтому полет шара обойдется потерей гелия равной:

Прежде чем рассматривать задачу далее, вспомним уравнение состояния идеального газа и некоторые соотношения из нег вытекающие:

При постоянной температуре параметры газа связаны уравнениями:

    

Перейдем к рассмотрению движения шара. По мере увеличения высоты плотность атмосферы начинает уменьшаться. Это приводит к уменьшению подъемной силы. При равенстве

подъем прекращается. Но давление в шаре при закрытых клапанах осталось атмосферным, в то время как наружное давление упало. Оболочки делают из материала, который не растягивается. Поэтому можно часть гелия через нижний клапан выпустить, плотность гелия упадет, разность в левой части равенства увеличится, и шар начнет подниматься. Предельная высота подъема определяется из уравнения:

Выразим в последнем выражения плотности через атмосферное давление на предельной высоте :

Осталось разрешить уравнение относительно искомой высоты:

Сделаем оценку найденной высоты при следующих значениях величин:

, , , , , , , , все значения приведены в СИ, так что результат получится в метрах. Считаем без калькулятора, получаем: