Движение тел с переменной массой.

На рисунке схематично показано движение ракеты в два очень близких момента времени. За этот промежуток времени из сопла ракеты была выброшена порция газа, образовавшаяся при сгорании топлива. На правой половине рисунка показаны величины скоростей и их направления в системе координат, движущейся со скоростью, с которой ракета двигалась до выброса газа. Из закона сохранения импульса замкнутой системы двух тел (мы будем пока предполагать, что внешних сил нет) получаем соотношение:   

   

Сумма абсолютных скоростей в левой части второго равенства является скорость истечения газа относительно сопла ракеты. Скорость ракеты в правой части по физическому смыслу является приращением скорости ракеты относительно системы координат, в которой рассматривается движение ракеты:

Поделив обе части равенства на  и переходя к пределу, получим уравнение движения для тела с переменной массой:

Мы добавили для общего случая внешнюю силу, которая в рассмотренной ниже задаче будет силой притяжения ракеты к Земле. Коэффициент  мы будем считать постоянным, как в большинстве реальных конструкций. Первое слагаемое в правой части называют реактивной силой. А полученное уравнение получило название уравнения Мещерского. Стоит обратить внимание, что в уравнении масса – это масса, меняющаяся во времени. Ниже мы рассмотрим, по какому закону она убывает по времени.

Найдем величину скорости движения ракеты, предполагая, что внешних сил нет и скорость истечения газа постоянна:

  

Заменим массу газа на убыль массы ракеты:

  

Интегрируем:

Если принять начальную скорость ракеты равной нулю, а ее массу обозначить , то константа интегрирования будет равна . Учтя это, получим:

 

           

Используя первую формулу можно грубо оценить массу необходимого топлива. Зная первую космическую скорость (около 8 км/с и относительную скорость истекающего газа, примерно, 2 км/с) отношение масс равно примерно 55. Во столько раз масса топлива превышает массу грузы выведенную на орбиту. Эта оценка занижена, так как мы не учитывали силу притяжения ракеты к земле при наборе высоты.

   

Движение ракеты в поле тяжести. Рассмотрим вертикальный старт ракеты в предположении, что сила тяжести постоянна (высота поема много меньше радиуса Земли) и коэффициент . Уравнение Мещерского для рассматриваемой задачи будет иметь вид:

Выразим в нем массу в произвольный момент времени через начальную массу ракеты и ее убыль за время от начала движения:

Разделим переменные в уравнении:

Проинтегрируем уравнение:

Определим константу интегрирования из начальных условий:

        

Таким образом, скорость ракеты растет равна:

Для определения высоты подъема ракеты это уравнение надо еще раз проинтегрировать:

Сведем интеграл к табличному виду, сделав подстановку и :

Интеграл в последнем равенстве есть в любом справочнике. Его надо списать. Затем использовать сделанную подстановку в обратном направлении: . Далее определить константу интегрирования из начальных условий . Подставить ее в полученное выражение и получить такой ответ:

Для малых высот ответ также приближенный, так как не было учтено сопротивления. Ошибка не очень велика, так как при малых скоростях оно невелико, при больших скоростях ракета поднимется достаточно высоко, и атмосфера будет разреженной.

 

  А за окном пошел дождь, и родилась задача. Рассмотрим, как будет двигаться образовавшаяся капелька. При ее движении масса капельки не будет постоянной. Если в окружающей атмосфере водяной пар пересыщен, то будет происходить конденсация, и масса капли будет расти. Скорость увеличения массы капли можно считать пропорциональной поверхности капли-зародыша. В момент образования капля-зародыш покоится, но под действием силы тяжести начинает падать с ускорением . Уравнение движения можно написать в виде:

Начало координат выбрано в точке образования капли, ось координат направлена по направлению к земле.

Приращение массы капли в зависимости от времени можно записать в виде:

В этой формуле  постоянный коэффициент, а  площадь поверхности капли. Там где образуются зародыши, пар пересыщен. Следовательно, коэффициент .

Силу сопротивления можно записать в виде:

 имеет тот же смысл, а коэффициент  также будем считать постоянным.

Таким образом, второй закон Ньютона для движения капли можно записать в виде:

В уравнении три неизвестных функции времени. Кроме этого уравнения есть уравнение, связывающее между собой массу и поверхность капли. Фактически мы должны решить систему двух дифференциальных уравнений при начальных условиях:

Попробуем свести систему к одному уравнению с двумя переменными. Так задано уравнение роста массы в зависимости от ее площади, которая пропорциональна радиусу капли и ее масса также пропорциональна радиусу, то можно найти, как меняется радиус капли в зависимости от времени:  

Учтя начальное условие, получим зависимость радиуса капли от времени (значит и ее массы):

Если в уравнении движении выразить массу и поверхность через радиус капли, то получим:

К этому уравнению мы имеем производную радиуса по времени и зависимость радиуса от времени. Есть две возможности. Первая исключить время из этого уравнения или подставить в него радиус как функцию времени. Если пойти первым путем, то получим уравнение:

Если пренебречь при малых временах силой сопротивления, то уравнение без труда интегрируется:

Находим константу интегрирования, и подставляя ее в решение, находим:

Подставляя зависимость радиуса от времени, находим скорость капли:

При совсем малых временах, когда капля только начинает расти, ее скорость равна:

Это является проверкой правильности решения.

Перейдем к решению этой задаче с учетом силы сопротивления. Для удобства напишем еще раз уравнение движения, заменив в нем первый на сумму двух производных:

:

Далее идут элементарные преобразования, которые ясны без пояснений:

Так как

То уравнение движения преобразуется к виду:

 

Последнее уравнение элементарно интегрируется:

Из начального условия находим константу:

Таким образом, зависимость скорости частицы от ее радиуса имеет следующий вид:

Задача решена. Чтобы найти зависимость скорости от времени надо подставить в формулу, вычисленную ранее зависимость радиусу капли от времени, и заменить  и  через известные величины:

  

Мы не будем выписывать громоздкую формулу после всех замен.

Но нам кажется, что стоит прояснить еще один (не пугайтесь, последний) вопрос. Вы знаете, что скорость тела, падающего в вязкой среде, замедляется и выходит на константу при равенстве силы сопротивления силе тяжести. Интересно посмотреть, при каких условиях в этой задаче скорость падения становиться постоянной.

Мы не будем искать решение при очень больших временах, а применим другой метод. Так как уравнение движения, написанное для произвольного момента времени, должно описывать при больших временах и движение с постоянной скоростью, то мы просто будем считать ее постоянной в исходном уравнении. При таком предположении оно перейдет в следующее уравнение:

Вы видите, мы пришли к противоречию, положив скорость постоянной, получили из уравнения, что она линейно возрастает. Следовательно, можно сделать вывод, что при росте капли, она все время до ее падения на землю будет двигаться ускоренно. Скорость может стать постоянной только, если она попадет в зону, в которой будет равновесие между жидкой и паром ().

Вот к чему привел начавшийся дождь за окном.

 

Квазистатика. На вертикальной стойке на невесомых стержнях подвешены два одинаковых шарика, в тонкой оболочке которых находится вода. Шарики скреплены пружиной, коэффициент жесткости которой известен. Длина недеформированной пружины . В начальный момент шарики находились на расстоянии  (по прямой линии между ними). Шарики оказались бракованные с трещинками, и вода начала просачиваться через них и капать на пол. Предположим, что убыль воды в обоих шариках одинаковая и пропорциональна времени:

Через какое время расстояние между ними увеличится вдвое?

Эта задача не на уравнение Мещерского и даже не на динамику. Из-за медленности вытекания жидкости можно считать, что шарики в каждый момент времени покоятся и из условия равновесия находить расстояние между ними. Рассмотрим в произвольный момент времени условия равновесия левого шарика:

Исключив ненужное натяжение стержня, находим уравнение, связывающее массу шарика с расстоянием между ними:

Тангенс угла отклонения шарика от вертикали можно определить из геометрии:

Исключив его из уравнений, получим окончательное уравнение, связывающее массу шарика с расстоянием между ними:

 

В начальный момент масса шарика была равна , и начальное расстояние определяется из формулы:

По такой же формуле находим конечную массу шарика:

Для вычисления конечной массы надо вместо конечной длины подставить удвоенную начальную длину.

Затем находим разность масс и, поделив ее , находим время движения шариков:

В этой задаче главное не получить конкретный результат, а ознакомить вас с методом квзистатики, которым решается широкий круг задач не только в механике, но и в других разделах физики.

Задача разбиралась на семинаре. После объяснения последней формулы, один из студентов заявил, что может решить эту задачу проще. Ему было предоставлено слово. Вот что он изложил. 

 Эту задачу проще решить, если воспользоваться законом сохранения энергии. Если ноль потенциальной энергии выбрать на уровне начального положения шариков, то начальная энергия системы равна упругой энергии пружины:    

Чтобы вычислить энергию системы в конечном положении, надо найти высоту шариков в конечном состоянии:

         

Находим конечную энергию системы:

Приравняв энергии, находим массу шарика. И здесь прозвенел звонок.

 

  Задание 2.   Добавим к этому объяснению, что пол, на который выливается вода, можно считать находящимся на уровне первоначального положения шариков. Ответьте на вопрос: можно ли решать задачу предложенным способом? Ответ обязательно поясните, так как вероятность его угадать, равна одной второй.

Закон тяготения Ньютона.

Законы Кеплера. И. Кеплер на основании астрономических наблюдений Т. Браго сформулировал законы движения планет вокруг Солнца:

1. Траектории, по которым движутся планеты, являются эллипсами. Солнце находится в одном из фокусов эллипса.

2. Радиус-вектор, проведенный из Солнца к планете, «отметает» за одно и то же время равные площади.

3. Отношение квадратов периодов к кубу их расстояний от Солнца имеет одно и то же значение для всех планет.

Планеты солнечной системы можно считать движущимися по круговым орбитам, и мы в дальнейшем будет считать, что орбита Земли окружность. Более правильно в третьем законе говорить, что отношение берется к кубу большой полуоси эллипса.

На основании этих законов можно получить закон тяготения Ньютона, но при этом надо считать, что второй и третий законы Ньютона уже известен. При равномерном движении по окружности на одинокую планету действует единственная сила – сила притяжения, которую мы будем считать неизвестной:

Точно такая же по величине сила  действует на Солнца со стороны планеты. В силу равноправия, мы должны в формулу ввести массу Солнца (чтобы не обижать нашу Землю). Тогда в формуле останется только пока неизвестный  постоянный коэффициент (не безразмерный!):

Его величина впервые была измерена Кавендишем.

Таким образом, из закона тяготения Ньютона можно вычислить массу Земли, применив его к телу, покоящегося на поверхности Земли, или свободно падающего на не большой высоте:

            

Затем можно вычислить массу Солнца и всех планет:

Выше неявно было сделано предположение, что закон притяжения, сформулированный из наблюдения движения планет, находящихся на расстояниях много больших их размеров (то есть для точечных масс), справедлив и для притяжения массивным шаром точеной массы при малом расстоянии между ними. Нам кажется, что это предположение нужно обосновать более строго. Поэтому сделаем небольшое теоретическое отступление, в котором познакомимся более подробно с понятием поля и его характеристиками.

Второй закон Кеплера является следствием закона сохранения импульса замкнутой системы Солнце-планета (то есть без учета взаимодействия планет друг с другом):

На рисунке залита серым цветом площадь отметаемая радиус векторлм за бесконечно малое время. Площадь этого треугольника равна половине площади параллелограмма:

Производная по времени, представляющая собой отметаемую площадь в единицу времени, равна:

Из этого выражения и следует второй закон Кеплера.

 

Гравитационное поле. Напряженность поля и потенциал.  Вспомним школьный курс физики, раздел электростатики. Основной закон электростатики – это закон Кулона о взаимодействии двух точечных зарядов в вакууме:

В этой формуле заряд  находится в начале координат,  - заряд, на который действует сила . Радиус-вектор проведен из начала координат в точку расположения заряда . Если заряды одноименные (оба положительных, или оба отрицательных), то заряды отталкиваются, если разноименные, то притягиваются. Приведенная формула описывает оба случая. При гравитационном взаимодействии всегда действует сила притяжения (об анти материи на первом курсе говорить рано). Поэтому закон притяжения в векторном виде следует писать со знаком минус (если сохранять аналогию):

Вы также знакомы с понятием напряженности электрического поля, определяемого как

В этом определении заряд, создающий поле, положительный. Мы можем таким же образом ввести поле ускорений, если силу притяжения разделить на массу:

Если два электрических заряда или точечных тела находятся на бесконечно большом расстоянии, то самое логичное считать, что их потенциальная энергия взаимодействия равна нулю. Чтобы найти энергию взаимодействия между ними на конечном расстоянии, то мы должны вычислить работу, которое свершает поле при их сближении из бесконечности в данную точку:

Используя известную вам формулу (из курса общей физики), связывающую работу консервативной силы с потенциальной энергией, находим энергию гравитационного взаимодействия:

По аналогии с электростатикой можно ввести потенциал гравитационного поля:

Сила и энергия взаимодействия описывают взаимодействие двух тел, тела, создающего поле, и тела, находящегося в этом поле. Поле ускорений и потенциал описывают поле созданного телом, вне зависимости от того находятся в этом поле другие тела или нет. Но зная, поле или его потенциал мы можем сразу сказать про силу, которая будет действовать или про потенциальную энергию тела, помещенного в это поле.

Познакомимся еще с одной физической величиной, называемой потоком вектора, характеризующего величину поля. Поток вектора  гравитационного поля через бесконечно малую площадку равен:

Вектор  есть произведение бесконечно малой площади на единичный вектор, перпендикулярный ей:

Если участок поверхности не замкнутая поверхность, то надо указывать о принятом направлении нормали к поверхности. Для замкнутых поверхностей условились, что всегда берется внешняя нормаль. Если в начало координат поместить точечное тело массой , окружить его сферической поверхностью радиуса , то суммарный поток вектора  через эту поверхность будет равен:

Если тело будет находиться внутри замкнутой поверхности, то величина потока через всю замкнутую поверхность не изменится. Если поместить не одно тело, а два тела  и , то величина суммарного потока будет равна:

При написании последней формулы был использован так называемый принцип суперпозиции. Чтобы было ясно, о чем пойдет речь, рассмотрим бытовой пример. Вы сидите у своей подруги в квартире и как-то с ней взаимодействуете, например, занимаетесь физикой. Поворачивается ключ во входной двери – это пришла домой ее мама. Ваше взаимодействие не нарушается – принцип суперпозиции имеет место, ваше взаимодействие нарушается, становиться другим – принцип суперпозиции не имеет места. До рассмотрения гравитации было очевидным, что величина силы деформированной пружины, действующей на тело, не зависит от того, действуют на это тела другие тела или нет. При гравитационном взаимодействии, при передаче его через поле, вообще говоря, не очевидно, что суммарное поле равно векторной сумме полей. Это фактически означает не взаимодействие полей друг с другом. Для ньютоновских полей гравитации принцип суперпозиции выполняется.

Вот теперь мы можем утверждать, что если имеется сферически симметричное распределение масс в некотором объеме, то на расстоянии  от него на точечное тело будет действовать такая же сила, как и при взаимодействии с точечным телом с массой равной  все сферически распределенной массе в объеме.

Второй вывод, который моно сделать, заключается в том, что гравитационное поле внутри массивной сферически симметричной оболочки равно нулю.   

Формулу для суммарного потока можно записать в более удобном виде. Для сферически распределенной по объему массы ее можно выразить через интеграл от плотности:

И при условии, что поверхность является сферой, окружающий объем от  до , мы можем при помощи формулы для потока определить проекцию  на направление радиус-вектора:

Если последнее равенства умножить на массу, то мы получим проекцию силы тяготения, действующую на эту массу, находящуюся на расстоянии  от центра симметрии. В правой части интеграл берется до радиуса, на котором вычисляется . Формула и ее применение будет более понятно после рассмотрения приведенных ниже задач.

 

Ускорение свободного падения в глубокой шахте. Определить давление тела  на горизонтальную поверхность в глубокой шахте. Вращением Земли пренебречь. Землю считать однородным шаром.

Использую формулы, приведенные в предыдущем разделе, находим ускорение свободного падения  на расстоянии  от центра Земли:

Сила давления на поверхность по величине будет равна:

Плотность можно выразить через массу и радиус Земли:

Комбинация величин, стоящая перед отношением радиусов равна ускорению свободного падения на поверхности Земли:

В центре Земли тело будет находиться в невесомости. При решении было пренебреженно влиянием шахты на сферическое поле Земли.

 

Давление жидкости на дне глубокой шахты. Предположим, что шахта, из предыдущей задачи до самого верха затоплена водой. Чему будет равно давление в жидкости у самого дна, если считать ее несжимаемой?

Если мы выделим бесконечно тонкий слой жидкости на некоторой глубине, то на него будет действовать сила притяжения равная:

Чтобы найти силу давления всего столба жидкости на дно шахты, это выражение надо проинтегрировать по высоте столба:

Давление будет равно отношению силы к площади:

-78-

При малых глубинах полученная формула переходит в хорошо известное выражение:

 

Фантастический межконтинентальный транспорт. На рисунке показан туннель, прорытый по хорде земного шара. Предположим, что его вакуумировали, и вагон-капсула в нем может двигаться без трения. Найти время ее движения в один конец.

Начало координат выберем на середине пути. Вначале вагон движется ускоренно, в начале координат он имеет максимальную скорость, которую можно определить из закона сохранения энергии. Чем больше величина хорды, тем выше будет максимальная скорость.

Приращение кинетической энергии можно найти, вычислив работу силы тяготения от поверхности Земли до минимального расстояния в туннеле до центра Земли (то есть до выбранного начала координат). Величина силы, действующей на тело ниже поверхности Земли, была определена в задаче с шахтой. Используя полученное выражение, находим максимальную кинетическую энергию:

Напишем уравнение движения тела. Удобнее его написать для произвольного положения тела, но после того, как оно пройдет начало координат:

Мы не будем решать последнее уравнение гармонических колебаний, а воспользуемся известной вам формулой для периода колебаний:

Время движения в одном направлении будет в два раза меньше. Оценим приближенно его;

Причем время движения не зависит от длины хорды.

Проект фантастический, но некоторые идеи этой задачи вполне можно использовать на практике, например, при строительстве линий метро.

При разгоне поезда практически нельзя обеспечить ускорения более , так как большее ускорение не смогут обеспечить силы трения. Но такое ускорение можно создать, если туннель после станции пойдет не горизонтально, а с наклоном. Ускорение на наклонной плоскости без трения равно . Чтобы создать приведенное выше ускорения, угол  должен быть равен всего

Затем следует горизонтальный участок, а перед станцией подъем на прежнюю глубину. Преимущество очевидно. Энергия тратится только на работу силы сопротивления и на работу сил трения в подшипниках осей колес. Увеличение кинетической энергии поезда и его торможение взяло на себя тяготение.

 

Давление на дне всепланетного океана. Предположим, что есть планета, имеющая твердое ядро радиусом , покрытое слоем жидкости. Полный радиус планеты равен . Определить давление жидкости у самого дна океана. Плотности ядра и жидкости известны.

На приведенном рисунке для ясности расчетов непропорционально увеличен телесный угол. Залитый серым цветом объем жидкости давит на площадку .

На выделенный объем жидкости будут действовать силы давления со стороны верхнего и нижнего слоев жидкости и силы тяготения со стороны ядра и лежащих ниже слоев жидкости. Из условия равновесия выделенного объема находим соотношение между ними:

Интегрир4уем по радиусу:

Если на планете нет атмосферы, то давление на поверхности равно нулю. Из этого условия можно определить константу интегрирования:

С учетом этого, находим зависимость давления в жидкости в зависимости от расстояния от центра планеты:

Заметим, что в полученной формуле произвольный радиус не может быть меньше радиуса ядра. Давление в жидкости у границы раздела будет равно:

В предельном случае  и  получим хорошо известную формулу для давления в стакане;

Найдем давление в несжимаемой жидкости, если вообще нет ядра, а вся планета состоит из однородной жидкости. В этом случае силу тяготения, приложенную к выделенному объему, можно найти, используя первую формулу задачи с шахтой:

Если это ускорение умножить массу бесконечно малого выделенного объема, то получим сиу тяготения, действующую на него. Далее можно написать условие равновесия и выполнить практически такие же вычисления, как в задаче с ядром:

 

И окончательно получаем:

Максимальное давление в центре будет равно:

 

Что общего между размешиванием сахара в стакане с чаем и искажением сферичности  вращающихся планет. Если в стакане, в котором вы мешаете ложечкой, есть чаинки, то они собираются на дне стакана в его центре. Наблюдаемый эффект объясняется просто. На поверхности чая образуется воронка. Высота столба чая у стенок стакана выше, чем в его центре (на оси вращения). Поэтому гидростатическое давление на дне стакана несколько выше, чем в центре. Возникает радиальный поток чая от стенок к центру. Он и собирает чаинки в него. Но он достаточно слаб для того, чтобы чаинки всплывали.

Предположим, планета имеет маленькое твердое ядро, остальная часть планеты жидкость. Что получится, если планета начнет вращаться? На все малые объемы жидкости, кроме силы тяготения начнет действовать центробежная сила инерции (мы рассматриваем планету во вращающейся системе координат). Возникнет потоки, направленные по экваториальным радиусам от центра планеты и по полярным радиусам к центру планеты. В стационарном состоянии потоков не будет, если давление на ядро по полярному радиусу будет равно давлению по экваториальному радиусу. Это будет в том случае, если экваториальный радиус будет больше полярного, чтобы большая сила тяготения скомпенсировала центробежную силу. Ядро в это рассуждение было введено только для большего подобия явления с рассмотренным явлением со стаканом.

Прежде, чем переходить к вычислениям попробуем получить формулу из физики явления и применения размерности. Если мы хотим найти относительное сжатие планеты, то мы из физического смысла можем предположить. Первое – чем больше частота вращения, тем больше сжатие. Поэтому есть основания предположить, что  должна стоять в числителе искомого выражения. Второе – чем сильнее тяготение, тем меньше влияние вращения, величину тяготения можно охарактеризовать . И отправить его в знаменатель. Нам нужна еще величина размерности длины. Ничего другого, кроме радиуса планеты у нас нет. Из этих трех величин можно однозначно составить безразмерное отношение и тем самым получить относительное сжатие:

А теперь приступим к вычислению и посмотрим, правильной оказалась интуиция.

Выше мы нашли давление в центре «жидкой» планеты. Осталось найти величину давления, обусловленную вращением планеты. Оно уменьшает гравитационное давление на величину равную:

    

Приравниваем экваториальное и полярное давления в центре планеты:

Находим разность радиусов:

Относительное сжатие будет равно:

В последней формуле  - масса планеты,  - ускорение свободного падения на ее поверхности. Как видите, предположения оказались правильными.

Полученное соотношение  является оценкой по порядку величины, так как не учтено множество факторов сложного строения планеты: наличия ядра, слоя магмы, твердой оболочки, неоднородность плотности, сжимаемости вещества и т.д. Если по этой формуле вычислить отношение для Земли, и сравнить их с табличными данными (0,00336) то получим совпадение в первой значащей цифре (в тройке). Совпадение до безобразия хорошее.

 

Космические скорости. Минимальную скорость, с которой тело может враться вокруг Земли на низкой орбите, принято называть первой космической скоростью. Если для оценки радиус орбиты принять равным радиусу Земли, ее можно вычислить из соотношения:

           

Второй космической скоростью называют ту необходимую скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно преодолело притяжение Земли. Для оценки ее величины, счи