Движение тел по криволинейной траектории.

Задача. Задан радиус-вектор частицы как функция времени:

Угол  отсчитывается от оси  к оси  (против направления часовой стрелке). Определить нормальные и тангенциальные ускорения частицы при значениях  равным:

Дифференцируя радиус-вектор частицы по времени, находим скорость частицы:

Проще всего решать задачу, если перейти в систему координат, движущуюся со скорость . В этой системе скорость частицы будет равна:

а ее величина оказывается постоянной:

Радиус-вектор частицы в движущейся системе координат также оказывается постоянным по величине:

Таким образом, в движущейся системе координат частица движется по окружности радиуса  с постоянной по величине скоростью . Тангенциальное ускорение частицы в этой системе равно нулю, величина нормального ускорения постоянна (вектор нормального ускорения направлен к центру окружности):

Мы сняли индекс  у ускорения, так как его величина является модулем полного ускорения в исходной системе координат. Вам известно из принципа Галилея, что ускорение частицы во всех инерциальных системах отсчета одинаково.

В исходной системе координат движение частицы представляет собой суперпозицию двух движений, движения с равномерной скоростью по окружности, центр которой смещается по оси  с постоянной скоростью . Образно это можно представить как движение точки, помеченной на поверхности цилиндра, катящегося без проскальзывания по горизонтальному потолку. Перейдем к определению требуемых в условии задачи ускорений. Для этого нарисуем окружность и пометим на ней точки соответствующих углов (см. рис.). Поясним рисунок. Точки с заданными значениями по условию углами находятся на окружностях, центры
которых не совпадают. Но чтобы не делать шесть рисунков, мы их совместили в одну точку, так как вычисления от этого не изменятся. Шестью отрезками (два из них со стрелками), направленными к центру показаны векторы полного ускорения. Остальными отрезками показаны скорости поступательного движения центра окружности и скорости движения точки по окружности. Их векторная сумм равна скорости точки в неподвижной системе координат. Тонкими линиями в каждой точке показано направление этой суммарной скорости. Чтобы найти тангенциальное и нормальное ускорение частицы надо разложить ее полное ускорение на две проекции по направлению скорости и направление, перпендикулярное вектору скорости.

Начнем рассмотрение с угла . В этом положении скорость точки равна сумме одинаковых по величине скоростей и направлена по оси :

В этой точке величина скорости частицы максимальна, тангенциальное ускорение равно нулю, Полное ускорение направлено по оси и оно же является нормальным ускорением. Обратите внимание на то, что величина радиуса кривизны в этой точке равна:

В точках, соответствующих углам  и  скорости поступательного движения и движения по окружности взаимно перпендикулярны. Поэтому нормальные и тангенциальные ускорения равны по величине. Нормальное ускорение для угла  они равны:

В неподвижной системе координат в векторном виде они равны:

При угле  соответствующие ускорения будут равны:

При углах  и  величина нормального ускорения будет равна произведению модуля полного ускорения на синус угла равного :

А величина тангенциального ускорения в этой точке равна:

Для того, чтобы их выразить в векторном виде в неподвижной системе координат надо единичные векторы и  выразить через орты  и . Для угла  единичные векторы равны:

А соответствующие уравнения находятся как произведения:

Для угла  единичные векторы равны:

Находим последние два оставшихся ускорения:

В верхней точке при угле  скорость частицы проходит через минимум, нормальное ускорение равно нулю, тангенциальное ускорение равно  и направлено против оси . Во всех точках достаточно просто определить радиус кривизны. Для этого найти в них модули скорости, возвести в квадрат, и разделить на найденные нормальные ускорения. В верхней точке понятие кривизны теряет смысл, так как в ней траектория терпит излом.                                                         

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     Наматывание нити на вертикальный цилиндр. Условие показано на рисунке. Это вид сверху. Длина невесомой нерастяжимой нити равно длине окружности цилиндра, на который наматывается нить. Трение между маленькой шайбой и горизонтальной поверхностью есть. Все геометрические размеры, массу шайбы, коэффициент трения и начальную скорость считать известными. Надо определить величины, характеризующие движения, и максимальную длину траектории (когда вся нить наматывается на вертикальный цилиндр).

Рассмотрим сначала эту задачу, пренебрегая трением. В этом случае скорость уменьшаться не будет, так как сила натяжения веревки перпендикулярна скорости (касательной к траектории в любой момент времени).

Рассмотрим «геометрию» движения. Длина нити будет уменьшаться по закону:

Бесконечно малое перемещение шайбы можно выразить также через угол поворота:

Интегрируя, находим длину траектории, если нить намотается вся:

Время движения рано:

         

Все полученные соотношения верны и для задачи с трением, кроме последней формулы, при выводе которой использовано постоянство скорости.

В задаче с трением уменьшится время движения, которое находится из формулы равнозамедленного движения по траектории:

Перед корнем взят знак минус, так как при стремлении коэффициента трения к нулю должна получиться формула (28). Проверим это:

Как видите, нам пригодилось рассмотрение дополнительной задачи без трения.

 

Движение заряженной частицы в магнитном поле. В постоянном магнитном поле в некоторой точке известна скорость частицы. Определить, как будет двигаться частица, если известна ее масса и заряд. 

Выберем систему координат так, чтобы вектор индукции магнитного поля был направлен по оси .

Напишем уравнение второго закона Ньютона в векторном виде:

Раскроем векторное произведение векторов в правой части и напишем уравнения в другом виде:

 

Движение заряженной частицы в магнитном поле. Частица массы , имеющая заряд  начинает падать в поле тяжести Земли с некоторой высоты . Какой величины должно быть магнитное поле (его индукция ), чтобы частица прошла по касательной к поверхности земли?

Напишем уравнение движения в векторном виде:

Сделав простые преобразования, получим уравнение:

Последнее уравнение можно написать в проекциях на координатные оси:

Из последнего уравнения системы следует, что скорость по оси  постоянна и равна проекции начальной скорости частицы на ось :

Первые два уравнения системы являются связанными. Но вы не проходили по математике, как решаются системы дифференциальных уравнений. Ничего страшного. Подумаем и сообразим. Вы же не на математиков учитесь.

Давайте начнем издалека. Представьте себе, что вы вообще не знаете понятий интеграл и проинтегрировать. Но вы умеете дифференцировать функции. И вас есть уравнение, которое надо решить:

Ясно, что искомая функция должна содержать член пропорциональный квадрату времени, чтобы при двойном дифференцировании получить константу. Но у вас есть еще два начальных условия. Поэтому нельзя в качестве решения взять:

Поэтому надо еще добавить два слагаемых, но таких, чтобы при двойном дифференцировании они давали бы ноль. Ответ очевиден. Искомая функция должна иметь вид:

Константы интегрирования находятся из начальных условий. Вам ясно, что мы нашли решение для равноускоренного движения. Физический смысл первой константы начальная скорость частицы, второй – ее начальная координата. Вот и применим этот метод, если хотите «угадывания», к нашей задаче.

То, что производная одной функции пропорциональна второй функции, а ее производная пропорциональна первой функции, но со знаком минус должно навести на мысль, что решение должны быть тригонометрические функции синуса и косинуса аргумента , причем коэффициент  должен по размерности быть обратным времени. Вот из соображений и попробуем искать решение в виде:

Подставив его в первое уравнение системы, получим уравнение для :

Из него следует, что введенный ранее коэффициент равен:

А проекция скорости на ось рана:

Для проверки необходимо подставить обе проекции скорости во второе уравнение системы и проверить, что оно обращается в тождество. Постоянные  и  определяются из начальных условий:

Таким образом, найдены все три проекции скорости, как функции времени;

Если возвести первых два уравнения в квадрат и сложить, то получим:

В последней формуле  модуль скорости частицы перпендикулярной направлению магнитного поля. То есть начальную скорость частицы удобно разложить на две проекции, одну на проекцию вдоль направления магнитного поля , и перпендикулярную - . Вдоль направления поля частица будет двигаться равномерно. Одновременно она будет вращаться по окружности (это мы сейчас получим), то есть ее траектория будет представлять сбой винтовую линию.

Чтобы показать, что в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, частица движется по окружности, надо выбрать систему координат. Наиболее простые преобразования получаются, если ее выбрать так, чтобы направление проекции  совпадала с осью . При таком выборе  и , причем начало координат совместить с начальным положением частицы. В этом случае уравнения упростятся:

Проинтегрировав их по времени, получим с учетом начальных условий для координаты:

Возведя в квадрат и сложив, получим радиус окружности:

   

Конечно, это можно было бы получить много проще. Зная, что частица двигается по окружности с постоянной по величине скоростью, можно написать выражение для центростремительного ускорении и приравнять его магнитной составляющей силы Лоренца, деленной на массу частицы:

Но тогда бы вы не познакомились с тем, как можно решить систему связанных дифференциальных уравнений. А самое главное то, что разобравшись с этой задачей, мы сможем решить следующую задачу.

 

Движение заряженной частицы в магнитном поле в поле тяжести Земли. Усложним задачу. Пусть неподвижная частица, имеющая массу  и заряд , начинает падать в поле тяжести Земли с высоты . Вектор индукции постоянного магнитного поля направлен параллельно плоскости земли. Какова должна быть

его величина, чтобы частица не достигла поверхности земли? Где будет частица через достаточно большое время?

Выберем систему координат так, чтобы движение частицы происходило в плоскости  при , а вектор индукции магнитного поля направим по оси . Ясно, что движение будет происходить в плоскости , так как нет сил, направленных по оси . Тогда в проекциях в проекциях на координатные оси получим систему двух связанных уравнений:

Начальные условия для определения констант интегрирования при выбранной системе координат следующие:

,    

Полученная система уравнений отличается всего одним постоянным членом в правой части второго уравнения. Поэтому напрашивается в решение для предыдущей задачи добавить некоторую константу:

А далее будем следовать проторенной дорожкой. Находим , точнее сказать, списываем с предыдущей задачи:

Подставляя и во второе уравнение системы, получим:

Из последнего равенства следует, что добавленная константа равна:

В последней формуле  искомая величина индукции. Используем начальные условия для проекций скоростей:

          

Выпишем выражения для найденных проекций скоростей с учетом начальных условий:

Проинтегрировав полученные уравнения по времени, получим:

Константы интегрирования определяются из начальных условий для координат:

            

Таким образом, движение частицы описывается уравнениями:

При достаточно больших временах  частица сместится по горизонтали на расстояние:

Чтобы частица коснулась поверхности земли необходимо выполнение условия:

      

Из последнего неравенства находим необходимую величину магнитного поля:

Чтобы получить представление о траектории, напишем уравнения движения частицы в другом виде:

 

Возведем их в квадрат и сложим:

Таким образом, траектория движения представляет окружность радиуса , центр которой смещается с постоянной скоростью . Эта кривая называется циклоидой.

 

Движение заряженной частицы в кулоновском поле. Имеется неподвижная частица, вокруг которой по круговой орбите движется вторая частица. Заряды частиц разноименные и известны. Движущаяся частица теряет при движении за период небольшую долю энергии по сравнению с ее полной энергией. Потеря энергии пропорциональна квадрату ее скорости. По какому закону будет меняться во времени радиус ее орбиты?

Если потеря энергии мала, то мы можем считать, что в каждый момент времени выполняется соотношение:

   

Полная энергия частицы равна:

Согласно условию задачи потерю энергии частицы можно записать в виде:

Окончательно получаем линейную зависимость:

            

Экспоненциальная зависимость при больших временах (при показателе не малом) не верна, так решение получено при условии малости потери энергии за один оборот (то есть нельзя будет пользоваться соотношение, с которого было начато решение задачи).

 

 

Упругие силы.

Модель перехода механической энергии во внутреннюю энергию (тепло).

На гладкой поверхности лежат две одинаковых шайбы (на рис. вид сверху). Одной шайбе сообщили скорость. У второй шайбы есть «хитрая» невесомая пружинка. Она сжимается при столкновении шайбы и намертво прикрепляется к налетевшей шайбе. Рассмотрим, как будут двигаться две шайбы, ставшие упругой гантелью. С «макроскопической» точки зрения (без детализации того, что тело после столкновения состоит из двух шайб и пружинки) рассматривать столкновение, как абсолютно неупругое столкновение двух тел. Применить закон сохранения импульса и из него найти скорость центра масс гантели:

         

 Вычесть из начальной энергии конечную кинетическую энергию:

И сказать, что кинетическая энергия системы тел, равная правой части предыдущего равенства, перешла во внутреннюю энергию тела, образовавшегося при абсолютно неупругом столкновении двух тел.

С «микроскопической» точки зрения мы можем объяснить, что убыль механической системы двух тел перешла в энергию колебаний. Мы даже сможем определить максимальное расстояние между шайбами гантели, приравняв убыль энергии потенциальной энергии растянутой пружины, если нам известны длина недеформированной пружины и ее коэффициент упругости:

Можно рассчитать максимальные скорости шайб гантели в системе координат, движущейся со скоростью их центра масс. Когда пружинка будет не деформирована, шайбы будут находиться на расстоянии , и будут сближаться или удаляться с одинаковыми скоростями равными:

Рассмотрим еще один пример с двумя упругими гантелями, показанными на рисунке. Для выявления сути происходящего достаточно рассмотреть столкновение двух гантелей в системе центра масс, в которой они двигаются навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. 

Предположим, что столкновение шайб гантели абсолютно упругое и происходит мгновенно. После столкновения скорости шайб останутся по величине неизменными, но изменят направления на противоположные. В каждой гантели обе шайбы будут сближаться со скоростями . Центр же масс каждой гантели будет покоиться. Когда потенциальная энергия сжатой пружины станет равна кинетической энергии обеих шайб, последние остановятся. Минимальное расстояние между ними можно найти из закона сохранения энергии:

При расчете было сделано, что в сталкивающихся гантелях шайбы не колебались. Через время равное периоду колебаний шайбы вновь вернуться в состояние, в котором они были в момент столкновения. Пружина будет не деформирована, но обе шайбы гантели будут двигаться от их центра масс со скоростями . Сталкивающиеся шайбы вновь обменяются скоростями, и гантели с недеформированными пружинами начнут удаляться друг от друга со скоростями .

С «макроскопической» точки зрения произошло столкновение двух тел, а время равное периоду колебаний есть время столкновения. К этому вопросу мы вернемся ниже. Если колебания не являются незатухающими, то произойдет некоторая убыль механической энергии, и столкновение не будет абсолютно упругим.

Последний пример. Предположим, что сталкиваются два «клубка» из большого числа шариков, соединенных пружинками. Могут быть два варианта. Клубки после столкновения будут двигаться независимо. Причем часть энергии перейдет в энергию колебаний шариков. Столкновение будет не абсолютно упругим. Второй вариант – шарики клубков запутаются друг в друге. Столкновение будет абсолютно неупругим. Мы сможем подсчитать потерю механической энергии клубков, если считать клубки материальными точками, но не сможем конкретно подсчитать какую долю ее взял каждый клубок.

Так и при столкновении твердых тел, часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию атомов или молекул, из которых состоят тела. Абсолютно упругих столкновений нет. Просто в некоторых учебных задачах пренебрегают потерей механической энергии. При расчете в реальных задачах, если можно ограничиться приближенным результатом также довольно часто делают приближение абсолютно упругого столкновения.  

Убыль механической энергии происходит не только при столкновении тел, но при трении поверхностей, движущихся относительно друг друга двух тел. А какая собственно разница? При движении тела атомы его поверхностного слоя (представьте поверхностные атомы шариками на пружинках) взаимодействуют с поверхностными атомами другого тела. Тело несколько деформирует поверхность (и его соприкасающаяся поверхность тоже деформируется, абсолютно твердое тело идеализация) и энергия поверхностного слоя увеличивается. Поэтому при трении скольжения поверхности нагреваются. Можно из общих соображений предсказать, что убыль механической энергии должна быть пропорциональна относительного перемещения поверхностей тел.

И в заключение о времени столкновения упругих тел. В лаборатории по механике во многих вузах имеются лабораторные работы по изучению столкновению шариков. В работе в частности определяется зависимость времени столкновения как функция относительной скорости шаров в момент столкновения. Если вы из школьного курса знаете, что если вместо одной пружины поставит параллельно две, то эффективный коэффициент жесткости возрастет вдвое, то, не делая опыта, можете утверждать, что время столкновения будет уменьшаться при увеличении скорости столкновения. На первый взгляд, если вообще не думать, это кажется парадоксальным, так как при увеличении скорости растет величина упругой деформации. Но если подумать и вспомнить хорошо забытую формулу для периода колебаний шарика на пружине:

,

то можно сообразить, что при увеличении деформации увеличивается площадь соприкосновения шаров, то есть «включается» все большее число пружинок, что приводит к увеличению коэффициента жесткости. Время столкновения на языке колебаний равно половине периода. Вот поэтому время столкновения должно уменьшаться. Увеличивается только амплитуда, но период от амплитуды не зависит.