Движение тела в движущейся среде.

  Качественные вопросы. Начнем  рассмотрение с качественных вопросов. Между двумя пунктами, расположенными на берегу реки курсирует теплоход с постоянной скоростью относительно воды, скорость течения реки можно считать постоянной. Затем ниже городов построили плотину. Река превратилась в водохранилище, и скорость течения стало можно считать равной нулю. А теплоход как курсировал, так и продолжал по такому же расписанию (время движения туда и обратно было сохранено). Вопрос: как изменилась себестоимость рейса? Только не говорите, что вы изучаете физику, а этот вопрос по экономике. Во главе всего лежит физика! Даже в Африке. Если бы в доисторические времена гениальный дикарь не изучил бы механик и теплоту и не изобрел бы и построил установку для получения огня, используя трение, его соплеменники ели бы не поджаренное в хрустящей корочке, а противное сырое мясо.

Если не догадались, тогда перейдем к следующему вопросу. Два пловца, проживающих в разных местах решили устроить соревнование: кто быстрее плавает. Один жил на берегу озера, второй – на берегу реки. Первый проплыл расстояние  за время , второй, чтобы скомпенсировать течение реки проплыл  по течению реки и  - против, причем за тоже время. Судейская коллегия, благодаря Интернету, наблюдала соревнование он-лайн. Кому была присуждена победа? И этот вопрос не про физкультуру, а про физику.

Запишем выражения для времен обеих пловцов и приравняем их:

, ,

Таким образом, скорость пловца, который жил у реки больше. И ему судьи присудили победу. К счастью, один из судей прилично знал физику.

Теперь легко дать ответ на первый вопрос. После постройки плотины теплоход стал курсировать с несколько меньшей скоростью, и, следовательно, расход топлива сократился, так как уменьшилась сила сопротивления. Это снизило себестоимость рейса.

Видите, на некоторые задачи можно дать ответ, не решая их, а используя ранее решенные задачи. Так что всегда стоит немного подумать: а не было ли задачи, решение, которой может частично или полностью использовано.

Переправы через реку. Рассмотреть три разных метода переправы через реку шириной , скорость течения которой растет по линейному закону . Скорость лодки относительно воды равна и постоянна во всех случаях при переправе. Рассмотрим три варианта переправы:

1. Вдоль берега по стоячей воде отплываем вверх по течению на такое расстояние, чтобы затем, направив лодку перпендикулярно реке, ее снесло в конечный пункт.

2. Выбираем постоянный угол между направлением лодки и осью  такой, чтобы лодка, описав дугу, пристала в конечный пункт.

3. Меняем (увеличиваем) во время переправы угол отклонения так, чтобы лодка двигалась по прямой, соединяющие пункты (по оси ).

Какой метод переправы наиболее экономичный (по затрате физических сил гребцом или расходу топлива)? Наиболее экономичным будет тот метод, который займет меньше всего времени, так как за все время переправы лодка относительно воды двигается с постоянной скоростью. Будем рассматривать в том порядке, который задан в условии задачи.

1. Рассчитаем, где пристанет лодка, если она направлена перпендикулярно реке. Уравнения для проекций скоростей лодки относительно берега будут иметь вид:

Из второго уравнения находим зависимость  и, подставляя в первое, находим :

Приравнивая  ширине реки, находим время переправы:

      

А подставив его в , находим величину сноса лодки:

Чтобы получить полное время переправы, надо к  добавить время, которое потребуется для движения лодки вдоль берега вверх по реке, чтобы пристать в нужном пункте

Таким образом, полное время переправы первым способом рано:

     

Перейдем к рассмотрению второго способа переправы. Так как преобразования практически аналогичные, то их можно опустить:

Из условия находим синус угла, под которым надо направить лодку, чтобы приплыть в нужный пункт:

Теперь можно найти полное время переправы вторым способом:

        

Перейдем к последнему варианту. В этом случае лодка имеет только одну проекцию скорости:

При дополнительном условии:

Исключим из этих уравнений тригонометрию и разделим переменные:

Интеграл от левой части является арксинусом (можете посмотреть в справочнике). Поэтому после интегрирования получим:

Из начальных условий следует, что константа равна нулю. Полное время определяется из последнего выражения, если вместо  подставить :

                       

Осталось сравнить времена. Чтобы провести сравнение, приведем полученные времена в виде разложения в ряды по степеням , ограничившись тремя членами разложения (формулы разложения функций в ряды можно посмотреть в справочнике Градштейна и Рыжика «Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений»):

Так как последним способом можно переправиться только при условии , то сравнение имеет смысл проводить только в интервале . В этом интервале . Однако первый способ хорош тем, что переправиться можно при любом скорости течения. Заметим, что при  все времена совпадают, что является проверкой сделанных вычислений.