Движение грузиков, подвешенных на нитях, перекинутых через блоки.

В этом разделе будем считать: 1. Нити нерастяжимые и невесомые. 2. Блоки невесомые  или отсутствие сил трения между блоком и нитью (что фактически для решения эквивалентно), если не оговорено противное.

Задача 1. Начнем с рассмотрения простой задачи движения грузиков подвешенных на нити, перекинутой через блок. Чаще всего в задачниках условие формулируется словами, реже приводится поясняющий рисунок. При решении задачи, прежде всего, обязательно надо сделать рисунок и расставить все силы, действующие на каждый грузик. На приведенном рисунке для наглядности для двух грузов силы разнесены, не приложены к центрам масс всех грузиков. Правильнее их все надо направить по шнуру, но тогда они сольются. Далее надо написать уравнения движения для каждого тела в векторном виде:

Затем следует эти уравнения написать в проекциях на ось x:

Ускорения обозначены не буквой а, чтобы не писать два индекса. Неизвестных семь, уравнений всего три. Прежде, чем решать систему, надо найти еще четыре уравнения. Первое уравнение следует из третьего закона Ньютона:

Из невесомости шнура следует равенство:

Поясним это утверждение подробнее. Если рассматривать уравнение движения маленького элемент нити, то левая часть уравнения второго закона Ньютона будет тождественно равна нулю из-за нулевой массы элемента нити. Следовательно, правая часть с силами также равна нулю, то есть силы натяжения с обоих концов выделенного элемента одинаковы по величине, что эквивалентно сделанному утверждению. Следует подчеркнуть, что это верно при условии, что трение между нитью и блоком отсутствует. Во второй части пособия будет рассмотрена задача при наличии трения.

Перепишем систему уравнений движения с учетом полученных соотношений:

           

Число неизвестных сократилось, но их больше на два. Недостающие два уравнения можно получить из нерастяжимости нити и условия, что второе и третье тело двигаются с одинаковым ускорением:

     

Подробнее о написанном равенстве. Из нерастяжимости нити следует, что на какую высоту одно тело опустится, на такую же высоту второе тело поднимется за один и тот же промежуток времени. Следовательно, и абсолютные величины скоростей буду равными, но противоположными по направлению, точно такое же соотношения будет и для ускорений.

Приступим к нахождению ускорений тел. Сложим второе и третье уравнения и учтем (29):

Вычтем из этого уравнения первое уравнение (38) и учтем (29):

Таким образом, ускорения тел равны:

                

Направление ускорений будет зависеть от соотношения масс. Для определенности будем считать, что два тела перевешивают первое тело. Обратите внимание, что все внутренние силы системы выпали из ответа.

Выражение для ускорения можно получить не очень научным методом, но много проще. Развернем систему тел по прямой линии. Тело 2 и 3 будем считать за одно тело. Тогда на эту систему будут действовать две

противоположные силы:  и . Масса всей системы равна . Разделив разность сил на массу системы, получим ее ускорение, которое совпадает с ранее найденным.

Сила, действующая на блок, равна удвоенной силе натяжения нити. Силу натяжения можно найти из первого уравнения системы: 

Сделаем проверку. Если , то система будет покоиться, и сила  должна быть равна . Совпадает. Заметьте, что если , то сила при движении будет меньше.

Определим силу взаимодействия между 2 и 3 телами, используя третье уравнения (28):

Интегрирование уравнений для нахождения скоростей движения перемещения тел при равноускоренном движении тел не представляет трудности, и мы на этом не будем останавливаться.

 

Задача 2. Рассмотрим еще одну задачу. Ее условие ясно из приведенного рисунка. Векторные уравнения движения для тел будут иметь вид:

В проекциях на выбранные координатные оси:

Мы предположили, что тело на наклонной плоскости движется вверх.

Так как , то . Находим силу трения: . Из невесомости шнура следует равенство: . Из нерастяжимости шнура следует соотношение: . Переписываем уравнения (32) с учетом полученных соотношений:

Складывая их и учитывая , находим ускорения тел:

        

Это решение справедливо, если числитель дроби положителен:

            

Если последнее неравенство меньше нуля надо решать другую задачу (см. рис). Напишем сразу уравнения движения в проекциях на вновь выбранные оси координат. Обратите внимание на то, что изменено направления:

Складывая эти уравнения, находим ускорения тел:

Это решение справедливо, если правя часть больше нуля:

              

Из предыдущих формул можно найти соотношение между массами, при которых тела будут покоиться:

При выполнении первого неравенств тело на наклонной плоскости двигается вверх, при выполнении второго – вниз. Из этих двух неравенств следует, что при условии:

тела будут покоиться. Если трение нет, то тела будут покоиться только при единственном соотношении:

 

Задача 3. Более сложно рассмотреть эту задачу в предположении, что блок закреплен, и задан коэффициент трения скольжения между нитью и блоком. Каким бы вы способом не решали задачу, надо будет рассчитать либо момент сил трения или разность сил натяжения нитей из-за наличия трения.

На рисунке показан бесконечно малый элемент длиной:

Не следует понимать, что этот элемент находится в верхней точке блока. Просто удобнее рисовать рисунок. Нить невесома, сил тяжести нет. Поэтому этот рисунок правильно отображает суть в пределах угла  от  до . Так как сумма сил, действующая на элемент нити должна быть равна нулю (из-за его невесомости), то 

Силы, действующие по направлению нити, также должны быть равны (по той же причине):

Из двух последних уравнений, исключив силу трения, получим дифференциальное уравнение для силы натяжения. Проинтегрировав которое, получим отношение сил натяжения в вертикально расположенных участках нитей:

Из последнего соотношения можно найти разность сил натяжения, но она будет выражена через одну, но пока нам неизвестную силу натяжения:

Для сокращения выражений обозначим разность, стоящую в скобках . При отсутствии трения .

   Напишем уравнение для момента импульс системы теп. Это уравнение будет отличаться от уравнения, которое было объяснено в задаче для варианта при отсутствии трения дополнительным моментом сил трения:

Чтобы исключить неизвестную силу натяжения левой нити, напишем второй закон Ньютона для левого тела:

При исключении  надо быть очень внимательным, так как легко ошибиться в знак. В уравнении для момента импульса в моменте сил трения под  понимается абсолютная величина силы натяжения левой нити. Во втором законе Ньютона  проекция силы на ось , действующей на левый грузик со стороны нити. Угловое ускорение, умноженное на радиус, даст положительную проекцию . Поэтому проще всего второй закон написать для абсолютных величин:

Выразим из него  и подставим в уравнение для момента импульса:

Заменив угловое ускорение на линейное, перегруппировав члены и заменив модуль ускорения на его проекцию, получим:

Определив ускорение, можно найти из закона Ньютона найти натяжение левой нити. Вычислив ее, можно определить натяжение и правой нити. Движение равноускоренное силе трения не зависящей от относительной скорости нити и блока. Поэтому интегрирование не представляет труда.

 

 

Законы сохранения.

Задача из задачника И.Е. Иродова. При решении этой задачи целесообразней использовать закон сохранения энергии (см. рис.). В верхних угла находятся блоки, размерами которых можно пренебречь. Можете считать, что имеется два тонких параллельных стержня перпендикулярных плоскости рисунка. Геометрические размеры известны. В начальный момент времени средний шарик (прикрепленный за ушко) находится на горизонтальной линии, проведенной через стержни. Два других шарика находятся на максимальном расстоянии от стержней. Между геометрическими размерами имеется очевидное соотношение:

где длина нити от среднего шарика до бокового шарика. Ноль потенциальной энергии выбран на линии положения боковых шариков. Массы всех шариков одинаковые. Найдем некоторые величины, характеризующие движение шариков.

Полная энергия системы в начальный момент времени равна ее потенциальной энергии:

Потенциальная энергия в произвольный момент времени равна:

Выразим ее через одну переменную . Из нерастяжимости веревки и геометрии следует:

Упростив, получим:

Разрешим уравнение относительно :

       

Делаем на всякий случай проверку. Положив , мы получаем , как и должно быть.

Теперь потенциальную энергию можно выразить как функцию одной переменной:

     

Для еще одной проверки найдем потенциальную энергию в начальный момент времени из общей формулы:

Видите, опять все правильно.

Давайте мысленно представим, как будут двигаться грузики. Вначале их скорости будут увеличиваться, затем система пройдет равновесное положение, и скорости грузиков начнут уменьшаться. В какой-то момент времени все скорости станут равны нулю. В этот момент потенциальная энергия станет равна первоначальной, так как силы трения и сопротивления в задаче не учитываются. Из сказанного следует, что есть еще одно значение , при котором

          

Приравниваем правые части (1) и (2) и получаем уравнение:

,

из которого и находим - высоту среднего шарика в нижней точке:

Таким образом, скорость шариков станет равным нулю, когда средний шарик опустится из верхнего положения на расстояние равное:

В этой задаче интересно то, что точка равновесия не находится на средине между верхней и нижней точками положения среднего шарика. Многие делают ошибку, предполагая это. Максимальные скорости шариков надо находить, используя закон сохранения полной энергии. Поэтому, прежде всего надо найти минимальную потенциальную энергию. Дифференцируя потенциальную энергию, получим:

Приравняв это выражение нулю, находим положение системы при минимальной потенциальной энергии:

Подставляя , находим минимальную потенциальную энергию, а вычтя ее из начальной энергии, находим кинетическую энергию системы:

Осталось «поделить» эту энергию между грузиками. У нас есть связь между высотами шариков. Если его продифференцировать по времени, то можно получить связь между скоростями среднего и боковых шариков:

    

Если в него подставить , то мы найдем связь между скоростями в искомом положении системы:

Находим кинетическую энергию системы, выраженную через скорость среднего шарика:

    

Приравняв (39) и (40), находим максимальную скорость среднего шарика:

Таким образом, система будет совершать периодическое движение. Время периода здесь мы не будем находить. Вернемся к этой задаче при рассмотрении колебаний.

 

  Мертвая петля. Эта задача, которая обязательно задается и в школе и в вузе. Ее решение известно. Но есть вопрос, который практически не рассматривается, может он считается очевидным. Но опыт показал, что показать это не могут даже некоторые студенты.

Условие задачи ясно из картинки. Нужно найти минимальную высоту, с которой должна соскальзывать без трения маленькая шайба, чтобы при ее движении по окружности не произошел отрыв.

Из закона сохранения энергии находим скорость шайбы в верхней точке траектории:

Выражение для центростремительной силы в этой точке равно:

Предельное допустимое значение скорости следует из этого уравнения при . Комбинируя его с предыдущим, находим минимальную высоту:

А теперь вопрос, который вызывает затруднения. Почему тело не может оторваться после прохождения верхней точки? Можно найти ответ, если определить давление на стенку при угле  в пределах :

Скорость в нем находится из закона сохранения энергии:

Как видите, необходимое условие выполняется.

 

Как забросить шайбу на гладкую полусферу. На полусферу радиуса R надо с горизонтальной поверхности забросить маленькую шайбу так, чтобы она остановилась в верхней точке сферы. Столкновение шайбы со сферической поверхностью считать абсолютно упругим. То есть надо найти расстояние, например, от вертикальной оси полусферы, величину начальной скорости шайбы и угол, под которым она направлена к горизонту.

Величина скорости легко находится из закона сохранения энергии:

Однако определение двух других величин «в лоб» вызывает трудность. Даже сразу не приходит в голову как подступиться к их поиску.

Но есть совсем простое решение этой задачи. Вспомните наши рассуждения о качественном описании движения тела, брошенного под углом к горизонту: «Поэтому можно ожидать, что траектории движения тела до максимальной высоты подъема и поле него будут симметричными. Вот теперь пора сделать рисунок и нанести на него необходимые величины», которое подтвердилось в дальнейших расчетах. Что из этого следует? А то, что изменив конечную скорость при падении на противоположное направление, мы получим движение тела в обратном направлении. Поэтому надо решить обратную задачу соскальзывания тела с полусферы.

Найдем выражение для скорости в зависимости от угла :

        

Центростремительная сила равна:

Тело оторвется от поверхности сферы, когда реакция опоры станет равной нулю:

Заменяя скорость из (9), находим косинус угла, при котором происходит отрыв:

(10)

Далее надо рассмотреть движение тела, брошенного под углом к горизонту () с высоты   с начальной скоростью  и определить все необходимые параметры.

Приведем только уравнения, с которых надо начать решение этой задачи:

Все остальное сделаете сами в качестве закрепления разобранного материала.

 

Движение шайбы по незакрепленному клину. На покоящийся на гладкой горизонтальной поверхности клин массой положили на самый верх маленькую шайбу массой . Трения между всеми телами отсутствует. Чему будет равна скорость шайбы в самом низу клина? Геометрические величины известны.

Так как нет трения, то полная механическая энергия двух тел сохраняется. Выберем ноль потенциальной энергии в вершине клина. И для удобства вычислений будем считать, что масса клина сосредоточена в отмеченной точке на рисунке. Тогда уравнение закона сохранения энергии будет иметь вид:

В горизонтальном направлении нет внешних сил, действующих на систему. Следовательно, должна сохраняться проекция на это направление суммарного импульса системы:

Таким образом, мы имеем два уравнения с тремя неизвестными проекциями скоростей тел. Третье необходимое для решения уравнение можно получить из условия, что шайба все время движения скользит по поверхности клина. На приведенном рисунке показано относительное положение тел в некоторый произвольный момент времени. Координата клина в этот момент равна , координаты шайбы равны:

Продифференцировав их по времени найдем уравнение связи между скоростями тел:

Далее задачу можно решать разными методами. Можно, например, в законы сохранения подставить проекции скоростей шайбы и получить систему двух уравнений с двумя неизвестными и . Можно исключить  и получить систему относительно других неизвестных. Что приведет к более коротким вычислениям, догадаться сразу в любой задаче не удается. Лучший способ найти самое красивое решение очень прост. Решаете одним способом, потом другим, затем сравниваете, выбираете и хвастаетесь: «а у меня короче».

Попробуем подставить в законы сохранения проекции скоростей шайбы pp последних двух уравнений связи. Для закона сохранения энергии получаем уравнение:

Для закона сохранения проекции импульса получаем второе уравнение:

Таким образом, получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

 

Разрешаем систему относительно скорости клина:

Из последнего выражения находим кинетическую энергию клина в произвольный момент времени:

Когда шайба будет в самом низу, скорость клина будет равна:

Кинетическую энергию шайбы можно определить из второй формулы закона сохранения, с которого мы начали решать задачу:

 

Транспортер. Имеются два транспортера, ленты которых двигаются с одинаковой скоростью. Каков должен быть коэффициент трения скольжения между лентой транспортера и деталью (будем ее считать маленькой шайбой), чтобы деталь, соскочив с одного транспортера, остановилась на средине ленты второго транспортера? Ширина ленты транспортера равна . На какое расстояние переместится  ленте второго транспортера за время движения шайбы относительно ее?  На каком расстоянии остановится шайба от точки входа на ленту (считая его вдоль оси транспортера)? Скорость движения лент известна.

Перейдем в систему отсчета ленты второго транспортера. В этой системе шайба в начальный момент будет иметь две взаимно перпендикулярные скорости равные . Поэтому шайба будет двигаться под углом  к оси транспортера. До остановки она должна пройти путь равный:

В этой системе отсчета начальная энергия шайбы равна:

Приравнивая ее работе силы трения, находим искомый коэффициент трения:

            

Для того чтобы ответить на второй вопрос, надо найти время движения шайбы. Движение равнозамедленное, поэтому можно обойтись без пояснений:

Умножив скорость транспортера на время движения шайбы, найдем на какое расстояние за это время сместится лента транспортера:

Шайба остановится на меньшем расстоянии, чем это, так как она двигалась с проскальзыванием. Это расстояние можно найти, используя формулу для равноускоренного движения:

А если подумать, то и вычислять не надо, так как мы знаем это расстояние в системе ленты транспортера. Его проекция на ось транспортера равна:

Пока шайба в системе ленты сместилась на это расстояние, сама лента за это время сместилась в противоположном направлении на . Смещение шайбы равно их разности:

.

 

Хитрая воронка с «философским уклоном». На рисунке в разрезе показана цилиндрическая втулка, внутренняя поверхность которой имеет профиль

        

 В ней по круговой орбите без трения скользит точечное тело (частица) на некоторой высоте .

Как будет двигаться частица, если ему сообщить бесконечно малую вертикальную скорость?

Чтобы тело двигалось по круговой орбите необходимо выполнение двух равенств:

Отношение левых частей равенств можно найти, используя геометрический смысл производной (пояснено на рисунке):

Таким образом, мы получили условие, связывающее скорость частицы с радиусом ее орбиты:

Полная энергия частицы, если ноль потенциальной энергии выбрать при равна:

Отношение  можно выразить из уравнения кривой профиля воронки.

Таким образом, полная энергия частицы при любом радиусе траектории постоянна и равна:

Из этого следует, что движение частицы будет неустойчивым и при малейшем изменении ее скорости она вылетит из втулки. 

Найдем скорости вылета частицы из втулки, используя формулу:

Получим:

Задача решена, перейдем к «философскому уклону». Забудем о воронке, а будем считать, что энергия взаимодействия двух частиц зависит от расстояния обратно пропорционально кубу расстояния и отрицательна:

Тогда между частицами действует сила притяжения равная:

Предположим, что одна масса одной частицы много больше другой, и рассмотрим движение легкой частицы по круговой орбите вокруг тяжелой (которую можно считать неподвижной в этом приближении). Скорость движения по орбите связана с радиусом окружности соотношением:

Используя его, найдем полную энергию частицы:

           

Движение, как и рассмотренное в задаче выше, не будет устойчивым. Если понимать под одной частицей Солнце, а под другой Землю, то нас бы не существовало. Или Земля улетела бы в космос или бы упало на Солнце. Если под тяжелой частицей понимать протон, а под легкой электрон, то есть система является атомом водорода (в простейшей теории атома Н. Бора), такой атом не смог долго существовать. Электрон не смог бы упасть на ядро, так как его скорость ограничена, хотя теорией относительности А. Эйнштейна, но ему ничего не мешало распасться.

Так что, Создатель хорошо знал физику, когда создавал Мир, сделав фундаментальные силы взаимодействия (закон Всемирного тяготения и закон Кулона) пропорциональные обратному квадрату расстояния, а не его кубу.   

 

Шайба-маятник на наклонной плоскости. На наклонной плоскости вбили гвоздь и прикрепили к нему нитью маленькую шайбу. Затем отвели на натянутой нити шайбу так, чтобы гвоздь и она были на одинаковой высоте. Масса шайбы, длина нити и коэффициент трения скольжения известны. На какой максимальный угол может отклониться нить, после прохождения шайбой нижней точки, в которой шайба остановиться и не начнет скользить снова в низ. Чему при этом должен быть равен угол наклонной плоскости?

Маятник остановится, когда работа силы трения будет равна приращению потенциальной энергии маятника:

Нулевой уровень потенциальной энергии был выбран в начальном положении мятника. Величину высоты, на которое тело опустилось, можно выразить через длину нити:

 Подставив ее в предыдущее уравнение, получим соотношение для углов и коэффициента трения скольжения:

После остановки маятника возможны два варианта: 1. Маятник будет и впредь покоится в этом положении, 2. Маятник начнет скользить вновь.

Нам нужен первый вариант. Сделаем еще один рисунок.  Маятник, если он начнет двигаться, начнет смещаться по дуге окружности. Натяжение нити будет скомпенсирована проекцией «скатывающей» силы. По направлению движения будет действовать вторая проекция «скатывающей» силы. Против движения будет направлена сила трения. Сила трения покоя в предельном случае можно считать равной силе трения скольжения. Поэтому маятник будет покоиться при выполнении условия:

Коэффициент трения и тангенс угла наклона плоскости мы можем исключить, воспользовавшись ранее найденным выражением:

Далее это уравнение следует решить численно любым методом. Мы этого делать здесь не будем, и предположим, что максимальный угол отклонения найден. Определим, каким должен быть при этом угле угол наклонной плоскости:

Из этого уравнения можно найти искомый угол . Но обязательно при этом должно выполняться неравенство:

В противном случае маятник не начнет скользить из начального положения.