Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

«Классическая» задача. Мы специально начали с хорошо известной задачи каждому школьнику. Вам не надо думать над самим решением и поэтому можете сосредоточиться над методикой решения. Эта задачи и

дальнейшие не будут формулироваться традиционно: это дано, это надо найти. Мы постараемся задачи формулировать как исследования. Поэтому начинать будем с размышлений: а что необходимо знать, чтобы можно было подробно описать движение тела. В этом разделе, по умолчанию, все тела можно будет считать материальными точками, если специально не оговорено противное. Напомним, что тело можно считать точечным, если в задаче можно пренебречь его размерами.

Чтобы однозначно описать движение, нам необходимо знать величину (модуль) начальной скорости и угол, под которым она направлена к горизонту. Будем пока предполагать, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Начнем решать. Только не надо сразу бросаться писать формулы! Прежде надо подумать. Представить мысленно движение тела. Не можете в уме, рисуйте на бумаге. Что приходит в голову? Сопротивления нет, следовательно, полная механическая энергия сохраняется. Предвидим ваше возмущение. Это первая неделя, мы только начали кинематику, а здесь говорят о законе сохранения! Мы еще не проходили!!! А вы окончили школу, аттестат получили? Для кого написано пособие? Загляните в предисловие, если его пропустили. Ясно? Продолжим.

Движение можно представить (или как принято говорить) как суперпозицию двух – по горизонтали и движение в вертикальном направлении. Сила действует на тело только в вертикальном движении, следовательно, по горизонтали тело будет двигаться с постоянной скоростью. В вертикальном направлении скорость тела будет уменьшаться. Когда израсходуется кинетическая «вертикальная» энергия, скорость тела станет равной нулю. Затем движение продолжится в обратном направлении, и при падении тела, его «вертикальная» кинетическая энергия станет равна начальной. Поэтому можно ожидать, что траектории движения тела до максимальной высоты подъема и поле него будут симметричными. Вот теперь пора сделать рисунок и нанести на него необходимые величины.

После того, как вы сделали рисунок, можно начинать писать формулы. Помните, что сделанный (правильный) рисунок – наполовину сделанная задача.

Напишем второй закон Ньютона или уравнение движения для нашей задачи:

Сократив на массу тела, получим задачу на кинематику. Напишем систему кинематических уравнений по координатным осям:

После первого интегрирования по времени с учетом начальных условий, получим:

 

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю. Поэтому из второго уравнения можно найти время подъема:

Интегрируем еще раз по времени:

    

Из второго уравнения  можно найти максимальную высоту:

Приравняв  нулю во втором уравнении  можно найти полное время движения :

Как видите, наше предположение о равенстве времен подъема и падения оправдались.

Подставив полное время движения в уравнение движения по горизонтали, находим расстояние, на котором тело упало от точки бросания:

  

Из последней формулы видно, что максимальная дальность полета при заданной начальной скорости достигается при угле .

Задача выполнена – движение тела описано. Мы из полученных формул можем определить скорость и координату тела в любой момент времени.

Найдем траекторию, по которой двигалось тело. Для этого надо исключить время из системы (2). Получим:

Это уравнение параболы.

Что еще осталось неопределенным? Во-первых, путь пройденный телом. Во- вторых, радиус кривизны кривой. Путь, пройденный телом можно определить по формуле:

В данном случае лучше вычислять определенный интеграл от  до :

Пока вы не умеете вычислять интегралы от функций квадратного трехчлена, проще всего пользоваться справочником по математике, в котором есть таблицы интегралов.

А теперь познакомимся с вычислением радиуса кривизны кривой, на примере параболы. Вы знаете формулу, связывающую скорость, центростремительное ускорение и радиус кривизны:

В верхней точке и в конечных точках радиус кривизны определяется совсем просто:

и    

В произвольной точке выражения получатся достаточно громоздкими.

Попробуем рассмотреть вспомогательную задачу, в которой выражения для скоростей будут проще. Для этого рассмотрим движение тела, брошенного с уступа высотой в горизонтальном направлении. Фактически мы рассматриваем исходную задачу, но со второй половины, переобозначив  на . Сделаем второй рисунок для вспомогательной задачи.

Уравнения, описывающее это движения будут иметь вид:

     

Уравнение траектории движения будет много проще:

или , где    

В верхней точке радиус кривизны равен:  

  

 

 Определим радиус кривизны в произвольной точке , . Если заданы координаты, можно определить момент времени, когда тело будет находиться в этой точке. Для уменьшения выкладок мы будем считать, что это время заданно. Модуль скорости в этой точке равна:

Производная в этой точке равна:

Из геометрического смысла производной следует, что угол  определяется из соотношения:

Находим центростремительное ускорение:

Теперь можно определить радиус кривизны:

После того, как сделаны громоздкие выкладки не мешает проверить их безошибочность. Положив в последней формуле время равным нулю, получим:

Ошибок нет, так как мы получили радиус кривизны в вершине параболы.

Преобразуем выражение так, чтобы в него не входили кинематические величины. В результате получим радиус кривизны для произвольной точки:

Что необходимо запомнить для дальнейшего? Это выражение для радиуса кривизны в вершине параболы. На экзаменах всегда бывают дополнительные вопросы в виде задачек. Вот, например, одна из них. Тело соскальзывает без трения с некоторой высоты по гладкой наклонной поверхности, имеющей форму параболы. Найти силу давление телом на поверхность в нижней точке. Уравнение параболы задается. Скорость материальной точки находится из закона сохранения энергии. Если вы помните формулу  кривизны параболы, то ответ пишется сразу:

  

 - скорость тела в нижней точке,  - сила, действующая на тело со стороны поверхности.

А можно ли решить эту задачу, если вы не знаете выражения (7)? Можно, но решение гораздо сложнее. Рассмотрим его.

Продифференцируем уравнение параболы дважды по времени:

В нижней точке второе слагаемое равно нулю, скорость тела можно найти из закона сохранения энергии (если считать заданной высоту, с которой начало соскальзывать тело). Следовательно:

Таким образом, получили формулу, которая была написана сразу.

 

Как нырнуть, а не переломать ноги. Можно ли прыгать с уступа высотой , если до воды имеется твердая поверхность шириной , через которую надо перепрыгнуть? Чтобы ответить на этот вопрос, надо решить модельную задачу, в которой надо рассчитать оптимальный угол, под которым должна быть направлена начальная скорость, чтобы тело упало как можно дальше от подножия уступа. Затем, зная  и , рассчитать величину начальной скорости. Далее, надо попросить товарища засечь высоту, на которое поднимается ваш животик при вашем прыжке вверх. Из закона сохранения энергии вычислить свою возможную скорость. Если она окажется недостаточной (с запасом), то отказаться от этого аттракциона, чтобы не оказаться в хирургическом отделении. Мы ограничимся только расчетом оптимального угла.

В первой задаче было показано, что без уступа максимальная дальность достигается при угле равным . Ясно, что при увеличении высоты уступа следует уменьшать начальный угол. При очень большой высоте уступа вертикальная проекция конечной скорости будет определяться выстой уступа и будет много больше горизонтальной проекции скорости. Угол , показанный на рисунке, будет стремиться к нулю, при стремлении высоты уступа к бесконечности. Угол же   в предельном случае можно сделать равным нулю. Из движения тела по вертикали находим полное время движения (начало координат совмещено с положением тела в начальный момент):

      

Находим расстояние, пройденное по горизонтали за это время:     

Далее идут простые, но громоздкие преобразование этой формулы, чтобы разрешить ее относительна искомого угла:

По физическому смыслу выражение не должно быть отрицательным:

Так как мы ищем оптимальный угол, то следует выбрать знак равенства, то есть максимально допустимое :

При таком выборе выражение под корнем равно нулю, а оптимальный угол будет равен:

Как следует, в предельных случаях он равен:

 при

при

Максимальное расстояние, на котором упадет тело от основания уступа, было получено выше.