Системы координат. Скорость и ускорение в цилиндрической системе координат.

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ

по

ФИЗИКЕ

И ПОЧЕМУ ИХ НАДО РЕШАТЬ

ЗАДАЧИ

 

Часть 1. Механика Ньютона.

 

 

Москва 2009 год

 

  А. Н. Варгин, Н.С. Вороннова.         

КВК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ,

И ПОЧЕМУ ИХ НАДО РЕШАТЬ.   

                                                                     

                                                                                       

                                                                                        Трепещу, низко кланяюсь и прошу слова.

                                                                                                 Трепещу, ибо на вас не угодишь, кланяюсь,

                                                                                         ибо получил хорошее воспитание, прошу

                                                                             слова, ибо должен что-то сказать.

Шекспир.

 

 

Предисловие.

Цель пособия помочь студентам, изучающим курс общей физики, научиться решать задачи. Часть задач доступна школьникам старших классов. Стоит сказать несколько слов по поводу второй фразы в названии пособия. Если вы хотите стать физиком или инженером не только занимающимся техническими расчетами, а и изобретателем, то умение решать задачи совершенно необходимо. Поясним это утверждение на примере физика. В чем суть работы физика? Решаешь одну задачу, а уже начинаешь думать над следующей проблемой. И так всю жизнь. Теорию знать необходимо. Но как бы вы не выучили теорию, этого недостаточно. Можно сделать и защитить диссертацию, если повезет с руководителем, у которого есть задача и который подскажет, как ее надо решать. И будете всю жизнь делать все по чьей-то подсказке или указаниям. Неужели вас это устраивает? Если нет, то решать задачи надо научиться в годы учебы, а не откладывать на потом. Потом может и не получится. Поэтому мы попытались предложить и разобрать задачи, которые на наш взгляд требуют размышления, а не подстановки известных величин в известные формулы. Насколько это удалось, судить вам.

О содержании пособия. Необходимые сведения из математики по темам, которые еще студенты не успели пройти по математике, но необходимые для решения задач, приведены в пособии. Теоретические вопросы по физике рассматриваются только те, которые недостаточно подробно или понятно для студентов рассмотрены в базовом учебнике, например, в курсе общей физики И.В. Савельева.

Первой части пособия преследует несколько целей. Первая – методическая и наиболее простая, научить студентов правильному подходу к решению задачи, ее оформлению, как например, рисования поясняющих условие задачи и ее решения рисунков, необходимости проверки правильности решения и некоторым другим. Вторая цель пособия преследует более сложную, но и наиболее важную задачу, научить студента думать самостоятельно.

Несколько слов о стиле изложения. Пособие написано в виде объяснения задач студентам на семинарских занятиях преподавателем, стоящим у доски.

И последнее замечание. По определению все студенты окончили школу, изучили школьную физику. Поэтому в задачах пособия, используются те понятия (на школьном уровне), которые еще не изучались по физике в институте.

 

 

Выражаю глубокую благодарность за большой труд прочтения рукописи и ценные замечания:

С. Г. Рубину, МИФИ,

Л. А. Кириченко, МФТИ.

 

Обращение к читателям.

Большая просьба, к прочитавшим или просмотревшим это пособие, сообщить об обнаруженных опечатках и о том, что вам показалось, не очень понятно изложено. Постараюсь оперативно исправить.

Для связи: [e-mail]

Содержание.

 1. Системы координат. Скорость и ускорение в цилиндрической системе координат……..…..….…4 

2. Движение тела, брошенного под углом к горизонту…………………………………………………….….…..……..7

3. Движение тела в вязкой среде……………………………………………………………………………………….……...……..12              

4. Движение тела в движущейся среде……………………………………………………………………………..………..……18

5. Движение грузиков, подвешенных на нитях, перекинутых через блоки……………………..…..……..21

6. Законы сохранения…………………………………………………………………………………………………..…….………………25         

7. Столкновения двух тел и задачи, сводящиеся к ним…………………………………………..…………….…….….33

8. Движение тел по криволинейной траектории……………………………………………………..………………..…..42

9. Упругие силы………………………………………………………………………………………………..…………………………..…….50

10. Движение самонаводящихся тел…………………………………………………………………………………….….……….52

11. Задачи на экстремум…………………………………………………………………………………………………………..…………56

12. Работа сил трения……………………………………………………………………………………….………..…………..…………..58

13. Движение тел в неинерциальных системах отсчета………………………………….………………..…………….65

14. Движение тел с переменной массой………………………………………………………..…………………..…………….70

15. Закон тяготения Ньютона……………………………………………………………………………..……………….. …………..75

16. Основные уравнения динамики твердого тела………………………………………..………………….………… … 87

17. Вычисление моментов инерции…………………………………………………………………..………………….….……….88

18. Движение тела вокруг неподвижной оси…………………………………………………..…………………..……………93

19. Работа сил трения при вращении тела………………………………………………………………………….…….………101

20. Плоское движение твердого тела……………………………………………………………………………….………….…. 104

21. Столкновение тел…………………………………………………………………………………………………………………….……119

22. Решение задач на столкновение тел с помощью законов Ньютона……………………………………….. 123

23. Метод виртуальных перемещений в задачах движения нескольких тел………………………………. 127

24.  Движение твердого тела с изменением ориентации в пространстве момента импульса……. 131

25. Статика…………………………………………………………………………………………………………………………………………..132

26. Гидростатика………………………………………………………………………………………………………………………………….139

Законы сохранения.

Задача из задачника И.Е. Иродова. При решении этой задачи целесообразней использовать закон сохранения энергии (см. рис.). В верхних угла находятся блоки, размерами которых можно пренебречь. Можете считать, что имеется два тонких параллельных стержня перпендикулярных плоскости рисунка. Геометрические размеры известны. В начальный момент времени средний шарик (прикрепленный за ушко) находится на горизонтальной линии, проведенной через стержни. Два других шарика находятся на максимальном расстоянии от стержней. Между геометрическими размерами имеется очевидное соотношение:

где длина нити от среднего шарика до бокового шарика. Ноль потенциальной энергии выбран на линии положения боковых шариков. Массы всех шариков одинаковые. Найдем некоторые величины, характеризующие движение шариков.

Полная энергия системы в начальный момент времени равна ее потенциальной энергии:

Потенциальная энергия в произвольный момент времени равна:

Выразим ее через одну переменную . Из нерастяжимости веревки и геометрии следует:

Упростив, получим:

Разрешим уравнение относительно :

       

Делаем на всякий случай проверку. Положив , мы получаем , как и должно быть.

Теперь потенциальную энергию можно выразить как функцию одной переменной:

     

Для еще одной проверки найдем потенциальную энергию в начальный момент времени из общей формулы:

Видите, опять все правильно.

Давайте мысленно представим, как будут двигаться грузики. Вначале их скорости будут увеличиваться, затем система пройдет равновесное положение, и скорости грузиков начнут уменьшаться. В какой-то момент времени все скорости станут равны нулю. В этот момент потенциальная энергия станет равна первоначальной, так как силы трения и сопротивления в задаче не учитываются. Из сказанного следует, что есть еще одно значение , при котором

          

Приравниваем правые части (1) и (2) и получаем уравнение:

,

из которого и находим - высоту среднего шарика в нижней точке:

Таким образом, скорость шариков станет равным нулю, когда средний шарик опустится из верхнего положения на расстояние равное:

В этой задаче интересно то, что точка равновесия не находится на средине между верхней и нижней точками положения среднего шарика. Многие делают ошибку, предполагая это. Максимальные скорости шариков надо находить, используя закон сохранения полной энергии. Поэтому, прежде всего надо найти минимальную потенциальную энергию. Дифференцируя потенциальную энергию, получим:

Приравняв это выражение нулю, находим положение системы при минимальной потенциальной энергии:

Подставляя , находим минимальную потенциальную энергию, а вычтя ее из начальной энергии, находим кинетическую энергию системы:

Осталось «поделить» эту энергию между грузиками. У нас есть связь между высотами шариков. Если его продифференцировать по времени, то можно получить связь между скоростями среднего и боковых шариков:

    

Если в него подставить , то мы найдем связь между скоростями в искомом положении системы:

Находим кинетическую энергию системы, выраженную через скорость среднего шарика:

    

Приравняв (39) и (40), находим максимальную скорость среднего шарика:

Таким образом, система будет совершать периодическое движение. Время периода здесь мы не будем находить. Вернемся к этой задаче при рассмотрении колебаний.

 

  Мертвая петля. Эта задача, которая обязательно задается и в школе и в вузе. Ее решение известно. Но есть вопрос, который практически не рассматривается, может он считается очевидным. Но опыт показал, что показать это не могут даже некоторые студенты.

Условие задачи ясно из картинки. Нужно найти минимальную высоту, с которой должна соскальзывать без трения маленькая шайба, чтобы при ее движении по окружности не произошел отрыв.

Из закона сохранения энергии находим скорость шайбы в верхней точке траектории:

Выражение для центростремительной силы в этой точке равно:

Предельное допустимое значение скорости следует из этого уравнения при . Комбинируя его с предыдущим, находим минимальную высоту:

А теперь вопрос, который вызывает затруднения. Почему тело не может оторваться после прохождения верхней точки? Можно найти ответ, если определить давление на стенку при угле  в пределах :

Скорость в нем находится из закона сохранения энергии:

Как видите, необходимое условие выполняется.

 

Как забросить шайбу на гладкую полусферу. На полусферу радиуса R надо с горизонтальной поверхности забросить маленькую шайбу так, чтобы она остановилась в верхней точке сферы. Столкновение шайбы со сферической поверхностью считать абсолютно упругим. То есть надо найти расстояние, например, от вертикальной оси полусферы, величину начальной скорости шайбы и угол, под которым она направлена к горизонту.

Величина скорости легко находится из закона сохранения энергии:

Однако определение двух других величин «в лоб» вызывает трудность. Даже сразу не приходит в голову как подступиться к их поиску.

Но есть совсем простое решение этой задачи. Вспомните наши рассуждения о качественном описании движения тела, брошенного под углом к горизонту: «Поэтому можно ожидать, что траектории движения тела до максимальной высоты подъема и поле него будут симметричными. Вот теперь пора сделать рисунок и нанести на него необходимые величины», которое подтвердилось в дальнейших расчетах. Что из этого следует? А то, что изменив конечную скорость при падении на противоположное направление, мы получим движение тела в обратном направлении. Поэтому надо решить обратную задачу соскальзывания тела с полусферы.

Найдем выражение для скорости в зависимости от угла :

        

Центростремительная сила равна:

Тело оторвется от поверхности сферы, когда реакция опоры станет равной нулю:

Заменяя скорость из (9), находим косинус угла, при котором происходит отрыв:

(10)

Далее надо рассмотреть движение тела, брошенного под углом к горизонту () с высоты   с начальной скоростью  и определить все необходимые параметры.

Приведем только уравнения, с которых надо начать решение этой задачи:

Все остальное сделаете сами в качестве закрепления разобранного материала.

 

Движение шайбы по незакрепленному клину. На покоящийся на гладкой горизонтальной поверхности клин массой положили на самый верх маленькую шайбу массой . Трения между всеми телами отсутствует. Чему будет равна скорость шайбы в самом низу клина? Геометрические величины известны.

Так как нет трения, то полная механическая энергия двух тел сохраняется. Выберем ноль потенциальной энергии в вершине клина. И для удобства вычислений будем считать, что масса клина сосредоточена в отмеченной точке на рисунке. Тогда уравнение закона сохранения энергии будет иметь вид:

В горизонтальном направлении нет внешних сил, действующих на систему. Следовательно, должна сохраняться проекция на это направление суммарного импульса системы:

Таким образом, мы имеем два уравнения с тремя неизвестными проекциями скоростей тел. Третье необходимое для решения уравнение можно получить из условия, что шайба все время движения скользит по поверхности клина. На приведенном рисунке показано относительное положение тел в некоторый произвольный момент времени. Координата клина в этот момент равна , координаты шайбы равны:

Продифференцировав их по времени найдем уравнение связи между скоростями тел:

Далее задачу можно решать разными методами. Можно, например, в законы сохранения подставить проекции скоростей шайбы и получить систему двух уравнений с двумя неизвестными и . Можно исключить  и получить систему относительно других неизвестных. Что приведет к более коротким вычислениям, догадаться сразу в любой задаче не удается. Лучший способ найти самое красивое решение очень прост. Решаете одним способом, потом другим, затем сравниваете, выбираете и хвастаетесь: «а у меня короче».

Попробуем подставить в законы сохранения проекции скоростей шайбы pp последних двух уравнений связи. Для закона сохранения энергии получаем уравнение:

Для закона сохранения проекции импульса получаем второе уравнение:

Таким образом, получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

 

Разрешаем систему относительно скорости клина:

Из последнего выражения находим кинетическую энергию клина в произвольный момент времени:

Когда шайба будет в самом низу, скорость клина будет равна:

Кинетическую энергию шайбы можно определить из второй формулы закона сохранения, с которого мы начали решать задачу:

 

Транспортер. Имеются два транспортера, ленты которых двигаются с одинаковой скоростью. Каков должен быть коэффициент трения скольжения между лентой транспортера и деталью (будем ее считать маленькой шайбой), чтобы деталь, соскочив с одного транспортера, остановилась на средине ленты второго транспортера? Ширина ленты транспортера равна . На какое расстояние переместится  ленте второго транспортера за время движения шайбы относительно ее?  На каком расстоянии остановится шайба от точки входа на ленту (считая его вдоль оси транспортера)? Скорость движения лент известна.

Перейдем в систему отсчета ленты второго транспортера. В этой системе шайба в начальный момент будет иметь две взаимно перпендикулярные скорости равные . Поэтому шайба будет двигаться под углом  к оси транспортера. До остановки она должна пройти путь равный:

В этой системе отсчета начальная энергия шайбы равна:

Приравнивая ее работе силы трения, находим искомый коэффициент трения:

            

Для того чтобы ответить на второй вопрос, надо найти время движения шайбы. Движение равнозамедленное, поэтому можно обойтись без пояснений:

Умножив скорость транспортера на время движения шайбы, найдем на какое расстояние за это время сместится лента транспортера:

Шайба остановится на меньшем расстоянии, чем это, так как она двигалась с проскальзыванием. Это расстояние можно найти, используя формулу для равноускоренного движения:

А если подумать, то и вычислять не надо, так как мы знаем это расстояние в системе ленты транспортера. Его проекция на ось транспортера равна:

Пока шайба в системе ленты сместилась на это расстояние, сама лента за это время сместилась в противоположном направлении на . Смещение шайбы равно их разности:

.

 

Хитрая воронка с «философским уклоном». На рисунке в разрезе показана цилиндрическая втулка, внутренняя поверхность которой имеет профиль

        

 В ней по круговой орбите без трения скользит точечное тело (частица) на некоторой высоте .

Как будет двигаться частица, если ему сообщить бесконечно малую вертикальную скорость?

Чтобы тело двигалось по круговой орбите необходимо выполнение двух равенств:

Отношение левых частей равенств можно найти, используя геометрический смысл производной (пояснено на рисунке):

Таким образом, мы получили условие, связывающее скорость частицы с радиусом ее орбиты:

Полная энергия частицы, если ноль потенциальной энергии выбрать при равна:

Отношение  можно выразить из уравнения кривой профиля воронки.

Таким образом, полная энергия частицы при любом радиусе траектории постоянна и равна:

Из этого следует, что движение частицы будет неустойчивым и при малейшем изменении ее скорости она вылетит из втулки. 

Найдем скорости вылета частицы из втулки, используя формулу:

Получим:

Задача решена, перейдем к «философскому уклону». Забудем о воронке, а будем считать, что энергия взаимодействия двух частиц зависит от расстояния обратно пропорционально кубу расстояния и отрицательна:

Тогда между частицами действует сила притяжения равная:

Предположим, что одна масса одной частицы много больше другой, и рассмотрим движение легкой частицы по круговой орбите вокруг тяжелой (которую можно считать неподвижной в этом приближении). Скорость движения по орбите связана с радиусом окружности соотношением:

Используя его, найдем полную энергию частицы:

           

Движение, как и рассмотренное в задаче выше, не будет устойчивым. Если понимать под одной частицей Солнце, а под другой Землю, то нас бы не существовало. Или Земля улетела бы в космос или бы упало на Солнце. Если под тяжелой частицей понимать протон, а под легкой электрон, то есть система является атомом водорода (в простейшей теории атома Н. Бора), такой атом не смог долго существовать. Электрон не смог бы упасть на ядро, так как его скорость ограничена, хотя теорией относительности А. Эйнштейна, но ему ничего не мешало распасться.

Так что, Создатель хорошо знал физику, когда создавал Мир, сделав фундаментальные силы взаимодействия (закон Всемирного тяготения и закон Кулона) пропорциональные обратному квадрату расстояния, а не его кубу.   

 

Шайба-маятник на наклонной плоскости. На наклонной плоскости вбили гвоздь и прикрепили к нему нитью маленькую шайбу. Затем отвели на натянутой нити шайбу так, чтобы гвоздь и она были на одинаковой высоте. Масса шайбы, длина нити и коэффициент трения скольжения известны. На какой максимальный угол может отклониться нить, после прохождения шайбой нижней точки, в которой шайба остановиться и не начнет скользить снова в низ. Чему при этом должен быть равен угол наклонной плоскости?

Маятник остановится, когда работа силы трения будет равна приращению потенциальной энергии маятника:

Нулевой уровень потенциальной энергии был выбран в начальном положении мятника. Величину высоты, на которое тело опустилось, можно выразить через длину нити:

 Подставив ее в предыдущее уравнение, получим соотношение для углов и коэффициента трения скольжения:

После остановки маятника возможны два варианта: 1. Маятник будет и впредь покоится в этом положении, 2. Маятник начнет скользить вновь.

Нам нужен первый вариант. Сделаем еще один рисунок.  Маятник, если он начнет двигаться, начнет смещаться по дуге окружности. Натяжение нити будет скомпенсирована проекцией «скатывающей» силы. По направлению движения будет действовать вторая проекция «скатывающей» силы. Против движения будет направлена сила трения. Сила трения покоя в предельном случае можно считать равной силе трения скольжения. Поэтому маятник будет покоиться при выполнении условия:

Коэффициент трения и тангенс угла наклона плоскости мы можем исключить, воспользовавшись ранее найденным выражением:

Далее это уравнение следует решить численно любым методом. Мы этого делать здесь не будем, и предположим, что максимальный угол отклонения найден. Определим, каким должен быть при этом угле угол наклонной плоскости:

Из этого уравнения можно найти искомый угол . Но обязательно при этом должно выполняться неравенство:

В противном случае маятник не начнет скользить из начального положения.

 

Упругие силы.

Модель перехода механической энергии во внутреннюю энергию (тепло).

На гладкой поверхности лежат две одинаковых шайбы (на рис. вид сверху). Одной шайбе сообщили скорость. У второй шайбы есть «хитрая» невесомая пружинка. Она сжимается при столкновении шайбы и намертво прикрепляется к налетевшей шайбе. Рассмотрим, как будут двигаться две шайбы, ставшие упругой гантелью. С «макроскопической» точки зрения (без детализации того, что тело после столкновения состоит из двух шайб и пружинки) рассматривать столкновение, как абсолютно неупругое столкновение двух тел. Применить закон сохранения импульса и из него найти скорость центра масс гантели:

         

 Вычесть из начальной энергии конечную кинетическую энергию:

И сказать, что кинетическая энергия системы тел, равная правой части предыдущего равенства, перешла во внутреннюю энергию тела, образовавшегося при абсолютно неупругом столкновении двух тел.

С «микроскопической» точки зрения мы можем объяснить, что убыль механической системы двух тел перешла в энергию колебаний. Мы даже сможем определить максимальное расстояние между шайбами гантели, приравняв убыль энергии потенциальной энергии растянутой пружины, если нам известны длина недеформированной пружины и ее коэффициент упругости:

Можно рассчитать максимальные скорости шайб гантели в системе координат, движущейся со скоростью их центра масс. Когда пружинка будет не деформирована, шайбы будут находиться на расстоянии , и будут сближаться или удаляться с одинаковыми скоростями равными:

Рассмотрим еще один пример с двумя упругими гантелями, показанными на рисунке. Для выявления сути происходящего достаточно рассмотреть столкновение двух гантелей в системе центра масс, в которой они двигаются навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. 

Предположим, что столкновение шайб гантели абсолютно упругое и происходит мгновенно. После столкновения скорости шайб останутся по величине неизменными, но изменят направления на противоположные. В каждой гантели обе шайбы будут сближаться со скоростями . Центр же масс каждой гантели будет покоиться. Когда потенциальная энергия сжатой пружины станет равна кинетической энергии обеих шайб, последние остановятся. Минимальное расстояние между ними можно найти из закона сохранения энергии:

При расчете было сделано, что в сталкивающихся гантелях шайбы не колебались. Через время равное периоду колебаний шайбы вновь вернуться в состояние, в котором они были в момент столкновения. Пружина будет не деформирована, но обе шайбы гантели будут двигаться от их центра масс со скоростями . Сталкивающиеся шайбы вновь обменяются скоростями, и гантели с недеформированными пружинами начнут удаляться друг от друга со скоростями .

С «макроскопической» точки зрения произошло столкновение двух тел, а время равное периоду колебаний есть время столкновения. К этому вопросу мы вернемся ниже. Если колебания не являются незатухающими, то произойдет некоторая убыль механической энергии, и столкновение не будет абсолютно упругим.

Последний пример. Предположим, что сталкиваются два «клубка» из большого числа шариков, соединенных пружинками. Могут быть два варианта. Клубки после столкновения будут двигаться независимо. Причем часть энергии перейдет в энергию колебаний шариков. Столкновение будет не абсолютно упругим. Второй вариант – шарики клубков запутаются друг в друге. Столкновение будет абсолютно неупругим. Мы сможем подсчитать потерю механической энергии клубков, если считать клубки материальными точками, но не сможем конкретно подсчитать какую долю ее взял каждый клубок.

Так и при столкновении твердых тел, часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию атомов или молекул, из которых состоят тела. Абсолютно упругих столкновений нет. Просто в некоторых учебных задачах пренебрегают потерей механической энергии. При расчете в реальных задачах, если можно ограничиться приближенным результатом также довольно часто делают приближение абсолютно упругого столкновения.  

Убыль механической энергии происходит не только при столкновении тел, но при трении поверхностей, движущихся относительно друг друга двух тел. А какая собственно разница? При движении тела атомы его поверхностного слоя (представьте поверхностные атомы шариками на пружинках) взаимодействуют с поверхностными атомами другого тела. Тело несколько деформирует поверхность (и его соприкасающаяся поверхность тоже деформируется, абсолютно твердое тело идеализация) и энергия поверхностного слоя увеличивается. Поэтому при трении скольжения поверхности нагреваются. Можно из общих соображений предсказать, что убыль механической энергии должна быть пропорциональна относительного перемещения поверхностей тел.

И в заключение о времени столкновения упругих тел. В лаборатории по механике во многих вузах имеются лабораторные работы по изучению столкновению шариков. В работе в частности определяется зависимость времени столкновения как функция относительной скорости шаров в момент столкновения. Если вы из школьного курса знаете, что если вместо одной пружины поставит параллельно две, то эффективный коэффициент жесткости возрастет вдвое, то, не делая опыта, можете утверждать, что время столкновения будет уменьшаться при увеличении скорости столкновения. На первый взгляд, если вообще не думать, это кажется парадоксальным, так как при увеличении скорости растет величина упругой деформации. Но если подумать и вспомнить хорошо забытую формулу для периода колебаний шарика на пружине:

,

то можно сообразить, что при увеличении деформации увеличивается площадь соприкосновения шаров, то есть «включается» все большее число пружинок, что приводит к увеличению коэффициента жесткости. Время столкновения на языке колебаний равно половине периода. Вот поэтому время столкновения должно уменьшаться. Увеличивается только амплитуда, но период от амплитуды не зависит.  

 

 

Работа сил трения.

Мы уже рассматривал задачи, в которых между телами или между поверхностью, по которой движется тело, появлялись силы трения скольжения при перемещении тел относительно друг друга. В этом разделе мы рассмотрим подробно работу сил трения, так как сделанные выводы будут необходимы в следующей части пособия «Динамика твердого тела».

В учебниках (во всех которые нам известны) встречается два термина: сила трения покоя и сила трения скольжения. Оба термина с нашей точки зрения не совсем удачные. Почему – будет ясно из примеров, приведенных ниже. Мы не будем менять установившейся терминологии. Важна, в конце концов, не сама терминология, а что понимается под этими терминами.

   Но начинать по нашему мнению надо не с конкретных сил трения и работы этих сил, а с фундаментальных понятий энергии и работы силы. В этой части мы рассматриваем произвольное движение тел, которые можно считать точечными, (то есть тел, для которых можно пренебречь их собственной кинетической энергии вращения и моментом импульса) или поступательного движения протяженных тел.

Начнем с 2-го закона Ньютона, фундамента всей нерелятивистской механики. Подчеркну, так как это важно для всего понимания последующего материала, что закон сформулирован для точечного тела или протяженного тела, движущегося поступательно. Напишем уравнение второго закона, умножим его скалярно на вектор бесконечно малого перемещения  и преобразуем левую часть уравнения:

Заметим, мы имеем право умножать на , так как все точки тела, движущегося поступательно тела, за бесконечно малый промежуток времени перемещаются на равное для всех точек тела бесконечно малое перемещение (бесконечно малое приращение их скоростей так же одинаково).

Левая часть уравнения с точки зрения математики является дифференциалом функции . Поэтому интегрирование не вызывает труда: