Движение самонаводящихся тел.

В этом разделе будут рассмотрены задачи движения двух тел, когда вектор скорости догоняющего тела (ракеты, торпеды) при движении все время направлен на второе тело, которое мы будем называть целью.

 

Торпедная атака. На рисунке показаны положения тел в начальный момент времени, в произвольный  момент времени и в момент поражения тела. Скорости тел по величине будем считать постоянными. Найти точку, в которой произойдет столкновение тел. Напишем уравнения движения тел для произвольного момента времени:

    

Левая система написана для движения торпеды, правая – для цели. В момент столкновения мы можем в систему для торпеды подставить искомые координаты точки столкновения, но нам неизвестны явный вид тригонометрических функций от времени. Поэтому правые части уравнений останутся в виде интегралов, изменятся только верхние пределы интегралов: 

                                   

Сложность состоит в том, что тригонометрические выражения являются функциями времени, которые нам неизвестны. Поэтому интегралы вычислить для произвольного момента времени нельзя. Мы только можем приравнять правые стороны уравнений верхней строчки систем:

       

Но мы пока не использовали условия самонаведения. Если перейти в систему ракеты, то наблюдатель на ней будет видеть приближение цели со скоростью:

Расстояние между ними будет сокращаться по закону:

В момент столкновения последнее уравнение перейдет в равенство:

Теперь не представляет труда найти время столкновения. Выражая интеграл от косинуса из равенства расстояний, пройденных по , получим:

 Определив время до столкновения, находим путь, пройденный целью:

                       

 

Самонаводящаяся ракета и самолет. Вы обнаружили самолет на расстоянии , летящий на вас на высоте  со скоростью . В тот же момент вы выпускаете самонаводящуюся ракету, которая должна поразить цель на расстоянии  от вас. Какова должна быть скорость ракеты?

   Из поставленного задания следует, что столкновение должно произойти через время:

Напишем уравнения движения подобные предыдущей задачи и уравнение сближения тел:

              

В момент столкновения третье уравнение перейдет в равенство:

а первое уравнение в равенство:

Исключая интеграл, получим уравнение для определения скорости ракеты:

Не будем торопиться находить скорость движения ракеты и найдем время до столкновения:

Проверим один предельный случай. Если высота равна нулю, то для встречи тел на средине расстояния их скорости должны быть равными. Если вычислить время по полученной формуле, то оно окажется, как и должно быть, равным:

Подставляя в формулу для времени , находим искомую скорость ракеты:

которая, как и должно быть, равна скорости цели.

С решением этой задачи. Надо быть осторожным. Если цель до поражения прошла достаточно большое расстояние, уравнение для скорости сближения будет неверно. Пояснение этого утверждения показано на рисунке. В формуле для относительного расстояния надо поменять знак:

Следующая за ней формула останется неизменной:

Решите для тренировки эту задачу при условии, что цель должна быть поражена, когда она пройдет над точкой пуска ракеты и удалится, двигаясь по прямой линии, еще на расстояние .

 

Волк и козел. Козел привязан за веревку. Волк хочет съесть козла (Козел не хочет этого). Начальное их положение показано на рисунке. Волк естественно всегда нацелен на Козла. Ответьте на вопросы:  1. При какой скорости волк догонит козла, если скорость Козла известна, 2. Как они будут двигаться через достаточно большое время, если скорость волка меньше скорости Козла, 3. Что значит достаточно большое время, по сравнению с чем?

Ясно, что волк догонит козла за конечное время при условии, что его скорость больше скорости козла. При скорости волка меньше скорости козла оба тела двигаются по окружностям, причем периоды совпадают. Положение волка находится проведение касательно. Эти траектории показаны на втором рисунке.

  

  Шесть дружных черепашек. Шесть черепашек находятся на окружности радиуса . Все они одновременно начинают ползти к своим ближайшим соседкам (по часовой стрелке) с постоянной скоростью , причем вектор скорости направлен все время движения на соседку. Определить кинематические величины, как функции времени, характеризую движение верхней черепашки.

Прежде чем решать задачу представим общую картину движения черепашек. Имеется и будет сохраняться симметрия картины относительно оси , проходящей через центр окружности, перпендикулярной плоскости рисунка и направленной от нас. Следовательно, все время движения черепашки будут находиться на окружности, радиус которой уменьшается. Из этого следует, что все проекции скоростей сохраняются по своей величине. Значит скорость относительного сближения пары черепашек, равна:

Мы можем определить время движения черепашек, разделив начальное расстояние на полученную скорость:

Умножив время движения на постоянную скорость черепашки, находим ее путь или длину траектории:

Движение верхней черепашки удобнее рассматривать в полярной системе координат  и . Зависимость  можно написать сразу:

Можно определить :

 

Таким образом, в полярной системе координат все проекции скоростей постоянны.

Зависимость угла попорота вектора  можно определить из геометрии (см. рис. размеры не соблюдены для наглядности):

Переходя к пределу, получим угловую скорость поворота:

Если это выражение проинтегрировать по времени и учесть нулевое начальное условие, то получим зависимость угла поворота от времени:

В последнее выражение нельзя подставить найденное выше полное время движения. Оно получено в предположении, что все черепашки соберутся в центре. Но реальные черепашки имеют размер. Поэтому пока ползут их можно считать материальными точками до момента соприкосновения. С учетом их размера время будет несколько меньше и расходимости не будет.

Перейдем к определению ускорений. Используя общую формулу, получим:

Мы можем написать равенство модулей ускорений в различных системах координат:

Так как все скорости по величине постоянны, то тангенциальное уравнение будет равно нулю. Поэтому мы можем в каждой точке траектории определить радиус кривизны:

      

Полное ускорение, с которым ползет черепашка равно нормальному ускорению:

 

 

11. Задачи на экстремум.

 

Волк и козел. Волка находится в центре окружности. Козел может бежать по окружности, так как привязан веревкой к колу в центе окружности. Найти минимальное время, за которое волк сможет догнать козла. Вы можете сказать, что надо определить точку на окружности козла, в которую волк и козел прибегут одновременно. Но волк не понимает, что козел вынужден из-за веревки бежать по окружности. А козел не побежит в найденную точку на встречу к волку, а развернется и побежит в обратную сторону. Поэтому волк будет бежать так, чтобы расстояние между ними уменьшалось, как можно быстрее.

Перейдем во вращающуюся систему координат, в которой бегущий козел покоится. Кратчайшим расстояние между ним и волком будет радиус окружности. Если волка хочет бежать по радиусу, то он должен иметь ту же самую угловую скорость, что и козел:

В этой формуле  - скорость козла, которому недолго осталось жить,  радиус окружности, по которой он бежит. Найдем радиальную скорость волка:

Разделив переменные, получим выражение для определения времени погони:

Этот интеграл можно преобразовать заменой переменной. Покажем, как это делается:

Было введена замена:

      

Следовательно, надо вычислить интеграл:

Такой интеграл есть не только в любом справочнике, но в приложениях в большинстве задачников. Смотрим, выписываем ответ и переходим к начальным обозначениям:

При скорости волка меньше скорости козла радиальная скорость обращается в ноль при равенстве нулю подкоренного выражения:

Из него и находится радиус окружности, по которой будет бегать волк. Расстояние будет кратчайшим между ними, на которое волк сможет приблизиться к козлу при заданной скорости.

 

Как надо везти санки с грузом, чтобы меньше устать. Человек везет санки (считать точечным телом) по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью. Он приспособился под таким  углом направить веревку, чтобы сила, с которой он тянет санки, была наименьшей (см. рис.). Затем начался подъем. Каким надо сделать угол в этом случае? Считать, что коэффициент трения остался таким же.

Так как санки двигаются с постоянной скоростью, то сумма проекций всех сил на горизонтальное и вертикальное направления должны быть равны нулю:

Исключив из этих уравнений реакцию опоры , находим уравнение для силы, приложенной человеком:

Взяв производную по углу и приравняв ее нулю, получим уравнение для оптимального угла, под которым надо тянуть веревку с минимальной силой:

      

Так как этот угол известен, то из последней формулы можно определить коэффициент трения скольжения.

Аналогично рассматриваем движение санок на наклонной плоскости:

Исключаем :

Разрешаем относительно силы:

Видно, что минимальная сила будет при равенстве:

   

Однако сила, с которой придется тащить санки, возрастет. Их отношение равно:

 

Работа сил трения.

Мы уже рассматривал задачи, в которых между телами или между поверхностью, по которой движется тело, появлялись силы трения скольжения при перемещении тел относительно друг друга. В этом разделе мы рассмотрим подробно работу сил трения, так как сделанные выводы будут необходимы в следующей части пособия «Динамика твердого тела».

В учебниках (во всех которые нам известны) встречается два термина: сила трения покоя и сила трения скольжения. Оба термина с нашей точки зрения не совсем удачные. Почему – будет ясно из примеров, приведенных ниже. Мы не будем менять установившейся терминологии. Важна, в конце концов, не сама терминология, а что понимается под этими терминами.

   Но начинать по нашему мнению надо не с конкретных сил трения и работы этих сил, а с фундаментальных понятий энергии и работы силы. В этой части мы рассматриваем произвольное движение тел, которые можно считать точечными, (то есть тел, для которых можно пренебречь их собственной кинетической энергии вращения и моментом импульса) или поступательного движения протяженных тел.

Начнем с 2-го закона Ньютона, фундамента всей нерелятивистской механики. Подчеркну, так как это важно для всего понимания последующего материала, что закон сформулирован для точечного тела или протяженного тела, движущегося поступательно. Напишем уравнение второго закона, умножим его скалярно на вектор бесконечно малого перемещения  и преобразуем левую часть уравнения:

Заметим, мы имеем право умножать на , так как все точки тела, движущегося поступательно тела, за бесконечно малый промежуток времени перемещаются на равное для всех точек тела бесконечно малое перемещение (бесконечно малое приращение их скоростей так же одинаково).

Левая часть уравнения с точки зрения математики является дифференциалом функции . Поэтому интегрирование не вызывает труда:

Правая часть представляет собой элементарную работу силы при бесконечно малом перемещении тела:

Мы умышленно написали , а не , чтобы подчеркнуть, что элементарная работа не является дифференциалом некоторой функции. При интегрировании ее в некоторых пределах, ответ не может быть записан в виде разности значений некоторой функции, вычисленных в начальной и конечной точках. Величина интеграла будет зависеть от траектории движения тела. Поэтому правую часть придется оставить в виде интеграла.

Результат интегрирования обсуждаемого уравнения в некоторых пределах

с математической точки зрения есть первый интеграл исходного уравнения. Стоящие в левой части члены назвали кинетической энергией тела, а их разность является приращением кинетической энергии тела на участке движения от начального места нахождения тела, которое промаркировано индексом один, до места нахождения тела в конечном положении (2). Пусть вас не смущают слово место положения тела, ведь все его точки при поступательном движении сместились на одинаковые расстояния и в одном направлении.

Правую часть, представляющий интеграл от суммы всех тел, действующих на тело, назвали работой сил, действующих на тело при его перемещении.

Обратите внимание, что нет никаких оговорок, что это справедливо для таких сил, а не справедливо для таких. Абсолютно безразлично, что эти силы действуют при непосредственном контакте или на расстоянии, безразлично, движутся или покоятся эти тела, действующие на наше тело. Нам нет дела до окружающих тел вообще. Важно только одно – каков вектор силы, действующий на тело, движение которого мы изучаем.

Абсолютно бессмысленно говорить о работе сил, действующих на покоящееся тело. У него нет ускорения, левая часть второго закона – тождественный нуль, правая тоже. Интегрировать нечего, от пустоты или математически нуля, умеют брать интегралы только математики (результат – произвольная константа).

При построении механики Ньютона второй закон на языке математики является аксиомой. Остальное выводится с его использованием. Даже закон сохранения механической энергии. Так принято делать при изложении общей физике для студентов. И мы следуем этим традициям.   

Следует сделать некоторые пояснения относительно вычисления работы силы. Работа силы при бесконечно малом перемещении, как было получено выше, равна

Бесконечно малый вектор  тождественен , но первое обозначение более ясно подчеркивает, что интегрирование ведется по траектории движения тела, которая совсем не обязана быть прямой.

   При движении тела из начальной точки до конечной точки, работа равна интегралу по траектории движения:

Может возникнуть законный вопрос: «Зачем нужна формула, если для ее вычислении сначала надо найти траекторию, для нахождения которой надо проинтегрировать уравнение движения. А если мы его проинтегрировали, то энергия вычисляется из найденной скорости». Для некоторых задач она действительно бесполезна. Но есть силы, которые называются консервативными, для которых работа не зависит от траектории. Согласно другому определению, эквивалентному предыдущему, силы называются консервативными, если работа этих сил по любому замкнутому контуру равна нулю. Силы трения не консервативны. Во-вторых, могут быть задачи с заданной траекторией. Самый простой пример – трамвай, который движется по рельсам (если нет аварии).

 Еще раз необходимо подчеркнуть в определение работы входит перемещение тела, но не перемещение точки приложения силы. Если вы скажете, что работа равна произведению силы на перемещение точки приложения силы, это будет ошибкой. Что это так вас убедят два простеньких примера. Опыт показывает, что большинство людей гораздо лучше понимают суть объясняемого, если это делать на простеньких примерах, которые не вызывают никакого сомнения.

Представьте себе брусок такой длинный, что за время движения он переместился на расстояние меньшее его длины. К бруску приложена постоянная сила посредством прикрепленной нему нити. Нить «проложена» по всей длине бруска. В начале движения она была прижата к бруску в самом его начале, то есть к тому концу бруска, которым он наезжает на горизонтальную поверхность. Во время движение точку прижатия нити меняют, так что к концу движения она оказывается прижатой к другому концу бруска. Точка приложения силы переместилась в противоположном направлении по отношению к направлению движения. Мы надеемся, что никто не будет утверждать, что работа равна произведению приложенной силы на длину бруска и работа отрицательна.

Теперь можно переходить к рассмотрению примеров, в которых мы разберем работу сил трения при поступательном движении тел.

 

Представьте себе опыт настолько простой, что можно не делать рисунка. На стол положен брусок. На одну стенку бруска параллельно поверхности стола действует сила растянутой пружины, увеличивая растяжение пружины, мы можем увеличивать силу, действующую на тело. Если сила недостаточно велика (или брусок достаточно тяжел), то он будет покоиться. Но обязательное условия покоя точечного или протяженного тела является равенство нулю всех сил, действующих на него. Если брусок, не смотря, на приложенную силу покоится, это означает, что на него в противоположном направлении действует другая сила. Эту силу и назвали силой трения покоя. Если на брусок действует возрастающая сила, то синхронно растет и сила трения покоя. Но так будет происходить до определенного предела. Наступит момент, когда сила трения покоя перестанет возрастать и внешняя сила, приложенная к бруску, станет больше максимально возможной силы трения покоя. В результате брусок начнет двигаться. Предельное значение силы трения покоя зависит от материала, из которого изготовлены тела и качества обработки поверхностей. Сразу оговоримся, что эмпирически установленное соотношение между силой трения при относительном перемещении тел, справедливо, только если поверхности микроскопически ровные и можно пренебречь деформацией тел. Никаких зубчиков, насыпанного песочка между телами! Далее опыт показывает, что сила трения меду телами в определенном приделе можно считать независящей от относительной скорости тел. Эту силу трения мы будем называть силой трения скольжения. Соотношение между силой трения скольжения и нормальной составляющей силы, с которой тело действует на поверхность, имеет вид (хорошо известный из школьного курса):    

 

Мы выразили направление силы через единичный вектор , совпадающий с направлением скорости. Если масса тела равна , тело движется по горизонтальной поверхности и больше никаких сил в вертикальном направлении на него не действует, то сила трения скольжения равна:

   Если мы считаем тело точечным, то принято все силы прикладывать к центру масс тела, нарисованного на поясняющем рисунке. Но сила трения не имеет определенной точки приложения. То, что мы называем силой трения, является, по сути, равнодействующей силой проинтегрированной по всей поверхности соприкосновения тел.

 

Задача 1. А теперь рассмотри два примера. На тело действует  постоянная  сила , величина которой меньше максимальной силы трения покоя, так что верхнее тело не перемещается по нижнему телу. Все величины, показанные на рисунке известны, коэффициент трения скольжения тоже. Для простоты выкладок будем считать, что трения между нижним телом и горизонтальной поверхностью отсутствует.

Рассматривая движение тел, оба тела можно было бы считать одним массой равной сумме масс обоих тел. Но наша задача разобраться с работой сил трения, в том числе, и с силой трения покоя. Поэтому мы будем рассматривать систему двух тел, которые взаимодействуют между собой.

Напишем уравнения движения для тел и проинтегрируем их до некоторого момента времени , считая, что в начальный момент времени тела покоились:

                     

Так как за время  оба тела проходят один тот путь, то из правой системы можно найти связь между силами:

Это соотношение можно было получить из первой пары уравнений, не интегрируя их. Но приравняв ускорения, мы как бы переходим к единому телу. Это идеологически не очень хорошо для нашего рассмотрения.

На верхнее тело действует равнодействующая сила, направленная по оси , равная:

Эта сила совершает работу, равную:

На нижнее тело действует сила трения, направленная по оси . Эта сила совершает работу, равную:

Сумма этих работ равна:

Если бы мы объединили оба тело в одно, то на него бы действовала только внешняя сила и работа этой силы была равна работе, полученной строчкой выше.

Может возникнуть вопрос, а зачем столько вычислений, если ответ можно было написать сразу? Для дальнейшего изложения материала. Это раз. Во-вторых, теперь понятно, почему не хорош термин сила трения покоя для движущихся тел. Это во многих учебниках приводит к фразе: «Сила трения покоя работы не совершает». Да, ее суммарная работа для системы двух взаимно неподвижных тел равна нулю.

Но работа по определению – это  работа конкретной силы, действующее на конкретное тело. Если система, движение которой мы изучаем, является только верхнее тело, то к нему приложены две силы: вешняя сила  и сила трения покоя. Наблюдатель, находящийся в верхнем кубике, понятия не имеет что под ним. Он

измеряет в два момента времени энергию своего тела, зная внешнею силу и расстояние, на которое он сместился, вычисляет работу этой силы. И что же он обнаружит? Обнаружит, что приращение энергии меньше работы внешней силы. Если он знает немного физику, то сделает вывод, что какую-то силу он не учел. Он даже сумеет вычислить величину и направление этой силы из известных ему величин. Что из этого следует. А то, что сила трения покоя, приложенная к движущемуся телу работу совершает, как и все остальные силы. Если сила трения скольжения будет приложена неподвижному телу, то ее работа будет равна нулю.

 

Задача 2. Перейдем к рассмотрению движения тел, показанному на рисунке. В этой задаче, в отличие от предыдущей, нижнее тело под дей ствием силы трения между телами также начинает двигаться. Чтобы упростить выкладки выберем начало координат в точке на оси , совпадающей с положением верхнего тела (считая его точечным). Можно сразу написать уравнения движения, проинтегрированные по времени, так как от соответствующих уравнений для предыдущего примера они будут отличаться только выражением для силы трения и начальным условием:

                                      

Исключив время из двух уравнений для каждого тела, получим уравнения, связывающие скорости тел и пройденных ими расстояний:

Находим кинетические энергии тел:

Кинетическая энергия системы двух тел равна сумме энергий тел:

Таким образом, кинетическая энергия меньше работы внешней силы на величину, численно равную произведению модуля силы трения скольжения, действующей между телами системы, на другую положительную величину - величину относительного перемещения этих тел (относительно друг друга). И хотя в разных инерциальных системах отсчета будут различаться и кинетические энергии, и перемещения тел, и работа внешней силы, суммарная работа сил трения скольжения двух трущихся друг о друга тел останется одной и той же, неизменной.

Давайте подводить итоги.

1. Сила трения покоя не совершает работы, если она действует на неподвижное тело.

2. Сила трения покоя совершает работу, если тело движется. Ее работа вычисляется по той же формуле, как и для всех остальных сил. Другого, в принципе, быть не может. Мы же просто пользуемся определением понятия работы в физике. В этом случае термин сила трения покоя неудачен. Точнее было бы назвать ее силой трения относительного покоя (покоя тел относительно друг друга).

3. Убыль механической энергии численно равно произведению силы трения скольжения на величину относительного перемещения тел. На эту величину увеличивается внутренняя энергия тел (тепло). Последний член последней формулы не следует называть работой силы трения скольжения. Этот член относится не к конкретному телу, а ко всей системе тел. Мы не можем его поделить между трущимися телами. Механика

Ньютона – механика макротел. А для расчета тепла, которое получило каждое тело, необходимо рассмотрение на микроскопическом уровне.

Придадим сделанному выводу математическую формулировку:

                     

В этих формулах  бесконечно малое относительное перемещение двух тел, вторая формула представляет собой интеграл по траектории движущегося тела. Если коэффициент трения скольжения и сила нормального давления постоянны, то формула упрощается:

Величина  - путь, пройденный движущимся телом по не подвижному телу. Абсолютно безразлично, какое тело считать покоящимся. Третий вывод и эта формула будут необходимы при решении задач на плоское движение твердого тела.

4. В самом начале изложения этой темы было высказано, что принятые термины трения покоя и сила трения скольжения не очень удачны. Мы уже пояснили это для силы трения покоя. Почему неудачен термин сила трения скольжения? Рассматривая движение верхнего тела, показанное на нижней половине рисунка, никакого дискомфорта мы не почувствовали. А произошло это потому, что нижний брусок двигался. А если бы он покоился (был закреплен или трения покоя, действующая на него со стороны поверхности, могла бы уравновесить силу трения скольжения), то него действовала бы та же сила трения скольжения, причем точка приложении этой силы перемещалась по мере движения верхнего кубика. Вдумайтесь - сила есть, есть перемещение точки приложения силы, а работы этой силы нет. Если студента, безотносительно к задаче, спросить производят ли силы трения работу. То практически на сто процентов последует ответ: сила трения покоя работы не производит, а сила трения скольжения производит. Что сила трения покоя производит работу, было показано в первой задаче, что сила трения скольжения может не производить работы следует из примера, только что приведенного. Важно в обоих случаях не перемещение точки приложения силы, а перемещение тела, к которому она приложена. Поэтому в определениях сил следовало бы добавить слова: при относительном движении или относительном покое рассматриваемого тела.    

  

Задача 3. Пример на тему третьего вывода. Предположим мы в какой-то момент времени знали взаимное положения тел, например у нас есть мгновенная фотография движения тел. Через некоторое время мы снова сделали фотографию. Имея две фотографии можно определить относительные перемещения каждой пары тел, и если поверхность имеет какие-либо маркеры, то и относительное перемещение нижнего тела относительно горизонтальной поверхностью. Предположим, что массы всех тел известны и известны все коэффициенты трения для каждой пары тел и коэффициент трения между нижним телом и поверхность, то, не зная ничего более, мы можем вычислить величину внутренней энергии (тепла), которую получила система за интервал времени между снимками:

Все обозначения общепринятые и можно не объяснять,  - пройденный путь нижним телом.

 

Задача 4. Предположим, что верхнее тело на нижней половине, первого приведенного выше рисунка в начальный момент находилось на самом конце нижнего тела, длина которого равна . Так же будем считать, что трение с горизонтальной поверхностью нет. Внешняя показанная на рисунке сила  отсутствует. Найти начальную кинетическую энергию, которую надо сообщить верхнему точечному телу, чтобы оно упало с другого конца бруска.

Чтобы тело упало, необходимо, чтобы его скорость на конце бруска была на бесконечно малую величину больше скорости бруска в этот момент времени. Рассмотри предельный случай – равенство их скоростей. Используя закон сохранения импульса системы, находим эту скорость:

      

Закон сохранения полной энергии (не только механической, но внутренней!) будет иметь вид:

Осталось написать ответ:

И окончательно:

 

Задача 5. Еще один пример для иллюстрации применение закона сохранения полной энергии. Брусок, показанный на рисунке, имел на гладкой поверхности (показана белым цветом) кинетическую энергию, равную . Какую кинетическую энергию будет иметь брусок, когда он полностью окажется на поверхности с трением (показана серым цветом)?

Ясно, что мере движения сила трения будет меняться. Масса части бруска, находящейся на поверхности с трением, равна:

В этот момент сила трения равна:

Интегрируя по координате, находим увеличение внутренней энергии системы за счет трения:

Формально ответ получился равным произведению силы трения на перемещение по поверхности с трением центра масс бруска. Но в нашей задаче брусок однородный и имеем форму параллелепипеда, то есть все  (закрашена красным цветом) одинаковы по величине, если они равной толщины. Для не однородного или не правильной формы тела это не так. И такого соответствия не будет.

Искомый же ответ задачи:

 

Задача 6. И последний пример. С гладкой горки некоторой высоты (без трения) соскальзывает тело, плавно въезжает на брус и далее оба продолжают двигаться. Известны все величины, показанные на рисунке, и положение тел в некоторый момент времени (верхнее тело на средине). Коэффициенты трения скольжения между