Основные уравнения динамики твердого тела.

В этой части пособия будут рассмотрены задачи на движение твердого тела и движение нескольких тел при наличии взаимодействия межу ними.

В спомним, как построен курс механики в общей физике. Вначале изучается динамика материальной точки. Затем делаются обобщения на системы материальных точек, взаимодействующих между собой. В этом разделе общей физики  выводятся два уравнения.

Первое уравнение описывает движение центра масс системы;

В этом уравнении ,  - сумма всех внешних сил. Некоторые  могут быть равны нулю.

Вторым уравнением для системы точечных тел является уравнение для момента импульса системы тел:

Радиус–векторы во всех формулах проведены к точечным телам системы из начала координат. Момент импульса вычисляется относительно выбранного начала координат.

Мы считаем не целесообразным, приводить вывод этих уравнений, он есть в любом учебнике по общей физике.

Твердое тело это система элементарных масс , которые при движении не меняют положения относительно друг друга. Естественно, эти два уравнения, приведенные выше для системы точечных тел (материальных точек), справедливы и для твердого тела, являющейся более простой для изучения системой. Если на покоящиеся тело начнут действовать внешние силы, линии, действия которых все время движения тела проходят через центр масс, то твердое тело будет двигаться поступательно. Для описания такого движения достаточно уравнения движения центра масс. В большинстве рассмотренных ниже задач это не так, и для описания движения приходится использовать и уравнение для момента импульса.

Рассмотрим кинетическую энергию твердого тела. Разные точки тела в общем случае движутся по различным траекториям. Это сложное движение можно разложить на два простых для изучения, на перемещение равное перемещению центра масс системы и вращение вокруг центра масс. При этом угол поворота для всех точек тела будет одним и тем же. Именно поэтому и были введены понятия угловой скорости и углового ускорения.

Умножим скалярно обе части уравнения движения центра масс на бесконечно малое перемещение и проинтегрируем его по траектории:

Если уравнение момента импульса умножить скалярно на бесконечно малый угол поворота тела и проинтегрировать, то получим:

Почти во всех последующих задачах рассматривается плоское движение твердого тела. При плоском движении твердого тела его центр масс движется в некоторой плоскости, а ось вращения, проходящая через центр масс тела, будет все время движения перпендикулярна этой плоскости, то есть все точки твердого тела двигаются во взаимно параллельных плоскостях. Поэтому мы сейчас рассмотри только этот частный случай. Вычислим интеграл в левой части уравнения для момента импульса относительно оси, совпадающей с осью :

Выражение под интегралом для момента для одной силы (точнее, только ее проекции на орт , так как другие проекции не вращают систему тел относительно оси ) преобразуем подробно:

Если сложить приращение кинетической энергии поступательного движения тела с приращением кинетической энергии вращения тела, то получим полное приращение кинетической энергиитела за время рассмотрения движения от начального положения до конечного:

   

Мы считаем, что правая часть может быть названа работой внешних сил, которую они совершили над телом. Первый член будем называть работой внешних сил, совершенных над телом при его поступательном движении, второй член – работой при вращении тела.

Следует обратить внимание на то, что при выводе последней формулы не было сделано оговорок о характере сил. В частности сила может быть приложена к точке твердого тела, которая в данный момент покоится, сила может менять точку приложения во время движения тела.

Может, есть и другая терминология. Важна не сама терминология, а что под ней понимается. При решении задач динамики твердого тела мы будем придерживаться терминологии, которая сформулирована в предыдущем абзаце.