Вращение тела вокруг неподвижной оси.

Начнем с задачи для школьников. Имеются два обруча приваренные к тонкому стержню, который перпендикулярен плоскости рисунка Стержень проходит через точку касания двух обручей. Стержень закреплен в подшипниках (трение отсутствует). Вся конструкция вращается с постоянной угловой скоростью  против часовой стрелки. Обручи и стержень можно считать абсолютно тонкими. Известна линейная плотность материала, из которого изготовлены обручи. Найти кинетическую энергию системы.

Как некоторые школьники решают задачу? Вычисляют массы обручей:

    

Затем находят их кинетические энергии. Складывают их и получают ответ:

   

Не будем выражать массы тел через плотность, так как уже сделана грубая ошибка. При повороте всей конструкции на один оборот, все точки обручей тоже совершают один оборот относительно своих центров. Если бы человек не поленился сделать лишний рисунок, например, когда конструкция повернется на четверть оборота, то он бы увидел, что точка, которая была на горизонтальном диаметре, оказалась на вертикальном диаметре, то есть тоже совершила четверть оборота. Но приучить делать рисунки, практически не выполнимая задача при обучении. Почему, не понимаю.

Но тогда к этому ответу надо добавить энергию вращения обручей вокруг своих центров:

   

Если кинетические энергии этого вращения добавить к неправильному ответу, то получим правильный ответ:

Сложение одинаковых членов не сделано специально. Если внимательней посмотреть на формулу, то видно, что выражения:

представляют собой моменты инерции относительно центра масс, плюс применение теоремы Штейнера. Школьники этих понятий могут не знать, студент должен находить энергию не этим кустарным способом, а использовать хорошо известную формулу:

и придти к полученному ответу. Ось  мы направили по направлению вектора угловой скорости.

 

Вспомогательная задача. Эта задача совсем простая, но она поможет проще решить следующую за ней задачу. Конструкция, показанная на рисунке, вращается с постоянной угловой скоростью. Нас будут интересовать технические аспекты задачи, каковы силы, действующие на подшипники, в которых закреплен невесомый вертикальный стержень, какова сила, пытающаяся оторвать стержень (также невесомый), крепящий массивный шарик, от вертикального стержня.

Начнем с определения последней величины – силы. Если перейти во вращающуюся систему координат, в которой шарик покоится, то в ней на него будет действовать центробежная сила инерции равная:

Эта сила уравновешивается силой, действующей на горизонтальный стержень со стороны вертикального стержня. Эта и есть та сила, которую (с запасом для надежности!) должно выдержать соединение стержней (например, приваренных друг к другу).

Вычислим силы давления на подшипники, используя условие равновесия твердого тела – равенство нулю моментов сил вычисленных относительно произвольных точек. Вычислим момент силы (суммарный) относительно нижнего конца вертикального стержня:

Следовательно, на верхний конец вертикального стержня действует сила, направленная к оси вращения,так как ее -тая проекция отрицательна, а на верхний подшипник действует сила, направленная от оси вращения и равная:

Аналогично вычисляется момент силы относительно верхнего конца вертикального стержня:

Полученный результат можно проверить, сложив все силы, действующие на стержень (их сумма должна быть равна нулю):

Необходимо сделать отступление прежде, чем переходить к вычислению моментов импульсов. Надо уметь вычислять момент импульса вращающегося твердого тела относительно произвольной точки. Давайте выведем эту формулу. Ниже введенные величины пояснены рисунком. Вычисляем момент импульса:

Сомножители в круглых скобках раны нулю, во втором члене сомножитель по определению центра масс тела, в третьем члене сомножитель представляет собой импульс системы в системе центра масс. Таким образом, момент импульса относительно произвольной точки равен сумме моментов: моменту импульса тела относительно центра масс моменту материальной точки, масса которой равна массе тела, относительно той же произвольной точки. Последнее выражение советую запомнить, так как мы довольно часто будем им пользоваться.

Вычислим момент импульса шарика относительно нижнего конца вертикального стержня:

Момент импульса будет направлен перпендикулярно радиус-вектору, проведенному из нижнего конца вертикального стержня к шарику, а его модуль будет равен:

В последнем члене формулы  - момент инерции шарика относительно оси, совпадающей с вектором момента импульса, а  - проекция угловой скорости на эту же ось.

Как видите, был более простой метод вычисления момента импульса. Разложить вектор угловой скорости на две взаимно перпендикулярных проекции, как показано на рисунке. Сразу написать формулу:

И сказать, что это момент импульса (суммарный) шарика, так как момент импульса на ось  равен нулю. Лишние вычисления сделаны для того, чтобы показать, что следует сначала подумать, а не сразу писать выученные общие формулы.

Конец вектора момента импульса движется по окружности радиуса

Найдем производную по времени момента импульса:

Во вращающейся системе координат (лабораторной системе) момент сипы, действующий на конструкцию равен вычисленной выше производной:

Момент внешних сил действующих на конструкцию относительно нижнего конца стержня равен моменту силы давления со стороны подшипника на ось.

Силу мы вычисли, плечо известно. Находим:

Последние две формулы отличаются знаком. Так и должно быть. Оба вектора в законе механики для твердого тела имеют одно направление:

Это расхождение получаются из-за того, что орт  имеет противоположные направления по правую и левую части рисунка относительно вертикального стержня. Важно, что  и совпадают по направлению, они оба перпендикулярны плоскости рисунка и направлены на нас. Последние вычисления являются не только примером вычисления момента импульса, но и проверкой решения.

Посмотрим эту задачу, если точечный шарик заменить на шар диаметром . К чему приводило сделанное приближение? Шарик при повороте конструкции на некоторый угол тоже поворачивается на такой же угол. Следовательно, мы пренебрегаем моментом импульса шарика и его кинетической энергией вращения относительно оси, проходящей через центр шарика.

Учесть это не представляет труда, надо к вычисленному моменту импульса добавить слагаемое равное:

Кинетическая энергия системы с точечным шариком равна:

Для конструкции с шаром надо добавить слагаемое:

 

 

Вращающаяся конструкция двух стержней. Жесткая конструкция из двух тонких стержней вращается с постоянной угловой скоростью , направленной по оси . Все геометрические размеры, показанные на рисунке известны. Масс вертикального стержня равна , масса второго - . Определим физические величины, характеризующие вращение стержней: момента импульса относительно нижней точки вертикального стержня и проекцию момента импульса на ось вращения.

Начнем вычисления с проекции на ось, затем вычислим момент импульса относительно точки и из общей формулы определим проекцию. Это позволит проверить вычисления. Находим момент инерции относительно оси вращения:

Можно вычислить кинетическую энергию и проекцию момента импульса на ось  системы стержней:

      

Вычислим момент импульса системы относительно нижнего конца (точки) вертикального стержня. Вообще в физике моментом некоторой физической величины называют векторное произведение радиуса , проведенного из точки, относительно которой вычисляется момент, на эту физическую величину (в механике вычисляются моменты векторных величин, в разделе электричество и магнетизм они могут быть произведением скалярной величины на ). В динамике точечных тел физической величиной является импульс точечного тела. При вычислении момента импульса для твердого тела приходится брать интеграл:

Выберем начало координат в точке соединения стержней. Тогда интеграл для нашего случая будет иметь вид:

Преобразуем интеграл так, чтобы он в явном виде был функцией одной переменной :

Мы вычисляем момент импульса в некоторый момент времени, поэтому орты можно вынести из-под знака интеграла. Проинтегрировав и подставив пределы интегрирования, получим:

Упростим полученное выражение:

Проекции на взаимно перпендикулярные оси равны:

    

 

Конец вектора момента будет двигаться по окружности радиуса

Модуль момента импульса вычисляется по формуле:

Тангенс угла  равен:

Если вычислить момент импульса относительно выбранного начала координат (мы просто занулим ). То соответствующие выражения станут много проще:

Перепишем первую формулу в виде двух отдельных членов:

Из нее следует равенство:

Мы получили результат, подтверждающий правильность расчетов. Результат можно проверить еще одним способом. Момент импульса направлен под углом , то есть он перпендикулярен стержню (из третьей формулы). Проекция угловой скорости на направление момента равно

Если переписать втору формулу в виде:

,

Мы опять получаем подтверждение правильности вычислений.

Почти в каждой задаче делается проверка вычислений. Вам надоело это? Даже, если надоело, проверки будут делаться и дальше. Почему? Потому, что мы хотим, чтобы ваша зарплата, если вы пойдете в науку, была достойной зарплатой (в науке). Вы можете удивиться, почему существует связь каких-то проверок учебных задач с зарплатой. Связь, как говориться, железная. Вырабатывается привычка проверять полученные результаты. Будете получать научные результаты. От ошибок застрахованы только абсолютно твердые бездельники. Свои ошибки лучше находить самому, а не чтобы их находили вашим собратья по науке. Раз найдут, два найдут и перестанут читать ваши статьи, перестанут ссылаться на ваши публикации. Ваш индекс цитирования станет равным нулю, а зарплата станет минимальной. Или вообще не предложат подать заявление об уходе. Понятно?

Все сделанные вычисления делал математик, а не физик. Показали ему (математику) формулы. Он и посчитал, ни о чем не задумываясь, даже не понимая, что они описывают. Физик будет делать эту задачу по-другому. Он применит тот же прием, который был использован в предыдущей задаче с шаром.

Вычислим момент импульса относительно вертикальной оси, проходящей через  центр масс наклонного стержня (см. рис). Разложим заданную скорость на две проекции. На рисунке показана только перпендикулярная составляющая стержню. Вторая проекция, совпадающая со стержнем нам не нужна, так как момент импульса относительно ее равен нулю. Таким образом, момент импульса наклонного стержня равен:

Чтобы получить момент импульс системы, надо еще вычислить момент материальной точки массой , вращающейся по окружности радиуса , относительно нижнего конца вертикального стержня. Этот момент импульса будет перпендикулярен линии , а его модуль будет равен:

Осталось найти проекции суммы этих двух моментов на ось  и перпендикулярную ей, чтобы сравнить с полученным выше результатом. Начнем с проекции на ось :

Вычисления совпадают.

Вычисляем проекцию на направление :

И эти вычисления совпали.

Во втором методе не потребовалось вычисления ни одного интеграла. Всего-то надо было знать момент инерции стержня, ну и конечно определение, что называется моментом импульса.

Рассчитывать силы давления на подшипники не будем. Ничего нового по физике мы не узнаем, и заниматься громоздкими формулами не имеет смысла. Следует сделать, только одно замечание. В предыдущей задаче силы давления на подшипники были вычислены только при вращении конструкции с шариком. Но если рассматривать такую конструкцию, стоящую на горизонтальной поверхности, то на подшипники будут действовать статические силы, так как конструкция не симметрична относительно оси вращения.

Определяются эти силы проще, если приравнять моменты нулю, взятые относительно концов вертикального стержня. Они будут равны по величине друг другу и направлены в противоположные стороны, так как других внешних сил в горизонтальном направлении нет. Сила, действующая на верхний подшипник, будет направлена от оси и равна по величине:

Кроме этих сил будет действовать вертикальная сила равная . Понятно, что эти силы надо добавить к динамическим силам давления при расчете конструкции.

Пожалуй, стоит остановиться на расчете центробежных сил инерции действующих на протяженные тела. Вам известно, практически со школы, центробежная сила инерции, действующая на материальную точку:

Для протяженного тела центробежная сила инерции вычисляется через интеграл по объему тела:

Для примера рассмотрим тонкий стержень перпендикулярный оси вращения. Один конец стержня находится на оси. Но стержень неоднородный. От оси до  его линейная плотность равна , а от  до  - . Поэтому будет сумма двух интегралов:

Из структуры формулы видно, что есть две центробежные силы, приложенные к центрам масс стержней, которые можно заменить на соответствующие материальные точки. Но оба стержня однородные тела!

Для простоты выкладок будем считать, что их длины равны, а массы равны  и  соответственно. Тогда полученная формула примет вид:

До центра масс единого тела расстояние равно:

Таким образом, нельзя для любого неоднородного тела находить центробежную силу инерции как произведение массы тела, расстояния до его центра масс от оси вращения и на квадрат угловой скорости.

 

Момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс под некоторым углом к оси цилиндра. Если применить метод расчета с использованием момента импульса и считать известными, ранее вычисленными моментами инерции цилиндра относительно его главных осей инерции, то можно написать ответ сразу:

 

Тонкая прямоугольная пластина. Положение оси, относительно которой вычисляется момент инерции, показан на рисунке.

 Вычислим моменты импульсов относительно двух взаимно перпендикулярных осей:

                       

Находим модуль момента импульса относительно оси :

Следовательно, искомый момент инерции равен:

Последние две задачи по предыдущей теме, но мы посчитали, что их целесообразнее рассмотреть после того, мы разберем задачи с моментом импульса.

Эта задача приведена не только, чтобы познакомить вас с таким методом вычисления моментов инерции, но и для того, чтобы убедить вас, что надо думать, проявлять сообразительность, искать и находить не стандартные методы решения задач. Этому надо учиться с ученических лет. Научитесь – будете физиком, делавшим открытия. Не научитесь – будете всю жизнь ставить эксперименты или считать по указанию других.

Тех, которые научились.

 

Задача с вращающимся блоком. После того, как разобрана эта тема, целесообразно вернуться к задаче, которая была уже разобрана пособия, от туда же скопирован и приведенный рисунок. Для системы тел, изображенных на нем надо найти их ускорения. Задача была решена с использование второго закона Ньютона. Есть более короткое решение. 

Напишем уравнение для момента импульса системы трех точечных тел относительно оси блока в предположении, что сумма масс правых тел больше массы первого тела:

Ось перпендикулярна плоскости рисунка, совпадает с осью блока и направлена от нас. Обсудим второе

уравнение. Множитель, стоящий перед угловым ускорением является моментом инерции системы тел относительно оси блока. Правая часть представляет собой суммарный момент внешних сил, действующий на систему. Силы натяжения нитей являются внутренними силами системы и в уравнение входить не должны.

Ответ получен. Угловое ускорение известно из второго уравнения. Умножаете его на радиус блока – получаете проекцию ускорения правых тел:

Почувствовали разницу?

 

В предыдущей задаче по условию нить скользила по блоку без трения, а сам блок покоился. Решим эту задачу в другом предположении. Пусть нить не проскальзывает относительно блока, а блок, имеющий момент инерции , может вращаться без трения вокруг своей оси. Если сказать по научному, то момент сил трения в подшипнике равен нулю. Как изменится второе уравнение для момента импульса? Надо просто добавить в него момент инерции блока:

Конечно, можно независимо рассматривать движение грузиков с использованием законов Ньютона и вращение блока моментами сил натяжения нитей. Но зачем становиться Чукчей?

Натяжение нитей в этом случае будет разным. А как определить их? Ведь в это уравнение они не входят. А кто вам мешает написать уравнение движения отдельно для составного тела из двух масс:

В этом уравнении все известно, кроме силы натяжения. Ускорение не представляет труда получить из предыдущего уравнения (аналогично предыдущему случаю). Аналогично находится т натяжение второй нити.