Работа сил трения при вращении тел.

 

Во всех задачах, за исключением последней, трение отсутствовало. Это было сделано умышленно. В следующей теме будем рассматривать плоское движение тел. И без ясного понимания влияния сил трения на движение тел, работы этих сил могут возникнуть ошибочные представления.

Мы, как обычно, начнем рассмотрение с разбора примеров, а не с теории. Нам кажется, что такой подход проще для освоения материала и более интересен. А то, что интересно любой человек делает с большим желанием. Такая наша маленькая хитрость. Конечно, после разбора нескольких примеров будут сформулированы общие теоретические выводы.

  На рисунке показан цилиндр, который может вращаться вокруг закрепленной оси. Трения в подшипниках, крепящих ось, нет. Другими словами, момент сил трения за счет взаимодействия оси с подшипниками равен нулю. Цилиндр расположен в обойме, их оси совпадают. Остальные детали установки на рисунке не показаны. Радиус, момент инерции цилиндра и коэффициент трении скольжения известны. Ось  совпадает с осью цилиндра и направлена на нас.

В некоторый момент времени (примем этот момент времени за начальный) обойма начинает вращаться с постоянной угловой скоростью против часовой стрелки, то есть в положительном направлении отсчета угла , принятом в цилиндрической системе координат. Сила прижатия выступа к цилиндру такова, что имеет место проскальзывание.

Наблюдатель (физик 1), находящийся в цилиндре обнаружит вращение, так как его система стала не инерциальной, так как появились центробежные силы инерции. Он сумеет определить, как меняется угловая скорость вращения цилиндра. Сможет вычислить кинетическую энергию цилиндр в любой момент времени. Обнаружит, что она возрастет линейно по времени. Он знает уравнение для момента импульса:

Из него следует, что при линейном возрастании угловой скорости, момент сил, действующий на цилиндр постоянен. Он не может определить направление сил, создающих момент, но может уверенно сказать, что проекция всех сил на направление единичного орта   (который направлен по касательной к цилиндру в направлении его вращения) численно равна:

Физик 1 может вычислить приращение кинетической энергии вращения из уравнения для момента импульса:

Вычисленное значение энергии совпадет со значением, определенным из опыта. Правую часть он назовет

работой неизвестной по природе ему силы, которая была совершена при перемещении точки, находящейся на поверхности цилиндра, на расстояние   по дуге окружности радиуса .

Но это не все, что обнаружит физий 1. Он еще почувствует, что ему становится жарко. И он сделает вывод, что внешние тела не только привели к возрастанию механической энергии, но и передали цилиндру некоторое количества тепла . Но о механизме передачи тепла он ничего сказать не сможет (мы все время предполагали, физик 1 ничего не видит вне цилиндра). Следует оговориться, что рассмотрение верно пока угловая скорость цилиндра меньше угловой скорости обоймы.

Если этот опыт повторить на другой день, увеличив только угловую скорость обоймы, то это никак не скажется на характеристиках движения цилиндра, но физик 1 обнаружит, что поток тепла увеличился.

А теперь рассмотрим объяснение физика 2, для которого цилиндр часть (деталь) его установки. Он согласится с расчетами физика 1 кинетической энергии вращения цилиндра. Уточнит, что сила для физика 1 – это сила трения скольжения, что на цилиндр еще действовала сила давления выступа, направленная к оси цилиндра. Эта сила никак не влияла вращение цилиндра, но без нее не было бы силы трения. Он также может объяснить причину появление тепла, и почему оно возрастало при увеличении постоянной скорости вращения обоймы во втором опыте. Зная устройство своей установки, он даже может вычислить его величину. 

Его установка имела самое примитивное устройство. На внешнюю поверхность обоймы наматывалась невесомая длинная нить, к концу которой подвешивался грузик. Его масса подбиралась из условия равенства моментов сил трения и силы тяжести:

Векторная сумма этих моментов равна нулю. Поэтому обойма, раскрученная до любой угловой скорости (при отсутствии момента трения на ось обоймы, что предположим, чтобы не вводить еще одно тепло), будет продолжать вращаться с этой постоянной угловой скоростью, и грузик будет также опускаться с постоянной скоростью. Следовательно, кинетическая энергия обоймы и грузика во время опыта меняться не будут. Но грузик опускается и происходит уменьшение его потенциальной энергии. Но просто испариться энергия не имеет права. Поэтому количество тепла  будет равно убыли потенциальной энергия грузика. Достаточно измерить высоту, на которую за время проведения опыта опустился грузик, чтобы найти количество тепла:

На этом примере вы познакомились с важнейшим законом всей физики от механики Ньютона до физики элементарных частиц – законом сохранения полной (обычно последнее слово не произносят, но подразумевают), а не только механической энергии, о котором идет речь в учебниках по механике. Там под полной энергией понимается (без оговорок, чтобы не повторять часто одно и те же слово «механическая») кинетическая плюс потенциальная энергии.

Отправим обоих физиков отдыхать, а сами решим подробно эту задачу. Прежде всего, четко сформулируем условия и предположения, сделанные при решении задачи. Угловая скорость обоймы остается постоянной в интервале . Начальная угловая скорость цилиндра . Все время соблюдается неравенство . Радиусы и моменты инерции ясны из рисунка. Коэффициент трения известен и не зависит от относительной скорости тел. Сила давления выступом обоймы на цилиндр постоянна. Из последних двух условий следует постоянство силы трения скольжения. Масса грузика известна. Ось совпадает с осью цилиндра (и обоймы) и направлена от нас.

Из уравнения для момента импульса обоймы:

следует, что в правой части моменты сил равны по модулю, так как левая часть уравнения равна нулю из-за постоянства угловой скорости. Следовательно, можно вычислить силу трения скольжения:

За время  грузик опустится на высоту равную:

Приращение потенциальной энергии грузика за время  равно:

Обойма за это время повернется на угол равный:

Перейдем к описанию вращения цилиндра. Для него уравнение для момента импульса имеет вид:

За время его угловая скорость возрастет до величины равной:

А сам он повернется на угол равный:

Его кинетическая энергия будет равна:

Напишем закон сохранение полной энергии:

Находим диссипацию механической энергии (Убыль механической энергии за счет перехода ее в другие виды энергии):

Выразим правую часть через углы поворота тел и силу трения скольжения:

Мы получили такой же результат, который был получен в первой части пособия для поступательного движения тел в разделе «Работа сил трения». Убыль механической энергии численно равно произведению силы трения скольжения на величину относительного перемещения тел.