Решение задач на столкновение тел с помощью законов Ньютона.

    «Откуда выросли ноги» у этой темы. Захотелось в пособие поместить задачу о столкновении стержня со стенкой. Условие задачи показано на первом рисунке. Тонкий стержень массы , двигается поступательно со скоростью  по горизонтальной поверхности без трения (на рис. показан вид сверху). Столкновение абсолютно упругое. Угол  известен. Определить, как будет двигаться стержень после столкновения.

А как ее решать непонятно. Есть одно уравнение закона сохранения кинетической энергии. Ясно, что должна остаться проекция суммарного импульса на горизонтальное направление равной нулю. Ясно, что после столкновения стержень будет вращаться относительно центра масс, а центр масс будет двигаться вверх с постоянной скоростью. Нам известно из закона сохранения энергии полная энергия стержня:

А как определить каждое слагаемое по отдельности? Ведь больше уравнений в голову не приходит. Самый простой способ, но абсолютно не конструктивный, отказаться от размещения задачи. Но этот путь Чукчи. Никто не узнает, но совесть нам не позволяет пойти по этому пути.

Первое, что приходит в голову, так это упростить задачу. Скачала решить аналогичную задачу для жесткой точечной гантели (второй рис.).

Для верхнего шарика должен сохраниться момент импульса, взятый относительно сталкивающегося шарика в тот момент времени, когда он на мгновение остановиться. Это вытекает из отсутствия момента сил, действующих на него, относительно этой точки.

Величина этого момента импульса равна:

Но из этого не следует, что у верхнего шарика не появиться проекции скорости вдоль оси гантели. И опять число неизвестных больше числа уравнений.

Следовательно, надо найти метод решения задач, в которых при использовании законов сохранения уравнений меньше числа неизвестных. Ниже приведена задача, поясняющая принцип, как решаются такие задачи. Она не относится к столкновению стержней или гантели, а приведена из методических соображений. Разобравшись в ней, будет понятней решение задачи о столкновении гантели.

 

Столкновение маленького шарика с поверхностью клина. С покоящимся на гладкой горизонтальной поверхности клином абсолютно упруго сталкивается маленький шарик. Скорость шарика в момент удара равна и направлена перпендикулярно поверхности клина. Определить скорости тел после столкновения.

Запишем второй закон Ньютона в виде;

На рисунке показаны бесконечно малые приращения, полученные телами за время столкновения. Разложим эти приращения импульсов на вертикальные и горизонтальные проекции напишем уравнения, связывающие их:

При написании равенства был использован третий закон Ньютона. Так как клин в вертикальном направлении импульса не приобретает, то правая часть второго уравнения равна нулю. Переданный вертикальный импульс шарика уравновесится импульсом со стороны поверхности, на которой лежит клин. Из этих уравнений следует связь между начальными скоростями перед столкновением с их скоростями после столкновения. Первое соотношение есть просто закон сохранения импульса системы на горизонтальное направление:

Из второго соотношения мы получаем недостающее уравнение к законам сохранения:

И у нас есть уравнение сохранения энергии:

Таким образом, имеем три уравнения с тремя неизвестными. Задача по физике решена, осталась элементарная математика. Решать можно по-разному. Например, из первых двух уравнений системы найти квадраты скоростей шарика после столкновения и подставить их в третье уравнение:

Определяем горизонтальную скорость шарика:

Выпишем все найденные скорости тел:

     

В предельном случае : , , . То есть шарик отскочит с той же по величине скоростью, но противоположно направленной, а клин будет покоиться.

Если скорость шарика с будет не перпендикулярна поверхности (гладкой), то эту скорость надо разложить на проекции. Для нормальной проекции задача только что решена. А тангенциальную проекцию надо просто добавить к полученной скорости шарика. Мы не будем этим заниматься (задача посильна и для Чукчи), а перейдем к задаче столкновения гантелей.

 

Упругое столкновение гантели со стенкой. Столкновение абсолютно упругое, поверхность гладкая. Величины, показанные на рисунке, известны. Надо найти скорости шариков после столкновения или угловую скорость вращения гантели вокруг центра масс и его скорость.

Импульс нижний шарик за счет взаимодействия с поверхностью получит за время столкновения приращение равное . Разложим его на две проекции, как показано на рисунке, на  и . Приращение  второй шарик не влияет. Поэтому его изменение происходит только из-за взаимодействия с поверхностью. Поэтому мы получаем уравнение:

Находим из него скорость нижнего шарика после столкновения перпендикулярную оси гантели:

Скорость перпендикулярную оси гантели верхнего шарика находится из закона сохранения момента импульса. Для верхнего шарика должен сохраниться момент импульса, взятый относительно сталкивающегося шарика в тот момент времени, когда он на мгновение остановиться. Это вытекает из отсутствия момента сил, действующих на него, относительно этой точки.

Величина этого момента импульса равна:

Таким образом, его  остается равной:

Следовательно, гантель начнет вращаться по часовой стрелке после столкновения с угловой скоростью равной:

Мы можем определить вращательную энергию гантели в системе центра масс:

Из закона сохранения энергии находим энергию движения центра масс:

Из последнего уравнения находим скорость центра масс:

Искомые величины найдены.

Дополнение е задаче. Оценим величину угла, при котором верхний шарик не столкнется с поверхностью. Так как этот угол не будет большим, то косину этого угла будем считать равным единице, а синус угла заменим на значение угла. В этом приближении угловая скорость и скорость центра масс будут иметь вид:

              

Найдем время, за которое гантель примет вертикальное положение:

    

За это время центр масс окажется на расстоянии  от поверхности стенки:

Если , то шарик не столкнется со стенкой, если меньше, то столкнется. Оценим предельный угол:

Если угол таков, что второй шарик тоже столкнется со стенкой, то гантель перестанет вращаться, а ее центр масс будет удаляться от стенки с начальной скоростью .

Можно переходить к решению задачи столкновения стержня.

 

Упругое столкновение стержня со стенкой. Все выводы относительно проекций скоростей шариков перпендикулярных соединяющему их стержню останутся без изменения. Следовательно, стержень будет вращаться с той же угловой скоростью, что и шарики. Кинетическая энергия вращения стержня будет равна:

Скорость центра масс определится из закона сохранения энергии:

   

Эта тема поучительна тем, что метод решения более простой вспомогательной задачи, может помочь решить задачу, решение которой вам не ясна. На дипломе или уже при работе после окончания вуза ваш научный руководитель может дать научную задачу, решение которой вообще не известно. Вам она тоже может показаться не по силам. Не падайте духом и не опускайте рук. Упростите задачу, решите ее. Затем начинайте постепенно раз за разом отказываться от сделанных упрощающих предположений. И таки путем вы придете к решению поставленной перед вами задачи.