Плоское движение твердого тела.

 

Качение тел по горизонтальной и наклонной плоскостям. Напомним связь меду линейными и угловыми величинами. При качении цилиндра по наклонной плоскости или по горизонтальной при перемещении его оси на бесконечно малое расстояние  он поворачивается вокруг своей оси на бесконечно малый угол равный:

    

Если это равенство поделить на , мы получим связь между угловой скоростью и скоростью центра масс:

    

При дифференцировании последнего выражения получим связь между ускорениями:

      

Поэтому при качении уравнения движения для поступательного движения и вращения тела являются связанными. Если есть проскальзывание, эти уравнения становятся независимыми до того момента времени когда прекратится проскальзывание.

Теперь рассмотрим энергетический аспект задачи на примере движения цилиндра без проскальзывания по горизонтальной поверхности, если сила, приложенная к центру масс постоянна (см. правый рис. Выше). Будем считать, что ось  направлена по направлению перемещения оси цилиндра, а ось  перпендикулярна плоскости рисунка и направлена от нас. Система уравнений движения будет иметь вид:

Момент импульса вычисляется относительно любой неподвижной точки, находящийся на линии движения оси цилиндра, то есть в инерциальной системе отсчета. Воспользовавшись равенством связью углового ускорения с линейным ускорением, перепишем второе уравнение системы:

     

Исключив неизвестную силу трения, получим уравнение для ускорения центра масс:

        

Интегрирование уравнения равноускоренного движения вы уже знаете. Поэтому без лишних пояснений выпишем ответ для пройденного пути за время :

Найдем силу трения. Для этого подставим в первое уравнение системы (4) подставим найденное ускорение (5):

Для цилиндра она будет равна:

Но трение покоя не может быть больше . Поэтом движущая сила  ограничена величиной:

Если это неравенство не удовлетворяется, то движение без проскальзывания быть не может. К сожалению, во многих учебниках об этом умалчивается.

Найдем работу силы  при перемещении цилиндра за время :

   

Вычислим конечную кинетическую энергию цилиндра:

При выводе использовано равенство (2). Выразим скорость через время, интегрируя (5) один раз по времени:

Таким образом, энергия цилиндра равна:

Сравнивая последнее выражение с работой , можно сделать вывод, что сила трения работы не совершает. Точнее сила трения свершает отрицательную работу в поступательном движении. И такую же, но положительную работу она совершает во вращательном движении. Можно сказать, что сила трения осуществляет перекачку энергии с поступательной степени свободы во вращательную степень свободы. Найдем конечную вращательную энергию цилиндра:

Сравним ее с величиной работы силы трения:

Как видите, они совпадают, подтверждая сказанное чуть выше.

Причем, это не является особенностью прямолинейного движения цилиндра по горизонтальной поверхности. Так, например, кинетическую энергию скатившегося цилиндра с некоторой горки высотой  можно приравнять потенциальной энергии цилиндра в начальный момент времени:

 

Качение обруча по горизонтально поверхности. Рассмотрим пример движения тонкого обруча по горизонтальной поверхности с начальными условиями, показанными на рисунке. Масса, радиус обруча и коэффициент трения скольжения известны. Рассмотреть возможные варианты при различном соотношении начальных скоростей (поступательной и угловой). Уравнения движения поступательного и вращательного при силе трения скольжения будут иметь вид:

Уравнения независимы. Проинтегрируем эти уравнения и учтем начальные условия:

 

             

Полученное решение справедливо пока обруч движется с проскальзыванием. Из уравнений видно, что поступательная и угловая скорости уменьшаются по одинаковым линейным законам.

Найдем времена, когда найденные скорости обратятся в ноль:

Первый возможный вариант соотношения:

В этом случае , всякое движение обруча прекратится на расстоянии равном:

Второй вариант:

В этом случае , и поступательная скорость обратится в нуль на том же расстоянии 

, но обруч будет вращаться против часовой стрелки с угловой скоростью:

Далее надо решать новую задачу, с начальными условиями: . Но чтобы решать задачу, прежде надо ответить на вопрос: «Если положить раскрученный обруч на горизонтальную поверхность с трением, то он сразу покатится без проскальзывания или вначале будет проскальзывание»? В большинстве учебниках об этом умалчивается. Попробуем ответить. Если предположить, что обруч начнет сразу катиться без проскальзывания, то это фактически означает, что он мгновенно набрал кинетическую энергию поступательного движения, пройдя нулевое расстояние. Но это в свою очередь требует возникновения бесконечно большой силы, в направлении оси , но она физически ограничена величиной .

Если это не сообразить и начать решать задачу в предположении, что проскальзывания нет, то уравнения для такого движения будут иметь вид:

Исключив силу трения, получим уравнение:

Интегрируя и используя начальные условия, он получит:

Таким образом, поступательная скорость равна:

Результат явно противоречит здравому смыслу.

Правильные уравнения движения:

Интегрируем и учитываем начальные условия:

Уравнения справедливы до того момента времени, когда наступит равенство , то есть прекратится проскальзывание. Определим , приравняв правые части уравнений:

Это произойдет на расстоянии , которое можно вычислить, проинтегрировав первое уравнение последней системы и подставив :

Далее обруч будет катиться без проскальзывания с поступательной скоростью равной:

Последний вариант -  приведет к тому, что через некоторое время наступит равенство . Затем обруч будет катиться с постоянной скоростью без проскальзывания. Расстояние, на котором кончится проскальзывание, и величина скорости в этот момент рассчитываются аналогично, и мы не будем этого делать.

 

Несколько замечаний к задаче о скатывании цилиндра по наклонной плоскости. Эта задача разными методами решена в учебнике И.В. Савельева. Не будем повторяться. Напомню, что там просто постулируется, что положенный на наклонную плоскость цилиндр начинает скатываться без проскальзывания. Но ничего не говориться об условиях, при которых возможно такое движение. А на этом стоит остановиться.

В самом начале этой темы мы получили соотношение между силой, приложенной к центру масс и силой трения при качении цилиндра без проскальзывания:

В нашем случае сила трения равна:

К этому же результату приходит и И.В. Савельев, решая задачу. Максимальная сила трения (сила трения скольжения) равна:

Поэтому сила трения должна быть меньше максимальной силы. Из этого следует неравенство:

В противном случае цилиндр начнет двигаться с проскальзыванием. В среднем коэффициент трения скольжения равен около . Для угла  получаем:

Для большинства материалов коэффициент трения меньше этой величины. В задачниках, как правило, задается угол не больше . Такой коэффициент трения можно обеспечить, то есть задачи имеют смысл.

 

Давайте рассмотрим решение задачи в случае, когда положенный на наклонную плоскость цилиндр вначале движется с проскальзыванием. Заданы следующие величины: угол между наклонной и горизонтальной поверхностями, коэффициент трения скольжения. Надо определить кинетическую энергию цилиндра, когда цилиндр будет на расстоянии  от начального положения. Радиус цилиндра известен.

Уравнения движения при проскальзывании будут иметь вид:

Упростив, проинтегрировав и учтя начальные условия, получим:

 

Оба уравнения представляют собой математически уравнения прямых с разными угловыми коэффициентами. Их отношение равно:

Но такое движение с проскальзыванием возможно (см. выше) при условии . Поэтому

Из этого следует вывод, что проскальзывание будет все время, скорость центра масс растет быстрее . Поэтому сила трения будет оставаться такой же, как и в начальный момент времени.

Найдем энергию поступательного движения. Сначала определяем время движения по заданному пути:

Затем находим конечную скорость и конечную энергию поступательного движения:

Перейдем к вычислению энергии вращения. Находим угол поворота цилиндра за время :

Вам известно, что постоянный момент силы умножить на угол поворота, то получим работу. Приравнивая ее кинетической энергии, находим последнюю:

Таким образом, полная кинетическая энергия равна:

При отсутствии трения, как и должно быть, получаем:

Мы нашли энергию при помощи интегрирования уравнений движения. Давайте найдем ее, используя закон сохранения полной энергии.

Для того, чтобы решить задачу с помощью закона сохранения энергии, необходимо вычислить относительное перемещение очень малой поверхности диска по поверхности бруска :

Находим долю механической энергии, перешедшую во внутреннюю энергию тел:

Теперь можно найти кинетическую энергию цилиндра:

Если выполнить алгебраические преобразования, то получим точно такое же выражение, которое было получено ранее с использованием уравнений динамики. Можете поверить, так как они были сделаны, чтобы убедится в отсутствии ошибок в вычислениях. Если вы хотите найти по отдельности поступательную и вращательную энергии, то первая равна:

Вращательная энергия находится как разность:

Некоторые идеологические замечания. Закончим этот раздел несколькими примерами не столько, чтобы рассмотреть математическую сторону решения, сколько разобраться с его идеологией и используемой при решении терминологии.

Задача для школьников, при ответе на которую делается масса ошибок. Танк едет вверх по наклонной плоскости с постоянной скоростью. Какие силы действуют на танк? Один из вариантов ответов. Параллельно поверхности на танк действуют три силы. Вверх - сила тяги, вниз – составляющая силы тяжести и сила трения. Векторная сумма их равна нулю, если скорость танка постоянна. Не возражая, задаешь второй вопрос. Предположим, что танк въехал на участок горки, на котором коэффициент трения уменьшился, а двигатель танка работает в том же режиме. На вопрос как изменится скорость танка, почти на сто процентов получаешь ответ, что она возрастет. После уточнения того, что он считает, что скорость танка будет возрастать с уменьшением коэффициента трения, задается «убийственный» вопрос. Поверхность абсолютно гладкая. Какова будет скорость? Здесь все начинают понимать, что их злой препод завалил. Мы уверены, что студентам, дочитавших это пособие до сего места, излишне объяснять, что на танк, движущийся вверх, действуют две силы: сила тяжести и реакция опоры (со стороны поверхности). Их векторная сумма должна быть рана нулю. Для каждой силы (в инерциальной системе отсчета) можно указать тело или силовое поле, ответственные за ее возникновение. Далее в этой задаче надо разложить силы на проекции по двум осям. Удобнее всего одну направить параллельно поверхности, другую – перпендикулярно. Проекция реакции опоры на параллельную ось называют силой трения, в данном примере – силой трения покоя.

При движения танка с постоянной скорость по горизонтальной поверхности, обе силы, действующие на него, направлены по вертикали, их проекции равны нулю и никаких сил трения в этом случае быть не может. Но это верно только при постоянной скорости танка.

Рассмотрим пример, который необходим, для следующей за ним задачи. На горной речке установили турбину. Соединили ее вал с генератором тока, протянули провода в деревню, подключили электромотор, на вал которого закрепили диск. При включении мотора диск начинал вращаться. Почему? Мы занимаемся физикой, и ответ требуется физический. Он прост. Диск начал вращаться, потому что со стороны вала на него начал действовать момент силы. Однако некоторые преподы (не студенты, их мнение, как правило, совпадает с мнением препода, иначе можно уйти с экзамена не получив его автографа) придерживаются другого мнения. Какого? Диск вращается, потому что светит Солнце. Именно оно вызвало таяние ледника. Шутка? К сожалению, нет.

 

Автомобиль – это модно.

Задачка 1. На наклонной плоскости (угол наклона к горизонту известен) одновременно начали двигаться два совершенно одинаковых автомобиля. Причем оба водителя выжимали все возможное из своих машин. Но водители были люди осторожные и не допускали проскальзывание колес, чтобы не потерять управление машинами на узкой дороге Начальное расстояние между ними было равно . Масса автомобиля и коэффициент трения скольжения известны. Где они встретятся? Считать, что все колеса, ведущие и нагрузка на них одинаковая.

Максимальная сила со стороны поверхности наклонной плоскости, которая может быть приложена к автомобилю – это предельная трения покоя равная:

Пропустив совсем тривиальные выкладки, напишем сразу выражение для относительной скорости сближения автомобилей:

Находим время движения до встречи, используя формулу для пути для равноускоренного движения:

Далее понятно, что найти пути, пройденные каждым автомобилем, не представляет труда. Этой арифметикой здесь нет смысла заниматься, слишком она тривиальна.

Задача 2. Автомобиль трогается с места и начинает двигаться равноускоренно (для простоты выкладок). Пройдя некоторый известный путь , он набрал скорость . Мы можем утверждать, что приращение энергии автомобиля произошло, потому что на него действовала постоянная (так как движение равноускоренное) сила, которая совершила работу равную:

Ее величина вычисляется из этих уравнений. В предположении, что колеса не проскальзывали, эта сила трения покоя (очень неудачная принятая терминология). А вот с этим многие не согласны. Их доводы. Автомобиль это не твердое тело, у него есть вращающиеся колеса, двигатель и т.д. Аналогичное, второму закона Ньютона для материальной точки, уравнение для движения центра масс под воздействием внешней силы для системы произвольно движущихся тел применимо. Такие же уравнения, в которых будет только вместо энергии автомобиля стоять энергия поступательного движения системы тел, писать и так объяснять можно. Можно в одном месте дать определение работы силы, как произведение силы на перемещение тела, не делая оговорок, что есть силы, к которым это не применимо. А как только появляется работа силы трения покоя, сразу начинать возражать. Почему нельзя автомобиль считать системой тел, состоящей из кузова, колес, двигателя бензина, водителя т.д. и рассматривать ее движение как единого тела, двигающегося поступательно? 

Для каждой материальной точки, если система тел состоит из точечных тел, или для каждой элементарной массы твердого тела можно радиус-вектор, проведенный из начала неподвижной системы координат к точечному телу или к элементарной массе разложить на сумму двух векторов, от начала координат до центра масс от центра масс до точки системы. Продифференцировав сумму по времени, мы получим векторную сумму скоростей – скорости центра масс и скорости некоторой точки относительно центра масс. Если при движении тела известны в каждый момент векторная сумма всех внешних сил, то скалярное произведение вектора суммарной силы на бесконечно малое перемещение центра масс можно условно назвать работой по перемещению материальной точки, равной масс всего твердого тела. Проинтегрировав по траектории, мы получим приращение кинетической энергии материальной точки, якобы расположенной в центре масс, и равной массе всего тела. Чтобы не говорить столь длинного определения в каждой задаче каждый раз, будем в дальнейшем обходиться более короткими выражениями: работа по перемещению центра масс и кинетическая энергия центра масс. Причем скорость центра масс (то есть материальной точки равной и тд. и тд., последний раз), стоящая в выражении для кинетической энергии будет и поступательной скоростью всех точек твердого тела. Скорость точи твердого тела относительно неподвижной системы координат будет являться векторной суммой этой поступательной скорости и скорости точки относительно центра масс. Поэтому кинетическая энергия центра (без тд. и тд.) является по существу поступательной всех точек (элементарных масс) твердого тела, то есть поступательной кинетической энергией всего тела. Конечно, эта энергия не полная кинетическая энергия всего твердого тела. Если мы имеем дело с автомобилем, то строго говоря, он не является твердым телом. Эта довольно сложная система тел. Но для многих практических задач мы можем использовать понятия, определенные выше. Мы можем выделить и достаточно просто вычислить, зная внешние силы кинетическую энергию центра масс, а значит и скорость поступательного движения всех его точек, то есть поступательную кинетическую энергию всего автомобиля. Именно эта энергия позволит оценить последствия столкновения автомобилей или его столкновения со стенкой.  

Если мы хотим разобраться не только в движении автомобиля, как единого «твердого тела» (правильнее системы тел), но и с движением колес (одних из тел системы), тогда придется затрагивать и процессы внутри этой системы.

Выше написанный закон сохранения относится ко всей системе. Угловая скорость колеса (при отсутствии проскальзывания) связана с поступательной скоростью автомобиля соотношением:

Конечная энергия вращения четырех колес равна:

В этой формуле под моментом инерции следует понимать не момент инерции одного колеса, а суммарный, то есть учетверенный момент инерции одного колеса. Так удобнее, если мы хотим найти полную вращательную энергию колес относительно их осей. И мы ее можем вычислить, так как сила нам известна из закона сохранения энергии для автомобиля. Мы можем утверждать, что кроме момента силы трения, на ось колеса действовал момент сил (его причину возникновения, оставаясь в рамках механики Ньютона, мы объяснить, не можем). Но этот момент мы также можем вычислить из уравнения:

Несколько пояснений: ось  совпадает с осью колеса, - момент сил неизвестной природы, - момент силы трения покоя,  - угол, на который повернулось колесо за время . Вычислим неизвестный момент сип:

В этих формулах  масса всего автомобиля, в том числе и масс  четырех его колес.

Произведение  численно равно убыли внутренней энергии системы:

Первое слагаемое это кинетическая энергия вращения четырех колес автомобиля, второй член это кинетическая энергия поступательного движения всего автомобиля, включая его колеса. Конечно, физически вся энергия получена за счет убыли некой внутренней энергии системы-автомобиля. Но это никак не мешает нам писать формулу, с которой мы начали эту задачу и говорить, что кинетическая энергия поступательного движения автомобиля, как единого тела равна работе силы трения покоя. Если бы не было силы трения, то сколько бы не сожгли бензина, автомобиль бы не стронулся с мета. Именно сила трения между ним и землей разгоняет автомобиль. Нам казалось целесообразней разделить вопросы: почему автомобиль движется и откуда берется энергия. Нам кажется, что такое разделение упрощает решение задач.

Практически также можно рассмотреть торможение автомобиля (все современные иномарки имеют устройство антиблокировки колес это связано с тем, что сила трения покоя несколько больше силы трения скольжения покрышек об асфальт). Можно найти «внутренний» момент сил, действующий на колесо, и приращение внутренней энергии системы. Она переходит в нагрев двух тормозных дисков.

Замечание. Как не надо разгонять автомобиль. В один из дней водитель очень торопился. Он газанул так, что крутящий момент на колеса со стороны двигателя увеличился в два раза. Но автомобиль, двигаясь равноускоренно, за то же время прошел такой же путь, что и в предыдущей задаче. Объясним кажущийся парадокс и поясним, на что пошла дополнительная энергия двигателя.

Если автомобиль в этот раз двигался равноускоренно такое же время и прошел такой же путь, то следовательно, он двигался с тем же ускорение. Но если ускорения одинаковые, то из этого следует, что действующая сила со стороны поверхности были в обоих случаях также одинаковые. Следовательно, к концу пути автомобиль набрал ту же самую кинетическую энергию.

Давайте найдем конечную угловую скорость колес из уравнения для момента импульса:

В правой части все величины не зависят от времени, поэтому угловая скорость колес линейно увеличивается как функция времени. В конце пути она будет равна:

В обеих формулах момент инерции это суммарный момент всех четырех колес.

Если же найти угловую скорость в первой задаче, то она окажется равной:

Найдя их отношение, можно скорость во второй задаче выразить через первую:

    

Из последнего выражения видно, что во второй задаче угловая скорость больше угловой скорости, необходимой качению колес без проскальзывания. Следовательно, во второй задаче на автомобиль действовала сила трения скольжения. В первом случае разгон был оптимален с точки зрений и скорости разгона и минимума расхода горючего. Во втором случае вся лишняя энергия двигателя частично перешла в излишнюю кинетическую энергию вращения колес, и частично в тепло при трении с проскальзыванием.

Обязательно прочтите следующую задачу!

Движение нагруженного грузовика. Рассмотрим движение грузового автомобиля массы , в кузове которого лежит груз . Максимальное ускорение, с которым может двигаться нагруженный грузовик равно:

В этой формуле  коэффициент трения скольжения между колесами грузовика и дорогой. Предположено, что груз покоится относительно грузовика. Если груз не закреплен, а его удерживает трении, то груз относительно дороги не может двигаться с ускорением, чем:

Если коэффициент трения между поверхностью кузова и грузом  не меньше , то нет необходимости крепить груз дополнительно. Но если это не так, то при ускорении грузовика больше , то груз начнет скользить относительно кузова. Мы рассмотрим последний вариант, промоделировав задачу движение системы двух тел, изображенных на рисунке.

Так же, как и в предыдущих задачах с автомобилем, мы можем вычислить путь пройденный центром масс, его скорость за некоторое время от начала движения. Можно вычислить кинетическую энергию поступательного движения центра масс, приравняв ее работе силы , которую мы будем считать постоянной:

Но в этой задаче все вычисленные величины не относятся к движению самого грузовика. Они характеризуют движение точки центра масс. В предыдущих задачах было сделано очевидное предположение, но которое не оговаривалось. Предполагалось, что из автомобилей ничего не вываливалось, а если и происходило изменение положения точки центра масс на сантиметры из-за того что водитель изменил позу, то этим всегда можно пренебречь при пути разгона автомобиля в десятки метров. В этой задаче перемещение центра относительно грузовика имеет принципиальное значение. В данной задаче они практически бесполезны.

Рассмотрим движение каждого тела. Найдем ускорение, скорость и кинетическую энергию грузовика при условии, что груз скользит относительно грузовика:

Найдем аналогичные величины для груза:

Если из пути автомобиля вычесть путь, пройденный грузом, то мы узнаем, на какое расстояние переместился груз относительно кузова автомобиля:

Если эта разность превысит , показанное на рисунке, то груз рухнет на землю. А Чукче, который провел 6 лет в институте (один курс повторно по «болезни») только для того, чтобы не забрали в армию, и не закрепил груз, подумав, куда он денется такой тяжелый, пришлось продать двухкомнатную и переехать в однокомнатную квартиру, чтобы оплатить разбитый груз. К физике надо относиться с любовью, если не хотите попадать в похожие ситуации. 

Найдем кинетическую энергию обоих тел:

Суммарная кинетическая энергия системы тел равна:

Если второй член, по физическому смыслу являющийся величиной энергии, перешедшей в тепло из-за наличия трения, то мы получим выражение закона сохранения полной энергии:

То есть работа всех внешних сил над системой равна возрастанию ее механической энергии плюс увеличение внутренней энергии системы.

По вычисленным выше скоростям автомобиля и груза можно, воспользовавшись определением скорости центра масс, вычислить ее и убедиться, что она совпадает с той, которая была вычислена из движения центра масс в самом начале задачи.

Так что есть класс задач, где рассмотрение движения центра масс существенно упрощает их решение, но есть и задачи, в которых рассмотрение движения центра масс практически бесполезно. Но очень во многих задачах использование результатов движения центра масс, как дополнительных данных, может упростить их решение.

Вы, наверное, видели, как перевозят легковые машины на специальных прицепах, на которых машины располагаются на рамной конструкции в два этажа. Обратите внимание на их крепление.

 

А что было в «ящике»? Физик 1 изготовил прибор, который по форме был параллелепипед, один из размеров его был много больше двух других. Параллелепипед был сделан из тонких стенок, в стенках стояли элементы, которые позволяли фиксировать величину давление, оказываемое положенным телом в него. Внутренние поверхности стенок были гладкими. Так что при движении тела внутри трение можно было пренебречь.

К нему в гости пришел физик 2 и спросил первого физика, может ли он отгадать, что положит в ящик (когда первый не будет видеть). Физик 1 согласился это сделать. Второй положил, а первый стал наблюдать.

Некоторое время на дно ящика действовали две одинаковые практически точечные силы, присеем одна из них, была рядом с вертикальной стенкой, но давление на стенку не было. Точка действия второй силы находилась достаточно далеко от стенки и линия, соединяющая две точки действия сил, была перпендикулярна вертикальной стенке. Но это длилось недолго. Появилась сила давления на стеку, тоже точечная и тока действия силы была почти рядом с полом ящика. И в тоже же момент точка приложения «дальней» силы начала перемещаться по перпендикуляру от стенки. В результате эксперимента были поучены графики, показанные на рисунке. Физик 1 был осторожным и попросил своего коллегу повторить опыт, ног положить свое нечто, развернув на 180^о. Все произошло абсолютно также, если не считать, что время от начала действия сил на пол до действия силы на вертикальную стенку было несколько другим. 

После этого физик 1 сказал, что он может высказать предположение, что было положено в ящик и что там происходило. Послушайте его объяснения.  

В ящик были положены два тела, которые можно считать точечными, так как точки приложения силы от тела, положенного рядом со стенкой были почти рядом с ребром параллелепипеда. Эти тела имеют одинаковую массу . Ее я определил из измеренной силы давления на пол ящика. Вначале между этими телами сила взаимодействия была равна нулю. В некоторый момент, который примем за начальный, возникла сила отталкивания между телами, уменьшающаяся по линейному закону. Когда расстояние между телами удвоилось, то сила взаимодействия стала рана нулю. За это время центр масс системы сместился на . Я рассчитал скорость цента масс системы, в тот момент, когда прекратилось давление на стенку. Она равна:

Так как на систему, после этого момента времени, силы не действуют (силы тяжести уравновешенны силами со стороны поверхности пола), то центр масс системы далее будет двигаться с этой скоростью. Из зависимости расстояний между телами мы можем сказать, что в последующем движении тела то сближаются на минимальное расстояние , то удаляются .

На ближнее к стенке тело действует такая же сила, которая изображена на графике. Но оно покоится. Следовательно, на него действует сила такая же сила со стороны дальнего тела. Из этого вытекает, что дальнее тело движется под действием силы, изображенной на графике, но на оси абсцисс (расстояние) надо в начальной точке поставить , в конечной точке . Тогда практически также можно определить скорость дальнего тела в момент, когда на стенку перестала действовать сила:

Если перейти в систему центра масс, то в ней в момент отрыва первого тела от стенки оба тела удаляются от центра масс с одинаковыми по величине скоростями равными: