ТОП 10:

Определение скорости и ускорения точки по уравнениям движения



 

В таблицах 1, 2 заданы уравнения движения точки М и численные значения параметров к ним. Требуется установить траекторию и для момента времени t = t1 найти положение точки на ней. Вычислить скорость, полное, касательное и нормальное ускорения точки М (показать их на рисунке), радиус кривизны траектории.

Заданы уравнения движения точки М:

 

x(t) = at; y(t) = ct2 – d (1)

 

 

Исходные данные

Шифр a м/с b м c м/с2 d м t1 с
31–6 0,5

Решение

 

После подстановки численных значений уравнения (1) приобретают вид:

x(t) = 4t , y(t) = 16 t2–1. (2)

Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, исключим время t из уравнений (2). С этой целью выразим время из первого уравнения и подставим во второе:

 

t = x / 4 , y = 16 (x/4)2 – 1 = x2 – 1.

Иначе

x2 = y + 1 (3)

Таким образом, получено уравнение параболы.

Положение точки М на траектории в момент времени t1 находим по уравнениям (2):

x(0,5) = 4·0,5 = 2 м , y(0,5) = 16·0,52–1 = 3 м.

Для построения траектории точки, являющейся кривой линией (часть параболы), необходимо определить положения точки М ещё при нескольких моментах времени вблизи t = t1. Эти вычисления отобразим в табличной форме и построим кривую (рис.1).

 

 

t, с 0,25 0,5 0,7
х, м 2,8
у, м –1 6,8

 

 

 

Рис. 1

 

Вычислим проекции скорости и ускорения точки на оси координат vx, vy, ax, ay, дифференцируя по времени уравнения движения (1):

 

, , ,

,

По найденным проекциям определяются модуль скорости:

и модуль ускорения точки вычисляется по формуле:

Касательное ускорение точки

.

Полученный знак + означает, что движение точки ускоренное, направления совпадают.

Модуль нормального ускорения точки определяется по формуле:

.

После того, как найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

 

.

На рисунке показано положение точки М в заданный момент времени. Вектор строим по составляющим , причём этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории. Вектор строим по составляющим и затем раскладываем на составляющие . Совпадение величин , найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит контролем правильности решения.

 

 

Варианты заданий

Таблица 1

 

Второе число шифра a b c d

 

Примечание. Единицы измерения параметров в табл. 1 соответствуют единицам измерения уравнений движения, заданных в табл. 2.


Таблица 2

 

Первое число шифра Уравнения движения, м t1, с
x(t) y(t)
a t2 + b c t + d 3/4
a + b t c + d t + a t2 1/2
b cos (πt/2) + a c + d cos (πt/4)
a sin(πt/3) + b c cos (πt/3) + d
b sin(πt/2) + d a cos (πt/2) + c 1/2
d sin2(πt) + a b cos2(πt) + c 1/3
a t + b c sin (πt/4) + d
c sin (πt/3) + b a t + d
a cos (πt/4) + b c sin(πt/8) + d 3/2
dt2 + ct a + b t 1/2
a cos (πt/3) + c d sin(πt/3) + b
b cos (πt/2) + c a sin(πt/2) + d 3/2
a cos2(πt) + d b sin2(πt) + c 1/3
b sin (πt/6) cos (πt/6) + c d sin2(πt/3) + a
d t + a b t2 + c 1/2
b sin2(πt/2) + a d sin (πt/4) cos (πt/4) + c 1/3
ct + a dt2 + at + b
c sin (πt/6) + d b cos (πt/6) + a
a sin2(πt/3) + b c cos2(πt/3) + d
c sin (πt/4) + d a cos (πt/4) + b
d t + b t2 b + a t
a sin(πt/6) + c d cos(πt/3) + b 3/2
a + ct + 2 ct2 b + dt
d cos (πt/6) + a b sin(πt/6) + c
b cos2(πt/3) + a d sin2(πt/3) + c
a cos (πt/4) + c b sin(πt/4) + d
d t + b c t + a t2 3/2
c sin2(πt/6) + b a cos2(πt/6) + d
b t - c d t – a t2 3/2
d cos2(πt/6) + b c sin2(πt/6) + a

Некоторые формулы:


Задача К2







Последнее изменение этой страницы: 2019-04-27; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.108.61 (0.006 с.)