Определение скорости и ускорения точки по уравнениям движения

 

В таблицах 1, 2 заданы уравнения движения точки М и численные значения параметров к ним. Требуется установить траекторию и для момента времени t = t₁ найти положение точки на ней. Вычислить скорость, полное, касательное и нормальное ускорения точки М (показать их на рисунке), радиус кривизны траектории.

Заданы уравнения движения точки М:

 

x(t) = at; y(t) = ct² – d (1)

 

 

Исходные данные

Шифр	a м/с	b м	c м/с^2	d м	t1 с
31–6					0,5

Решение

 

После подстановки численных значений уравнения (1) приобретают вид:

x(t) = 4t, y(t) = 16 t²–1. (2)

Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, исключим время t из уравнений (2). С этой целью выразим время из первого уравнения и подставим во второе:

 

t = x / 4, y = 16 (x/4)² – 1 = x² – 1.

Иначе

x² = y + 1 (3)

Таким образом, получено уравнение параболы.

Положение точки М на траектории в момент времени t₁ находим по уравнениям (2):

x(0,5) = 4·0,5 = 2 м, y(0,5) = 16·0,5²–1 = 3 м.

Для построения траектории точки, являющейся кривой линией (часть параболы), необходимо определить положения точки М ещё при нескольких моментах времени вблизи t = t₁. Эти вычисления отобразим в табличной форме и построим кривую (рис.1).

 

 

t, с	0,25		0,5	0,7
х, м				2,8
у, м		–1		6,8

 

 

 

Рис. 1

 

Вычислим проекции скорости и ускорения точки на оси координат v_x, v_y, a_x, a_y, дифференцируя по времени уравнения движения (1):

 

, , ,

,

По найденным проекциям определяются модуль скорости:

и модуль ускорения точки вычисляется по формуле:

Касательное ускорение точки

.

Полученный знак + означает, что движение точки ускоренное, направления совпадают.

Модуль нормального ускорения точки определяется по формуле:

.

После того, как найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

 

.

На рисунке показано положение точки М в заданный момент времени. Вектор строим по составляющим , причём этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории. Вектор строим по составляющим и затем раскладываем на составляющие . Совпадение величин , найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит контролем правильности решения.

 

 

Варианты заданий

Таблица 1

 

Второе число шифра	a	b	c	d

 

Примечание. Единицы измерения параметров в табл. 1 соответствуют единицам измерения уравнений движения, заданных в табл. 2.

Таблица 2

 

Первое число шифра	Уравнения движения, м	t1, с
x(t)	y(t)
	a t^2+ b	c t + d	3/4
	a + b t	c + d t + a t^2	1/2
	b cos (πt/2) + a	c + d cos (πt/4)
	a sin(πt/3) + b	c cos (πt/3) + d
	b sin(πt/2) + d	a cos (πt/2) + c	1/2
	d sin^2(πt) + a	b cos^2(πt) + c	1/3
	a t + b	c sin (πt/4) + d
	c sin (πt/3) + b	a t + d
	a cos (πt/4) + b	c sin(πt/8) + d	3/2
	dt^2 + ct	a + b t	1/2
	a cos (πt/3) + c	d sin(πt/3) + b
	b cos (πt/2) + c	a sin(πt/2) + d	3/2
	a cos^2(πt) + d	b sin^2(πt) + c	1/3
	b sin (πt/6) cos (πt/6) + c	d sin^2(πt/3) + a
	d t + a	b t^2+ c	1/2
	b sin^2(πt/2) + a	d sin (πt/4) cos (πt/4) + c	1/3
	ct + a	dt^2 + at + b
	c sin (πt/6) + d	b cos (πt/6) + a
	a sin^2(πt/3) + b	c cos^2(πt/3) + d
	c sin (πt/4) + d	a cos (πt/4) + b
	d t + b t^2	b + a t
	a sin(πt/6) + c	d cos(πt/3) + b	3/2
	a + ct + 2 ct^2	b + dt
	d cos (πt/6) + a	b sin(πt/6) + c
	b cos^2(πt/3) + a	d sin^2(πt/3) + c
	a cos (πt/4) + c	b sin(πt/4) + d
	d t + b	c t + a t^2	3/2
	c sin^2(πt/6) + b	a cos^2(πt/6) + d
	b t - c	d t – a t^2	3/2
	d cos^2(πt/6) + b	c sin^2(πt/6) + a

Некоторые формулы:

Задача К2