Реакции опор прямоугольной плиты

 

Прямоугольная однородная плита с размерами a и b закреплена с помощью трёх опор: шарнирно-неподвижной (сферический шарнир) в точке A, подшипника в точке B и опорного стержня в точке С. На плиту действуют сила тяжести G, пара сил с моментом М, сила F₁, перпендикулярная к плите, сила F₂, лежащая в плоскости плиты. Силы F₁ и F₂ приложены в серединах сторон плиты или в углах. Требуется определить реакции опор.

 

Исходные данные

Шифр	а м	b м	α град	G кН	F1 кН	F2 кН	M кНм
31–6

 

Исходная схема		Расчётная схема
Рис. 1		Рис. 2

 

Решение

 

Введём координатные оси x, y, z (рис. 1). Изобразим расчётную схему. Мысленно отбросим опоры и введём реакции (принципом освобождаемости от связей). В сферическом шарнире реакцию связей неизвестного направления разложим на составляющие по осям (рис. 2). Подшипник в точке В имеет только составляющие . Реакция опорного стержня направлена по оси стержня. Её удобно для дальнейших вычислений разложить на составляющие: и . Учтём также силу тяжести и заданные силы . Поскольку количество неизвестных реакций связей равно шести, и количество уравнений равновесия также шесть, система является статически определимой. Составим уравнения равновесия. Суммы проекций сил на координатные оси должны равняться нулю:

 

. (1)

. (2)

. (3)

Суммы моментов сил относительно координатных осей равны нулю:

. (4)

. (5)

. (6)

Найдём опорные реакции из системы уравнений последовательно.

Из (1): .

Из (4): .

Из (5): .

Знак минус означает, что реакция направлена противоположно показанной на рис. 2, т. е. вниз.

 

Из (6): .

Из (2): .

Из (3): .

 

Варианты заданий

 

Второе число шифра	а м	b м	α град	G кН	F1 кН	F2 кН	M кНм

 

 

 

 

 

 

 

Задача С5

Расчёт плоской фермы

 

Определить реакции опор и усилия в стержнях плоской фермы двумя методами: методом вырезания узлов и методом сечений.

Исходные данные

 

Шифр	а м	h м	F1 кН	F2 кН
31–6	2,7	3,3

 

Исходная схема		Расчётная схема
Рис. 1		Рис. 2

 

 

Решение

 

У заданной фермы (рис. 1) имеются шарнирно-неподвижная опора в точке А (две неизвестные реакции) и опорный стержень в точке В (одна неизвестная реакция). Ферма находится под действием плоской системы сил, для которой имеются три уравнения равновесия. Количество неизвестных реакций опор равно количеству уравнений. Это значит, что ферма в целом статически определима. Кроме того, должно быть соблюдено условие статической определённости в виде соотношения между количествами стержней и узлов фермы:

 

.

Количество стержней , количество узлов . Очевидно, что условие выполняется.

Расчёт фермы начнём с определения реакций опор. Изобразим расчётную схему (рис. 2). Покажем координатные оси х, у. По принципу освобождаемости от связей мысленно отбросим опоры и введём реакции вместо шарнирно-неподвижной опоры и – вместо опорного стержня ВС. Для определения реакций опор рассмотрим равновесие всей фермы в целом как единого твёрдого тела. Тогда соответствующие уравнения равновесия плоской системы сил принимают вид:

 

. (1)

. (2)

. (3)

Отсюда находим:

(направлена влево);

(направлена вверх);

(направлена вниз).

Теперь приступим к определению усилий в стержнях указанными методами.

1. Метод вырезания узлов. Обозначим на расчётной схеме узлы: и стержни: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Далее в расчётах понадобятся углы наклона стержней к координатным осям. Найдём углы наклона к оси х-ов.

 

;

;

.

Рассмотрим каждый узел. Расчёты начнём с узла, где сходятся только два стержня.

 

Узел D. Предполагая сходящиеся к нему стержни 1 и 2 растянутыми, изобразим узел и силы, приложенные к нему. Составим уравнения равновесия в виде равенства нулю сумм проекций сил на координатные оси x, y и находим усилия в стержнях:

 

.

Стержень 2 – сжатый.

.

Узел Е. Аналогично составляем уравнения равновесия:

,

.

Подставим числа и получим систему двух уравнений с двумя неизвестными

,

.

Решение даёт

Стержень 3 – сжатый.

Узел G. Уравнения равновесия имеют вид:

,

.

Подставляя численные значения, получим:

,

.

Решение системы даёт усилия в стержнях: .

Стержень 5 – сжатый.

Узел A. Неизвестным является только одно усилие – . Поэтому составляется только одно уравнение равновесия:

 

,

из которого находим:

.

Стержень 6 – сжатый.

2. Метод сечений. Проведём сечения I – I, II – II, III – III, IV – IV, пересекающие все стержни фермы. Равновесие левой части фермы в случае I – I приводит к тем же уравнениям равновесия, которые использованы выше для узла D, и поэтому их не будем рассматривать. По той же причине не рассматриваются и сечения II – II, IV – IV, которые приводят к рисункам для узлов А и Е. Очевидно, что метод сечений для усилий в стержнях 1, 2, 3, 7 даёт те же значения, которые получены выше методом вырезания узлов, ввиду полного совпадения рисунков отсечённых частей и уравнений равновесия.

Изобразим правую часть фермы, отсекаемую сечением III – III. Она является частью фермы, находящейся в равновесии, и поэтому должна быть также в равновесии. Из этого следует, что уравнения равновесия для правой части должны удовлетворяться. Составим их:

 

,

,

Из третьего уравнения

.

Первое и второе уравнения образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными и , которая после подстановки чисел имеет вид

 

.

Решая её, получим: .

Сравнивая результаты, полученные двумя разными методами, убеждаемся, что они равны. Следовательно, решения по обоим методам являются верными.

 

Варианты заданий

 

Второе число шифра	а м	h м	F1 кН	F2 кН
	2,8	3,0
	3,2	3,4
	3,4	3,2
	2,9	3,1
	2,6	2,8

 

 

 

 

 

Кинематика

 

Задача К1