Скорости и ускорения в плоском механизме

 

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, двух ползунов, неподвижной опоры и двух шарниров , соединяющих стержни. Один из шарниров располагается в середине стержня 2. Кривошип вращается равномерно с угловой скоростью . Заданы длины стержней , углы , угловая скорость стержня 1.

Требуется найти:

1. Скорости точек A, B, C, D механизма;

2. Угловые скорости ;

3. Ускорения точек A, B, C, D;

4. Угловое ускорение .

Исходные данные

Шифр	см	см	см	град.	град.	град.
31-6

 

Решение

1. Определение скоростей точек A, B, C, D и угловых скоростей механизма. Рассмотрение механизма (рис.1) начнём с ведущего звена 1. Оно совершает вращательное движение вокруг неподвижного центра О. Определим скорость точки А кривошипа, которая одновременно принадлежит следующему звену 2

.

Вектор скорости перпендикулярен прямой ОА и направлен в сторону вращения кривошипа, указанную дуговой стрелкой .

Звено 2 совершает плоскопараллельное движение. Скорость точки А этого звена известна. Скорость точки D горизонтальная, но неизвестна по величине. Покажем её на рисунке. Для вычисления скорости точки В требуется определить положение мгновенного центра скоростей. С этой целью проводим перпендикуляры к скоростям и . Точка их пересечения Е является мгновенным центром скоростей.

 

Расчётная схема

Далее перейдём к определению скоростей точек B и D. Проведём медиану ВЕ треугольника ADE. Определим расстояния этих точек до центра мгновенных скоростей. Известны сторона AD и два прилегающих угла и . Тогда, учитывая известные формулы для треугольников, получим

,

.

Здесь . Медиана BE вычисляется по соответствующей формуле

.

Скорость точки В перпендикулярна отрезку ВЕ.

Звено 2 (стержень AD) находится во вращательном движении относительно мгновенного центра скоростей Е. Поэтому

.

Отсюда получим угловую скорость звена 2 механизма

.

Теперь можно найти скорости точек B и D

,

.

Звено 3 (стержень ВС) совершает плоскопараллельное движение с мгновенным центром скоростей в точке F, полученной при пересечении перпендикуляров к скоростям и . Образовался треугольник BCF, размеры которого необходимо вычислить.

Из треугольника BDE, все стороны которого известны, найдём угол . По теореме косинусов для треугольника имеем

.

Отсюда

, .

В треугольнике BCF значения углов

,

.

Таким образом, в треугольнике известны сторона и два прилежащих угла , и можно вычислить неизвестные стороны

,

.

Угловую скорость звена 3 найдём с помощью мгновенного центра скоростей из соотношения

.

Очевидно, что

.

Теперь

.

2. Определение ускорений точек A, B, C, D. Кривошип ОА вращается равномерно. Поэтому ускорение точки А направлено к центру О и равно нормальному ускорению

.

Для определения ускорения точки D звена 2 воспользуемся теоремой об ускорениях точек плоской фигуры. Считая точку А полюсом, получим

. (1)

Нормальное ускорение точки D во вращательном движении вокруг полюса А направлено от точки D к точке А вдоль АD и равно

.

Ускорения в точке D изобразим на рис. 2. При этом направления векторов и выбраны произвольно. Знак в ответе по их вычислению укажет на истинные направления.

Выберем координатные оси х, y и перепишем векторное уравнение (1) в координатной форме

(2)

Решая систему уравнений (2) относительно неизвестных и , получим

,

.

Знаки минус показывают, что направления ускорений противоположны изображённым на рис. 2.

Угловое ускорение стержня 2 определяется по формуле

.

Направление ускорения относительно полюса А определяет направление углового ускорения , которое показано на рис. 1 дуговой стрелкой.

Для определения ускорения точки В примем за полюс точку А и в соответствии с теоремой об ускорениях точек плоской фигуры запишем равенство (рис.3)

. (3)

Направление вектора ускорения точки В заранее неизвестно. Нормальное и тангенциальное ускорения точки В во вращательном движении вокруг полюса А

,

.

Вектор перпендикулярен вектору и направлен соответственно угловому ускорению .

Для определения компонентов ускорения точки В уравнение (3) перепишем в координатной форме и вычислим (рис. 3)

,

.

Найдём величину вектора ускорения точки В по формуле

.

Вектор ускорения показан на рис. 3. Он наклонён к оси x-ов под углом .

.

Для определения ускорения точки С примем за полюс точку В и запишем с помощью теоремы об ускорениях точек плоской фигуры (рис. 4)

. (4)

Нормальное ускорение точки C во вращательном движении вокруг полюса B направлено от точки C вдоль BC и равно

.

Выберем координатные оси x, y и перепишем векторное уравнение (4) в координатной форме

(5)

Здесь .

Решая систему уравнений (5) относительно неизвестных и получим

,

Знак минус показывает, что направление ускорения противоположно, изображённому на рис. 4.

Угловое ускорение звена 3 определяется по формуле

.

Направление углового ускорения определяется по тангенциальному ускорению и показано на рис. 4.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Литература

 

1. Цывильский В.Л. Теоретическая механика. – М.: Высшая школа, 2004.

2. Теоретическая механика: методические указания и контрольные задания для студентов-заочников машиностроительных, строительных, транспортных, приборостроительных специальностей высших учебных заведений. Издание 4-е / под ред. проф. С.М. Тарга. – М.: Высшая школа, 1989. – 111 с.

3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. -М.: Высшая школа, 2004

4.Диевский В.А. Теоретическая механика. Учебное пособие. – СПб.: Изд-во «Лань», 2009.–320с.

5.Диевский В.А., Малышева И.А. Теоретическая механика. Сборник заданий: Учебное пособие. – СПб.: Изд-во «Лань», 2009. –192 с.

 

Содержание

 

ПРЕДИСЛОВИЕ.. 3

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТ. 3

статика

Задача С1. Определение реакций опор твёрдого тела. 6

Задача С2. Определение реакций опор составной конструкции. 10

Задача С3. Определение реакций опор пространственного бруса. 16

Задача С4. Определение реакций опор прямоугольной плиты.. 20

Задача С5. Расчёт плоской фермы.. 24

КИНЕМАТИКА

Задача К1. Определение скорости и ускорения точки по уравнениям движения. 29

Задача К2. Определение скоростей и ускорений точек в передаточных

механизмах. 33

Задача К3. Определение скоростей и ускорений точек в планетарных

механизмах. 38

Задача К4. Определение скоростей и ускорений в плоском механизме…………………….43

ЛИТЕРАТУРА.. 54

 

 

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

 

 

Барагунова Лялюся Адальбиевна

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

СТАТИКА, КИНЕМАТИКА