Скорости и ускорения точек в передаточных механизмах

 

Движение груза 1 в механизме на рис. 1 описывается уравнением

, (1)

где c₀, c₁, c₂ – некоторые постоянные, t – время в секундах.

В начальный момент времени (t = 0) координата груза – x₀, его скорость – v₀. Координата груза в момент времени t = t₂ равна x₂.

Определить коэффициенты , при которых осуществляется требуемое движение груза 1; определить в момент времени t = t₁ скорость и ускорение груза и точки M одного из колёс механизма.

Расчётная схема

 

Рис. 1

 

Исходные данные

R₂ = 50 cм, r₂ = 25 см, R₃ = 65 cм, r₃ = 40 см,

х₀ = 14 см, v₀ = 5 см/с, х₂ = 168 см, t₁ = 1 с, t₂ = 2 с.

Решение

 

Уравнение движения груза 1 имеет вид (1), и его коэффициенты могут быть определены из следующих условий:

 

при (2)

при t = (3)

Скорость груза 1

. (4)

Подставим (2) и (3) в формулы (1) и (4) и получим:

14 = с₀, 168 = с₂ ·2² + с₁ · 2 + 14, 5 = с₁.

Отсюда легко находим

Таким образом, уравнение движения груза 1:

.

Скорость груза 1

. (5)

Ускорение груза 1

.

Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза v и угловые скорости колес ω₂ и ω₃. В соответствии со схемой механизма

.

Отсюда

,

или с учётом (5) после подстановки данных

В момент времени t₁

ω₃ = 2,215 · 1 +0,154 =2,369 рад/с.

Угловое ускорение колеса 3

Определим скорость точки М, её касательное, нормальное и полное ускорения:

 

Рис. 2

см/с;

a_n = r₃ ω =40·2,3692 = 224,5 см/с²;

a_τ = r₃ ε₃ =40·2,215 = 88,6 см/с²;

Скорости и ускорения тела 1 и точки М показаны на рис. 2.

Варианты заданий

 

Второе число шифра	Радиусы, см	Координаты и скорости груза 1	Расчётные моменты времени, с
R2	r2	R3	r3	x0 см	v0 см/с	x2 см	t1	t2

 

 

 

 

 

Задача К3

Скорости и ускорения точек в планетарных механизмах

 

В планетарном механизме шестерня 1 радиуса R неподвижна, а кривошип ОА, вращаясь вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка, приводит в движение свободно насаженную на конец А шестерню 2 радиусом r. Для указанного положения механизма требуется найти скорости и ускорения точек А и В, если для соответствующего момента времени известны абсолютные величины угловой скорости и углового ускорения кривошипа . На рисунке условно показаны направления угловой скорости и углового ускорения дуговыми стрелками вокруг оси вращения. При этом направление угловой скорости соответствует направлению вращательного движения кривошипа. Угловое ускорение направлено в сторону угловой скорости при ускоренном вращении и в противоположную – при замедленном.

 

Рисунок

 

Исходные данные

 

Шифр	ωОА с^-1	εОА с^-2	R м	r м	α град.
31–6			0,6	0,4

 

Решение

Рассмотрим последовательно движения каждого из двух подвижных звеньев планетарного механизма. Начинать при этом необходимо со звена, угловая скорость и угловое ускорение которого заданы. Таким образом, начнём исследование кинематики механизма с кривошипа.

1. Кривошип ОА совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка. Определим скорость и ускорение точки А кривошипа, которая одновременно принадлежит и подвижной шестерне 2.

Абсолютная величина скорости точки А определяется по формуле:

. (1)

Для заданного положения механизма

. (2)

Вектор скорости направлен перпендикулярно ОА (радиусу вращения) в направлении вращения, указанному на рисунке дуговой стрелкой .

Ускорение точки А представим разложенным на касательную и нормальную составляющие

. (3)

Величины нормального и касательного ускорений определяются соответственно по формулам:

, (4)

. (5)

Для заданного положения механизма

, (6)

. (7)

При этом нормальное ускорение направлено по радиусу окружности, с центром в точке О.

Касательное ускорение направлено по касательной к этой окружности (перпендикулярно ОА) в сторону, указанную дуговой стрелкой . Это объясняется тем, что при замедленном вращении (по условию задачи кривошип ОА вращается замедленно), касательное ускорение направляется в сторону, противоположную направлению вращения, указанного дуговой стрелкой . В то же время при замедленном вращении угловое ускорение направляется также в сторону, противоположную направлению угловой скорости.

Величина ускорения точки А в соответствии с соотношением (3) и с учётом (6) и (7) для заданного положения механизма определится по формуле:

 

.

2. Шестерня 2 совершает плоскопараллельное (плоское) движение. Шестерня 2 катится без скольжения по неподвижной шестерне 1, поэтому мгновенный центр скоростей (Р) подвижной шестерни будет находиться в точке соприкосновения двух шестерен (рисунок).

Для заданного положения планетарного механизма выше определена скорость центра шестерни 2 (точки А). Таким образом, зная величину скорости одной из точек и положение мгновенного центра скоростей подвижной шестерни, можно определить величину её мгновенной угловой скорости (ω₂) по формуле:

, (7)

где расстояние .

В результате подстановки значения и (1) в соотношение (7) получим:

. (8)

Для заданного положения механизма

. (9)

Направление мгновенного вращения шестерни 2 вокруг мгновенного центра скоростей Р, определяемое направлением скорости , условно показано на рисунке дуговой стрелкой ω₂.

Шестерня 2 в указанном положении движется замедленно. Это следует из сопоставления направлений векторов и (они направлены в противоположные стороны). Следовательно, угловое ускорение ε₂ шестерни 2 направлено в сторону, противоположную направлению угловой скорости ω₂, что условно показано на рисунке дуговой стрелкой ε₂.

Величину углового ускорения ε₂ определим по формуле:

 

(10)

Учитывая (8), на основании (10) получим:

, (11)

Для заданного положения механизма

. (12)

Таким образом, для некоторого момента времени найдены положение мгновенного центра скоростей, угловая скорость, угловое ускорение подвижной шестерни 2, а также ускорение точки А. это позволяет найти скорость и ускорение любой точки шестерни.

Прежде всего определим абсолютную величину скорости точки В по формуле:

, (13)

где ВР – расстояние от точки В до мгновенного центра скоростей. Определим его из треугольника АВР. Этот треугольник равносторонний и, следовательно,

 

. (14)

Для заданного положения механизма, учитывая (9) и (14), на основании (13) получим:

. (15)

Вектор скорости направлен перпендикулярно прямой ВР. Ускорение точки В можно найти на основании теоремы об ускорениях точек плоской фигуры, приняв точку А за полюс:

 

, (16)

где и – соответственно нормальное и касательное ускорения точки В при относительном вращательном движении шестерни 2 вокруг полюса А. Учитывая (3), формулу (16) представим в виде:

 

. (17)

Величины нормального и касательного ускорений точки В при относительном вращательном движении шестерни 2 вокруг полюса А определяются по формулам:

 

, (18)

. (19)

Для заданного положения механизма на основании (18) и (19) с учётом (9) и (12) получим:

, (20)

. (21)

При этом нормальное ускорение направлено вдоль ВА к центру относительного вращения (к полюсу А), а касательное ускорение направлено перпендикулярно прямой АВ в сторону, указанную дуговой стрелкой ε₂.

Таким образом, найдены модули четырёх векторов ускорений, стоящих в правой части векторного равенства (17), и показаны их направления в точке В. По рисунку найдём ускорение точки В как геометрическую сумму четырёх показанных в точке ускорений аналитическим способом. Для этого спроектируем векторы, стоящие в правой и левой части равенства (17), на две оси координат х, у (рисунок):

, (22)

. (23)

Учитывая (6), (7), (20) и (21), на основании (22) и (23) найдём для заданного положения механизма проекции ускорения точки В на оси х, у:

 

,

.

Проекции вектора ускорения (лежащего в плоскости ху) на две оси координат полностью определяют его модуль и направление. Итак, величина

 

.

 

Варианты заданий

 

Второе число шифра	ωОА с^–1	εОА с^–2	R м	r м	α град.
			0,7	0,4
			0,6	0,3
			0,8	0,4
			0,9	0,5
			0,5	0,3

 

 

 

 

Задача К4