Вероятностно-статистических процедур

При применении выборочных вероятностно-статистических процедур аудиторский риск проявляет себя как статистическая вероятность, и может быть численно определен исходя из закона распределения случайной величины (размера ошибок, либо количества ошибок в выборке).

Как известно из статистики, при экстраполировании результатов исследования репрезентативной выборки на генеральную совокупность вероятность определяется объёмом выборки.

Упомянутая статистическая вероятность при репрезентативной выборке зависит только от объема выборки, вследствие чего согласно федеральному стандарту аудита № 16 «Аудиторская выборка» ее следует определить, как риск выборки (риск, связанный с объемом выборки – будем обозначать его ). Следует отметить, что наряду со статистической вероятностью при применении выборочных процедур, основанных на вероятностно-статистических методах, присутствует и субъективная вероятность, которую стандарт № 16 определяет, как риск, не связанный с объемом выборки (обозначим его ). Этот риск зависит от прочих факторов, не связанных с объемом выборки (опытом и квалификацией аудитора, его добросовестностью и пр.), и проявляет себя в рассматриваемом случае, как вероятность того, что аудитор может обнаружить в выборке не все имеющиеся в ней ошибки.

Таким образом, аудиторский риск R_А на уровне сальдо и оборотов по счетам бухгалтерского учета при применении выборочных процедур, основанных на вероятностно- статистических методах, является функцией двух компонентов - риска выборки R_В и риска, не связанного с выборкой R_НВ:

 

R_А = f (R_В,R_НВ). (3.20)

 

Получим выражения для риска выборки и аудиторского риска применительно к известным вероятностно-статистическим методам.

Сперва получим выражение для риска выборки R_В применительно к процедуре, основанной на нормальном распределении размера ошибок.

Риск выборки R_В является вероятностью события, заключающегося в том, что действительная ошибка Q генеральной совокупности окажется больше «применяемого» для данной генеральной совокупности уровня существенности S, в то время, как полученная аудитором ожидаемая ошибка К менее уровня существенности (Q> S при К< S). Заметим, что неравенство К< S может быть приведено к виду < , где - средний уровень существенности; = K/N – генеральная средняя; N – объем генеральной совокупности.

Получим выражение для риска выборки R_В. Для этого вспомним, что при нормальном распределении может быть определена верхняя граница доверительного интервала , которую генеральная средняя не должна превысить:

< , (3.21)

где - выборочная средняя; - среднеквадратичная погрешность выборочной средней; t – предел интеграла Лапласа..

Вероятность R превышения генеральной средней верхней границы доверительного интервала a будет являться риском выборки R_В в том случае, когда верхняя граница доверительного интервала будет равна среднему уровню существенности (a= ).

Получаем следующее выражение:

(3.22)

Среднеквадратичное отклонение выборочной средней в выражении для доверительного интервала подсчитывается по известной зависимости:

. (3.23)

где n- объем выборки; q_i (руб.) – размер ошибки в i-ом элементе выборки.

Тогда риск выборки R_В может быть найден из статистических таблиц по значению t, полученному из выражения для доверительного интервала:

. (3.24)

Таким образом, для выборочной процедуры, основанной на нормальном распределении размера ошибки, риск выборки может быть найден из зависимости , где значение предела интеграла Лапласа t определяется с помощью выражения (3.24). Рассмотрим возможность применения полученных зависимостей на примере.

Пример. Воспользуемся исходными данными примера, рассмотренного ранее: объем генеральной совокупности N=850 авансовых отчетов общей стоимостью J=1 800 000 руб.; объем выборки n=50 авансовых отчетов; ошибки в авансовых отчетах, попавших в выборку: руб., руб., руб. Уровень существенности установлен аудитором в размере s=5% (S = 90 000 руб.). Определим ожидаемую ошибку генеральной совокупности К и риск выборки R_В.

Средняя ошибка в выборке:

Ожидаемая ошибка генеральной совокупности:

К= *N=34*850=28 900 руб.

Среднеквадратичное отклонение выборочной средней:

Средний уровень существенности:

Расчетное значение предела интеграла Лапласа:

Из статистических таблиц [11] получаем, что при t =3,3 вероятность превышения генеральной средней верхней границы доверительного интервала равна 0,001. Таким образом, риск выборки R_В =0,1%. Из этого следует, что с вероятностью 99,9% ожидаемая ошибка генеральной совокупности (наиболее вероятное значение которой составляет 28 900 руб.) не превысит уровень существенности, равный 90 000 руб.

Приведенные выше рассуждения основаны на предположении о том, что аудитор обнаружит в выборке все ошибки q_i, то есть на предположении о том, что риск R_НВ, определяемый опытом аудитора, его информированностью о клиенте и т.д., равен нулю.

На практике, конечно риск R_НВ >0, поскольку аудитор в силу различных причин (недостаток опыта, квалификации, усталость, небрежность и т.д.) может обнаружить не все ошибки в выборке.

Введём понятие ошибки в выборке, обнаруженной аудитором – (руб.).

Вероятность обнаружения аудитором всех ошибок в выборке составит в таком случае , где - средняя ошибка в выборке, обнаруженная аудитором.

Поскольку эта вероятность определяется всеми прочими факторами (опыт и квалификация аудитора, его добросовестность, знакомство с проверяемой организацией и т.д.), то вероятность противоположного события – это риск R_НВ. Тогда:

. (3.25)

Из выражения (3.14) получаем:

. (3.26)

Риск R_НВ может быть численно оценен путем анализа определяющих его указанных выше факторов, например, как это показано выше, с помощью линейной полиномиальной модели.

Тогда аудиторский риск может быть определён из статистических таблиц, как функция , где значение предела интеграла Лапласа определяется из зависимости:

. (3.27)

 

Пример. Используя исходные данные предыдущего примера, определим аудиторский риск, если значение R_НВ =35%.

Расчетное значение предела интеграла Лапласа:

Из таблиц [11] получаем, что при t =2,44 аудиторский риск R_А =0,005 (0,5%).

 

Теперь получим выражение для риска выборки и аудиторского риска применительно к процедуре, основанной на биномиальном распределении количества ошибок в выборке.

Ведем следующие обозначения: N – объем генеральной совокупности; n – объем выборки; m – количество ошибок в выборке; M – ожидаемая ошибка генеральной совокупности (ожидаемое количество ошибок в генеральной совокупности).

Как мы указали ранее, в математической статистике показано, что для биномиального распределения наиболее вероятное значение величины М определяется из выражения M = m*N/n.

В [11] показано также, что для отношения M/N может быть определена верхняя граница доверительного интервала a, которую величина M/N с вероятностью P = 1 – R не должна превысить:

, (3.28)

где t – предел интеграла Лапласа; - относительное количество ошибок в выборке.

В [11] указано, что формула (3.28) является приближенной, но достаточной для практических расчетов при значениях n порядка сотен.

Приравняв верхнюю границу доверительного интервала среднему уровню существенности

, (3.29)

получаем значение предела интеграла Лапласа, определяющее риск выборки R_В:

, (3.30)

где - средний уровень существенности.

Используя тот же прием, что и при рассмотрении выборочной процедуры, основанной на нормальном распределении, получаем выражение для предела интеграла Лапласа, определяющего аудиторский риск:

 

. (3.31)

 

Пример. Объем генеральной совокупности N=2500 счетов-фактур. Объем выборки n = 100 счетов- фактур. Количество ошибок (неправильно заполненных счетов-фактур) в выборке m = 2. Уровень существенности S =125 счетов- фактур (5%). Риск R_НВ по оценке аудитора составляет R_НВ =20%. Определим ожидаемую ошибку генеральной совокупности М, риск выборки R_В и аудиторский риск R_А.

Относительное количество ошибок в выборке:

.

Ожидаемая ошибка генеральной совокупности:

M = m*N/n = 2* 2500/100 = 50 счетов-фактур.

Средний уровень существенности:

.

Значение предела интеграла Лапласа, определяющее риск выборки:

.

При t =2,14 риск выборки составляет R_В =0,02 (2%).

Значение интеграла Лапласа, определяющее аудиторский риск:

При t = 1,6 аудиторский риск составляет R_А =5,5%.

 

Итак, мы получили выражения, с помощью которых можно количественно оценить компоненту аудиторского риска (риск выборки) как статистическую вероятность при выборочных проверках, основанных на нормальном либо биномиальном законах распределения случайных величин.

Но количественная оценка риска выборки возможна ещё в одном случае – при использовании процедуры «основного массива». Покажем это.